$~x^n-1~$の因数分解(考察編①)

 $~x^2-1~$の因数分解は中学3年生で、$~x^3-1~,~x^4-1~$の因数分解は数学Ⅰで習いますが、$~x^n-1~$の形の式の因数分解には何か共通点や規則性はあるのでしょうか? 本記事では、因数分解結果と$~n~$の整数的性質を見比べます。

1記事目 計算編

2記事目(本記事) 考察編①
Ⅰ カッコの個数に注目
Ⅱ 約数に対応する式
Ⅲ 応用例

3記事目 考察編②(準備中)


目次

Ⅰ カッコの個数に注目

 前記事の「$~x^n-1~$の因数分解(計算編)」で導いた因数分解の結果をまずは載せておきます。

$~x^n-1~$の因数分解結果


\begin{align}
x^1-1&=(x-1) \\
\\
x^2-1&=(x-1)(x+1) \\
\\
x^3-1&=(x-1)(x^2+x+1) \\
\\
x^4-1&=(x-1)(x+1)(x^2+1) \\
\\
x^5-1&=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \\
\\
x^6-1&=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) \\
\\
x^7-1&=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) \\
\\
x^8-1&=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) \\
\\
x^9-1&=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1) \\
\\
x^{10}-1&=(x-1)(x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1) \\
\end{align}


\begin{align}
x^1-1&=(x-1) \\
\\
x^2-1&=(x-1)(x+1) \\
\\
x^3-1&=(x-1)(x^2+x+1) \\
\\
x^4-1&=(x-1)(x+1)(x^2+1) \\
\\
x^5-1&=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \\
\\
x^6-1&=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) \\
\\
x^7-1&=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) \\
\\
x^8-1&=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) \\
\\
x^9-1&=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1) \\
\\
x^{10}-1&=(x-1)(x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(x^4-x^3+x^2-x+1) \\
\end{align}

 今回は、これらの式の規則性を考察していこうと思うのですが、注目したいのはカッコの個数です。
 $~n~$に対応するカッコの個数をまとめると、以下のようになっています。

$n$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
カッコの個数 $1$ $2$ $2$ $3$ $2$ $4$ $2$ $4$ $3$ $4$

 さて、ここで何かに気付けるでしょうか?
 
 単純な数列ではないですが、素数である$~n=2~,~3~,~5~,~7~$のとき、カッコの個数が$~2~$個であることがヒントです。
 
 答えは・・・
 
$~x^n-1~$の因数分解後カッコの個数は、$~n~$の約数の個数と同じになります。
 
 確認をしてみましょう。

$n$ 因数分解 約数
$1$ $(x-1)$
カッコは1個
$~1~$
約数は1個
$2$ $(x-1)(x+1)$
カッコは2個
$~1~,~2~$
約数は2個
$3$ $(x-1)(x^2+x+1)$
カッコは2個
$~1~,~3~$
約数は2個
$4$ $(x-1)(x+1)(x^2+1)$
カッコは3個
$~1~,~2~,~4~$
約数は3個
$5$
$(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$
カッコは2個


$(x-1)$
$(x^4+x^3+x^2+x+1)$
カッコは2個
$~1~,~5~$
約数は2個
$6$
$(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$
カッコは4個


$(x-1)(x+1)$
$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$
カッコは4個


$~1~,~2~,~3~,~6~$
約数は4個


$1,2,3,6$
約数は4個

 確かに$~n=6~$まで合致していますね。
 $~n=7~$から$~n=10~$についても確かめられます。
 
 ちなみに、$~n=11~$以降も少し覗いてみると・・・

$n$ 因数分解 約数
$11$
\begin{align}
&(x-1) \left(x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5 \right. \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \left. +x^4+x^3+x^2+x+1 \right)
\end{align}
カッコは2個


\begin{align}
&(x-1) \left(x^{10}+x^9+x^8 \right. \\
&~~\left. +x^7+x^6+x^5+x^4 \right. \\
&~~~~~~ \left. +x^3+x^2+x+1 \right)
\end{align}
カッコは2個

$~1~,~11~$
約数は2個


$1,11$
約数は2個

$12$
\begin{align}
&(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2+1) \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)
\end{align}
カッコは6個


\begin{align}
&(x-1)(x+1) \\
&~~(x^2+x+1)(x^2+1) \\
&~~~~~(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)
\end{align}
カッコは6個

$~1~,~2~,~3~,~4~$
$~~~~~~~~~~~~~6~,~12~$
約数は6個


$1,2,$
$~3,4,$
$~~6,12$
約数は6個

 約数の数が多い$~n=12~$も確かめられました。しかしながら、

 実は、カッコの個数と約数の個数が一致しているだけではないんです。

 次章で説明します。


Ⅱ 約数と対応する式

 因数分解後のカッコと約数の間には、さらに興味深い規則が隠れています。
 
 先ほどの表を参考にすると、因数分解後のカッコの式には、すべての$~x^n-1~$に共通して登場する式があるのに気づけましたか?
 
 そうです。$~(x-1)~$は毎回登場していますね。
 
 次に、すべての$~n~$で共通する約数はいくつでしょうか?
 
 これは当然$~1~$になりますね。
 
 
 次に、因数分解後のカッコの式で、$~n~$が偶数のときにのみ、$~x^n-1~$に共通して登場する式は何でしょうか?
\begin{align}
x^2-1&=(x-1)(x+1) \\
x^4-1&=(x-1)(x+1)(x^2+1) \\
x^6-1&=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)
\end{align}
 $~(x-1)~$以外で共通しているのは$~(x+1)~$ですね。
 
 次に、偶数に共通する約数はいくつでしょうか?
 
 当然、偶数は2の倍数なので、$~2~$となります。
 
 このように考えていくと、各カッコの中の式が、特定の約数と1対1対応していることが見えてきます。
 
 そこで、約数$~m~$に対応するカッコの中の多項式を$~F_m(x)~$と表現し、表にまとめてみましょう。

$m$ $F_m(x)$
$1$ $x-1$
$2$ $x+1$
$3$ $x^2+x+1$
$4$ $x^2+1$
$5$ $x^4+x^3+x^2+x+1$
$6$ $x^2-x+1$
$7$ $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$
$8$ $x^4+1$
$9$ $x^6+x^3+1$
$10$ $x^4-x^3+x^2-x+1$
$11$
$x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$


$x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6$
$~~~~~~~~~~~~+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$
$12$ $x^4-x^2+1$

 これにより、因数分解の結果は、
\begin{align}
x^1-1&=F_1(x) \\
x^2-1&=F_1(x)F_2(x) \\
x^3-1&=F_1(x)F_3(x) \\
x^4-1&=F_1(x)F_2(x)F_4(x) \\
x^5-1&=F_1(x)F_5(x) \\
x^6-1&=F_1(x)F_2(x)F_3(x)F_6(x) \\
\end{align}
というように、表すことができます。
 
 カッコ内の式と約数が、このような美しい対応を見せてくれる理由については、「$~x^n-1~$の因数分解(考察編②)」をご覧ください。


Ⅲ 応用例

 カッコ内の式と約数の対応がわかれば、$~n~$が大きくなったときの$~x^n-1~$の因数分解に利用することができます。
 
 例として、この記事でまだ登場していない$~x^{18}-1~$の因数分解について考えてみましょう。

 約数$~m~$に対応するカッコの中の多項式$~F_m(x)~$を考えると、
\begin{equation}
x^{18}-1=F_1(x)F_2(x)F_3(x)F_6(x)F_9(x)F_{18}(x)~~\cdots ①
\end{equation}
と表せる。
 
 また、因数分解公式から、
\begin{align}
x^{18}-1&=(x^9)^2-1 \\
&=(x^9+1)(x^9-1) \\
&=(x^9+1)F_1(x)F_3(x)F_9(x)~~~\cdots ②
\end{align}
と求まる。
 
 $~①~$と$~②~$を比較することで、
\begin{equation}
x^9+1=F_2(x)F_6(x)F_{18}(x)~~~\cdots ③
\end{equation}
とわかり、さらに左辺に因数分解公式を適用すると、
\begin{align}
x^{9}+1&=(x^3)^3+1 \\
&=(x^3+1)(x^6-x^3+1) \\
&=(x+1)(x^2-x+1)(x^6-x^3+1) \\
&=F_2(x)F_6(x)(x^6-x^3+1)~~~\cdots ④
\end{align}
と求まる。
 
 $~③~$と$~④~$を比較することで、
\begin{equation}
F_{18}(x)=(x^6-x^3+1)
\end{equation}
とわかるため、

\begin{align}
x^{18}-1&=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^6+x^3+1)(x^6-x^3+1)
\end{align}


\begin{align}
x^{18}-1&=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(x^6+x^3+1)(x^6-x^3+1)
\end{align}

と求まった。

 この作業により、次数を下げて因数分解を考えることができますね。
 
 
 1記事目の「$~x^n-1~$の因数分解(計算編)」の結果から、面白い規則性に気付けた2記事目でした。次の3記事目「$~x^n-1~$の因数分解(考察編②)」では、今回の面白い規則性の理由について解き明かします!!


 数と式が融合しました。数学はつながっています。


 
 


◇参考文献等
・「$x^n-1$の因数分解に見られる数と式の不思議な関係」,<https://www.math.kyushu-u.ac.jp/pages/pdf/laboratory_koike.pdf > 2020年5月4日アクセス

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