$~x^2-1~$の因数分解は中学３年生で、$~x^3-1~,~x^4-1~$の因数分解は数学Ⅰで習いますが、$~x^n-1~$の形の式の因数分解には何か共通点や規則性はあるのでしょうか？ 本記事では、因数分解結果と$~n~$の整数的性質を見比べます。
Ⅰ カッコの個数に注目
前記事の「$~x^n-1~$の因数分解（計算編）」で導いた因数分解の結果をまずは載せておきます。
\begin{align}
x^1-1&=(x-1) \\
\\
x^2-1&=(x-1)(x+1) \\
\\
x^3-1&=(x-1)(x^2+x+1) \\
\\
x^4-1&=(x-1)(x+1)(x^2+1) \\
\\
x^5-1&=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \\
\\
x^6-1&=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) \\
\\
x^7-1&=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) \\
\\
x^8-1&=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) \\
\\
x^9-1&=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1) \\
\\
x^{10}-1&=(x-1)(x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1) \\
\end{align}
\begin{align}
x^1-1&=(x-1) \\
\\
x^2-1&=(x-1)(x+1) \\
\\
x^3-1&=(x-1)(x^2+x+1) \\
\\
x^4-1&=(x-1)(x+1)(x^2+1) \\
\\
x^5-1&=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \\
\\
x^6-1&=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) \\
\\
x^7-1&=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) \\
\\
x^8-1&=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) \\
\\
x^9-1&=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1) \\
\\
x^{10}-1&=(x-1)(x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(x^4-x^3+x^2-x+1) \\
\end{align}
今回は、これらの式の規則性を考察していこうと思うのですが、注目したいのはカッコの個数です。
$~n~$に対応するカッコの個数をまとめると、以下のようになっています。
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| カッコの個数 | $1$ | $2$ | $2$ | $3$ | $2$ | $4$ | $2$ | $4$ | $3$ | $4$ |
さて、ここで何かに気付けるでしょうか？
単純な数列ではないですが、素数である$~n=2~,~3~,~5~,~7~$のとき、カッコの個数が$~2~$個であることがヒントです。
答えは・・・
$~x^n-1~$の因数分解後カッコの個数は、$~n~$の約数の個数と同じになります。
確認をしてみましょう。
| $n$ | 因数分解 | 約数 |
|---|---|---|
| $1$ | $(x-1)$ カッコは１個 |
$~1~$ 約数は１個 |
| $2$ | $(x-1)(x+1)$ カッコは２個 |
$~1~,~2~$ 約数は２個 |
| $3$ | $(x-1)(x^2+x+1)$ カッコは２個 |
$~1~,~3~$ 約数は２個 |
| $4$ | $(x-1)(x+1)(x^2+1)$ カッコは３個 |
$~1~,~2~,~4~$ 約数は３個 |
| $5$ | $(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ カッコは２個 $(x-1)$ $(x^4+x^3+x^2+x+1)$ カッコは２個 |
$~1~,~5~$ 約数は２個 |
| $6$ | $(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ カッコは４個
|
$~1~,~2~,~3~,~6~$ 約数は４個 $1,2,3,6$ 約数は４個 |
確かに$~n=6~$まで合致していますね。
$~n=7~$から$~n=10~$についても確かめられます。
ちなみに、$~n=11~$以降も少し覗いてみると・・・
| $n$ | 因数分解 | 約数 |
|---|---|---|
| $11$ | \begin{align} &(x-1) \left(x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5 \right. \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \left. +x^4+x^3+x^2+x+1 \right) \end{align} カッコは２個 \begin{align} &(x-1) \left(x^{10}+x^9+x^8 \right. \\ &~~\left. +x^7+x^6+x^5+x^4 \right. \\ &~~~~~~ \left. +x^3+x^2+x+1 \right) \end{align} カッコは２個 |
$~1~,~11~$ 約数は２個
|
| $12$ |
\begin{align} &(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2+1) \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(x^2-x+1)(x^4-x^2+1) \end{align} カッコは６個 \begin{align} &(x-1)(x+1) \\ &~~(x^2+x+1)(x^2+1) \\ &~~~~~(x^2-x+1)(x^4-x^2+1) \end{align} カッコは６個 |
$~1~,~2~,~3~,~4~$ $~~~~~~~~~~~~~6~,~12~$ 約数は６個 $1,2,$ $~3,4,$ $~~6,12$ 約数は６個 |
約数の数が多い$~n=12~$も確かめられました。しかしながら、
実は、カッコの個数と約数の個数が一致しているだけではないんです。
次章で説明します。
Ⅱ 約数と対応する式
因数分解後のカッコと約数の間には、さらに興味深い規則が隠れています。
先ほどの表を参考にすると、因数分解後のカッコの式には、すべての$~x^n-1~$に共通して登場する式があるのに気づけましたか？
そうです。$~(x-1)~$は毎回登場していますね。
次に、すべての$~n~$で共通する約数はいくつでしょうか？
これは当然$~1~$になりますね。
次に、因数分解後のカッコの式で、$~n~$が偶数のときにのみ、$~x^n-1~$に共通して登場する式は何でしょうか？
\begin{align}
x^2-1&=(x-1)(x+1) \\
x^4-1&=(x-1)(x+1)(x^2+1) \\
x^6-1&=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)
\end{align}
$~(x-1)~$以外で共通しているのは$~(x+1)~$ですね。
次に、偶数に共通する約数はいくつでしょうか？
当然、偶数は２の倍数なので、$~2~$となります。
このように考えていくと、各カッコの中の式が、特定の約数と１対１対応していることが見えてきます。
そこで、約数$~m~$に対応するカッコの中の多項式を$~F_m(x)~$と表現し、表にまとめてみましょう。
| $m$ | $F_m(x)$ |
|---|---|
| $1$ | $x-1$ |
| $2$ | $x+1$ |
| $3$ | $x^2+x+1$ |
| $4$ | $x^2+1$ |
| $5$ | $x^4+x^3+x^2+x+1$ |
| $6$ | $x^2-x+1$ |
| $7$ | $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ |
| $8$ | $x^4+1$ |
| $9$ | $x^6+x^3+1$ |
| $10$ | $x^4-x^3+x^2-x+1$ |
| $11$ | $x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ $x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6$ $~~~~~~~~~~~~+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ |
| $12$ | $x^4-x^2+1$ |
これにより、因数分解の結果は、
\begin{align}
x^1-1&=F_1(x) \\
x^2-1&=F_1(x)F_2(x) \\
x^3-1&=F_1(x)F_3(x) \\
x^4-1&=F_1(x)F_2(x)F_4(x) \\
x^5-1&=F_1(x)F_5(x) \\
x^6-1&=F_1(x)F_2(x)F_3(x)F_6(x) \\
\end{align}
というように、表すことができます。
カッコ内の式と約数が、このような美しい対応を見せてくれる理由については、「$~x^n-1~$の因数分解（考察編②）」をご覧ください。
Ⅲ 応用例
カッコ内の式と約数の対応がわかれば、$~n~$が大きくなったときの$~x^n-1~$の因数分解に利用することができます。
例として、この記事でまだ登場していない$~x^{18}-1~$の因数分解について考えてみましょう。
約数$~m~$に対応するカッコの中の多項式$~F_m(x)~$を考えると、
\begin{equation}
x^{18}-1=F_1(x)F_2(x)F_3(x)F_6(x)F_9(x)F_{18}(x)~~\cdots ①
\end{equation}
と表せる。
また、因数分解公式から、
\begin{align}
x^{18}-1&=(x^9)^2-1 \\
&=(x^9+1)(x^9-1) \\
&=(x^9+1)F_1(x)F_3(x)F_9(x)~~~\cdots ②
\end{align}
と求まる。
$~①~$と$~②~$を比較することで、
\begin{equation}
x^9+1=F_2(x)F_6(x)F_{18}(x)~~~\cdots ③
\end{equation}
とわかり、さらに左辺に因数分解公式を適用すると、
\begin{align}
x^{9}+1&=(x^3)^3+1 \\
&=(x^3+1)(x^6-x^3+1) \\
&=(x+1)(x^2-x+1)(x^6-x^3+1) \\
&=F_2(x)F_6(x)(x^6-x^3+1)~~~\cdots ④
\end{align}
と求まる。
$~③~$と$~④~$を比較することで、
\begin{equation}
F_{18}(x)=(x^6-x^3+1)
\end{equation}
とわかるため、
\begin{align}
x^{18}-1&=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^6+x^3+1)(x^6-x^3+1)
\end{align}
\begin{align}
x^{18}-1&=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(x^6+x^3+1)(x^6-x^3+1)
\end{align}
と求まった。
この作業により、次数を下げて因数分解を考えることができますね。
１記事目の「$~x^n-1~$の因数分解（計算編）」の結果から、面白い規則性に気付けた２記事目でした。次の３記事目「$~x^n-1~$の因数分解（考察編②）」では、今回の面白い規則性の理由について解き明かします！！
数と式が融合しました。数学はつながっています。
◇参考文献等
・「$x^n-1$の因数分解に見られる数と式の不思議な関係」,＜https://www.math.kyushu-u.ac.jp/pages/pdf/laboratory_koike.pdf ＞ 2020年5月4日アクセス
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