対線比の定理

数学A平面図形数学A

メネラウスやチェバに比べたら知名度は劣りますが、図形の中のあらゆる線分の比が一気に求まるため、知っているとお得な定理です。
①対線比の定理
②例



目次
  • 1. ①対線比の定理
  • 2. ②例

①対線比の定理

対線比の定理

次の図は、△ABCの各頂点から、対辺に向かって計3つの線分がひかれている。%e7%b7%9a%e5%88%86%e6%af%94%e3%81%ae%e5%ae%9a%e7%90%86その3つの線分が同じ点\( G~\) で交わり、このとき\( AD:DB=l:n ,AE:EC=m:n \)とすると、残りの線分の比は次のように表される。
\begin{align}
BF:FC&=m:l \\
AG:GF&=l+m:n \\
BG:GE&=m+n:l \\
CG:GD&=n+l:m \\
\end{align}
%e7%b7%9a%e5%88%86%e6%af%94%e3%81%ae%e5%ae%9a%e7%90%86%ef%bc%92

わかっている2つの線分の比をそろえてあげるというのがポイントです。 証明は、メネラウスの定理とチェバの定理を使いまくります。
チェバの定理についてはこちら→チェバの定理の3通りの証明

証明

チェバの定理より、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CE}{EA}=1
\end{equation}
ここに、わかっている線分の比を代入して、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{l}{n}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{n}{m}=1 \\
\end{equation}
式を整理することで、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{BF}{FC}=\frac{m}{l} \\
\end{equation}
となり、1つ目の式が求まった。次に、メネラウスの定理より、次の3式が成り立つ。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{AG}{GF}\cdot\frac{FC}{CB}\cdot\frac{BD}{DA}=1 \\
\end{equation}
\begin{equation}
\displaystyle \frac{BG}{GE}\cdot\frac{EA}{AC}\cdot\frac{CF}{FB}=1 \\
\end{equation}
\begin{equation}
\displaystyle \frac{CG}{GD}\cdot\frac{DA}{AB}\cdot\frac{BF}{FC}=1 \\
\end{equation}
この3式に、わかっている線分の比をすべて代入して、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{AG}{GF}\cdot\frac{l}{l+m}\cdot\frac{n}{l}=1 \\
\end{equation}
\begin{equation}
\displaystyle \frac{BG}{GE}\cdot\frac{m}{m+n}\cdot\frac{l}{m}=1 \\
\end{equation}
\begin{equation}
\displaystyle \frac{CG}{GD}\cdot\frac{l}{n+l}\cdot\frac{m}{l}=1 \\
\end{equation}
となり、これらを式変形することで、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{AG}{GF}=\frac{l+m}{n} \\
\end{equation}
\begin{equation}
\displaystyle \frac{BG}{GE}=\frac{m+n}{l} \\
\end{equation}
\begin{equation}
\displaystyle \frac{CG}{GD}=\frac{n+l}{m} \\
\end{equation}
となり、すべての式が求まった。


②例

では、実際に対線比の定理を使って問題を解いてみましょう。

例題

△ABCで、ABを\( 1:1 \)に内分する点をD 、ACを\( 1:2 \)に内分する点をEとする。BEとCDの交点をFとしたとき、\( BF:FE \)を簡単な整数の比で表しなさい。%e7%b7%9a%e5%88%86%e6%af%94%e3%81%ae%e5%ae%9a%e7%90%86%e3%80%80%e5%95%8f%e9%a1%8c%ef%bc%91

よくありがちなメネラウスの定理を使う問題ですが、線分比の定理を使うと、面倒な分数計算すら省略できます。

解説

図に、与えられた比の情報を書き込むと次のようになる。
%e7%b7%9a%e5%88%86%e6%af%94%e3%81%ae%e5%ae%9a%e7%90%86%e3%80%80%e5%95%8f%e9%a1%8c%ef%bc%92
線分比の定理を使う条件として、線分DBと線分ECの比の数字を合わせてあげる必要あるため、\( AD:DB=1:1=2:2 \)より、先の図は次のようになる。%e7%b7%9a%e5%88%86%e6%af%94%e3%81%ae%e5%ae%9a%e7%90%86%e3%80%80%e5%95%8f%e9%a1%8c%ef%bc%93 あとは、線分比の定理を使うことで、
\begin{equation}
BF:FE=1+2:2=3:2 \blacksquare
\end{equation}

 

一応メネラウスの定理で確認してみると、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{BF}{FE}\cdot\frac{EC}{CA}\cdot\frac{AD}{DE}=1
\end{equation}
より、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{BF}{FE}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1}=1
\end{equation}
となるため、式変形して
\begin{equation}
\displaystyle \frac{BF}{FE}=\frac{3}{2}
\end{equation}
であり、確かに答えは一致しています。


数Aの図形問題だけでなく、中学校の図形や数Bのベクトルにも使えそうです。4つもあって覚えにくそうですが、定理の図形をよく見ると、\( l,m,n \)が対称性を持っているため、そこまで苦労せずに覚えられます。

   
 
 

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Posted by Fuku