ニコラ・シュケ徹底解説！ヨーロッパの代数学への影響とは？【数学史15-2】

2026年2月28日

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　ニコラ・シュケは、15世紀フランスの数学者です。

　彼はヨーロッパの数学史、特に代数学の分野で数々の先駆的な業績を残しましたが、その主著『三部作』（Triparty en la science des nombres）は長らく印刷されず、彼の功績は400年もの間、歴史の影に埋もれていました。

　この記事では、指数表記の発明、負の数や無理数の導入など、時代を先取りしたシュケの功績を、彼の生涯や著作とともに現役教員で数学史の先生であるFukusukeが詳しく解説します。

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この記事を書いた人

Fukusuke（ふくすけ）
数学史の先生

現役の中学・高校数学教員
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この記事を読んでわかること

ニコラ・シュケの生涯

　ニコラ・シュケ（Nicolas Chuquet, 1445年頃〜1488年）は、晩年に代数学書『三部作』を書いたことで有名なフランスの数学者です。

　ただ、彼に関する確かな情報はほとんどわかっていません。

ニコラ・シュケの年譜

年代	出来事	補足
1445年頃	パリで生まれたと推定される	生年・出生地ともに確かな記録はない。
不明	パリで医学士の学位を取得	医師として開業できる資格ではなく、医者として活躍した記録は見つかっていない。
1480年頃	リヨンへ移住	当時のリヨンは商業都市であった
1484年	主著『三部作』を完成させる	出版されたのは1880年。ただ、弟子のラ・ロシュにより、16世紀以降のヨーロッパに影響を与えた。
1488年	リヨンで死去

ニコラ・シュケの活動場所

　シュケは自身を「パリ人」と記しており、生涯の大部分をパリで過ごしたと考えられています。
　しかし、彼の数学者としての活動が本格化するのは、1480年頃に移り住んだフランス南東部の商業都市リヨンにおいてでした。

　当時のリヨンは、イタリアとの交易で栄える国際都市であり、銀行業や印刷業が発展し始めていました。
　シュケはおそらく、リヨンの人々に応えるために『三部作』を書き、彼自身の名を数学史に残しました。

シュケの功績①：代数にさまざまな記号を使った

　シュケの『三部作』における功績の一つは、代数計算を効率化するための独創的な記号法を導入したことです。

「＋」や「−」の表し方

　シュケは『三部作』の第1部で、四則演算をフランス語で次のように言い回しました。

plus（プラス）
moins（マイナス）
multiplier par 〜（〜でかける）
partyr par 〜（〜でわる）

　特に、プラス（$~+~$）とマイナス（$~-~$）は、イタリアで当時使われていた記号である $\bar{p}$ と $\overline{m}$ で略して表現しました。

　これは、言葉で計算を記述していた時代から、記号による数式表現への移行を示す重要な一歩。
　なお、現在私たちが使っている「$~+~$」と「$~-~$」の記号が印刷物として初めて登場するのは、シュケの死後、1489年に出版されたヨハン・ヴィッドマンの商業算術書においてです。

平方根や立方根の表し方

　シュケは『三部作』の第2部において、平方根や立方根を表すのに、$R^2$ や $R^3$ という記号を用いました。
　また、どこからどこまでが平方根の中の数かがわかるように、下線を使っています。

平方根や立方根の表し方例

　現在における$~\sqrt{14 + \sqrt{180}}~$をシュケは次のように表した。

R^2 \underline{14 \bar{p} R^2 180}

下線がないと、$~\sqrt{14}+\sqrt{180}~$とも読めてしまうので、大事な工夫！

　また、彼は「平方」や「立方」といった幾何学的な用語を意図的に避け、「第二」「第三」という数的な表現を好みました。
　これにより、数を幾何学の制約から解放し、代数学として自由に扱おうとしたのです。

平方は面積、立方は体積を表すことになるから、それらを避けることで、数式を幾何学から切り離したんだね。

指数の表し方

　シュケの『三部作』の第3部では、彼の記法の中で最も画期的な指数表記について紹介されています。
　彼は、未知数のべき乗を、係数の右肩に小さな数字を乗せることで表現しました。

シュケの記法	現代の記法
$12^1$	$12x$
$12^2$	$12x^2$
$12^3$	$12x^3$
$12^0$	$12$ ($12x^0$のこと)
$12^{2\overline{m}}$	$12x^{-2}$

　特筆すべきは、ゼロ指数と負の指数をヨーロッパで初めて導入したことです。

　シュケは、$x^0=1~$であることに気づいていました。
　また、以下のような計算から、負の指数についても理解していたことがわかります。

シュケによる指数の計算例

　$~8^3~$に$~7^{1\overline{m}}~$をかけるときには、まずは$~8~$と$~7~$をかけ、それから指数部分は$~3~$と$~1\overline{m}~$をたすため、$~56^2~$となる。

シュケによる指数の計算例の解説

　$~8^3~$は$~8x^3~$を、$~7^{1\bar{m}}~$は$~7x^{-1}~$を表すため、現在の記法では

8^3 \times 7^{1\overline{m}}=8x^3 \times7x^{-1}=56x^2

となり、$~56x^2~$はシュケの記法で$~56^2~$で正しいことがわかる。

　シュケは上記のように、2つの数のかけ算において指数はたし算になることを理解していました。
　$~2~$のべき乗表を作成し、$~128 \times 512~$を表中のたし算から$~65536~$と求めています。

　シュケの指数に関するアイデアは、14世紀のフランスの数学者ニコル・オレームの著作から影響を受けた可能性が指摘されています。

　シュケがオレームの写本を少なくとも1点所有していたことが分かっており、シュケはオレームの比の理論を、代数の指数法則へと発展させたと考えられます。

シュケの功績②：無理数の値を細かく求めた

　シュケは『三部作』の第1部において、フィボナッチの『算盤の書』のようにアラビア数字の説明から始め、基本的な計算の様々なアルゴリズムを述べました。

　彼の分数に関する手法の一つとして、「隣接した2つの数の間にある数をできるだけ多く見つけるため」の規則を紹介しています。

2数の間にある数を求める方法

　シュケは、2つの分数の間にある数を見つけるための法則を提示しました。

中間数の規則

　自然数$~a~,~b~,~c~,~d~$に対し、$~\displaystyle \frac{a}{b}~$と$~\displaystyle \frac{c}{d}~$が与えられたとき、その間にある新しい分数$~\displaystyle \frac{a+c}{b+d}~$が存在する。

　すなわち、

\frac{a}{b}< \frac{c}{d} ならば、\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d} <\frac{c}{d}

　シュケはこの中間数の規則を繰り返すことによって、元の2つの数の間にある分数をいくらでも求めることができるとしています。

中間数の規則の例

　$~\displaystyle \frac{1}{3}=0.33\cdots~$と$~\displaystyle \frac{1}{2}=0.5~$の間にある分数を、$~\displaystyle \frac{1}{2}~$に限りなく近づけるように求めていく。

$~\displaystyle \frac{1}{3}~$と$\displaystyle \frac{1}{2}~$から、$~\displaystyle \frac{1+1}{3+2}=\frac{2}{5}=0.4~$
$~\displaystyle \frac{2}{5}~$と$\displaystyle \frac{1}{2}~$から、$~\displaystyle \frac{2+1}{5+2}=\frac{3}{7}=0.428\cdots~$
$~\displaystyle \frac{3}{7}~$と$\displaystyle \frac{1}{2}~$から、$~\displaystyle \frac{3+1}{7+2}=\frac{4}{9}=0.444\cdots~$
$~\displaystyle \frac{4}{9}~$と$\displaystyle \frac{1}{2}~$から、$~\displaystyle \frac{4+1}{9+2}=\frac{5}{11}=0.454\cdots~$
$~\displaystyle \frac{5}{11}~$と$\displaystyle \frac{1}{2}~$から、$~\displaystyle \frac{5+1}{11+2}=\frac{6}{13}=0.461\cdots~$
$~\displaystyle \frac{6}{13}~$と$\displaystyle \frac{1}{2}~$から、$~\displaystyle \frac{6+1}{13+2}=\frac{7}{15}=0.466\cdots~$
$~\displaystyle \frac{7}{15}~$と$\displaystyle \frac{1}{2}~$から、$~\displaystyle \frac{7+1}{15+2}=\frac{8}{17}=0.470\cdots~$

　ただ、シュケは中間数の規則が正しいことを証明せずに使っています。
　現在の数学を用いれば、以下のように証明できます。

中間数の規則の証明

　$~\displaystyle \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}~$を示す。

\begin{align*} \frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b} &= \frac{b(a+c) - a(b+d)}{b(b+d)} \\ &= \frac{bc - ad}{b(b+d)} \quad \cdots①\\ \end{align*}

　ここで、$~①~$の分母の$~b(b+d) > 0~$、また、$~\displaystyle \frac{a}{b} < \frac{c}{d}~$ より、$~bc – ad > 0~$であることから、$~①~$の分子も$~0~$より大きい。

　よって、

\begin{align*} \frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b} &> 0\\ \frac{a+c}{b+d} &> \frac{a}{b} \quad \cdots ② \end{align*}

が示された。

　次に、$~\displaystyle \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}~$ を示す。

\begin{align*} \frac{c}{d} - \frac{a+c}{b+d} &= \frac{c(b+d) - d(a+c)}{d(b+d)} \\ &= \frac{bc - ad}{d(b+d)} \quad \cdots③\\ \end{align*}

　$~①~$と同様の議論から、$~③~$の分母と分子はどちらも$~0~$より大きい。

　よって、

\begin{align*} \frac{c}{d} - \frac{a+c}{b+d} &> 0\\ \frac{c}{d} &> \frac{a+c}{b+d} \quad \cdots ④\\ \end{align*}

が示された。

　$~②,④~$より、$~\displaystyle \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}~$が示された。$~\blacksquare~$

無理数の値を求めるために応用した

　シュケは『三部作』の第2部において、中間数の規則を無理数の近似値を求めるために応用しました。

中間数の規則による$~\sqrt{6}~$の近似

　$~\left(\displaystyle 2\frac{1}{3}\right)^2 = 5.444\cdots~$、$\left(\displaystyle 2\frac{1}{2}\right)^2 = 6.25~$より、

\displaystyle 2~\frac{1}{3} < \sqrt{6} < \displaystyle 2~\frac{1}{2} \quad \cdots ①

がわかる。

　$~①~$の2つの分数に中間数の法則を使うと、

2~\frac{1+1}{3+2} = 2~\frac{2}{5}

で、$~\left(\displaystyle 2~\frac{2}{5}\right)^2 = 5.76~$ より、

2~\frac{2}{5} < \sqrt{6} < 2~\frac{1}{2} \quad \cdots ②

がわかる。

　$~②~$の2つの分数に中間数の法則を使うと、

2~\frac{2+1}{5+2} = 2~\frac{3}{7}

で、$~\left(\displaystyle 2~\frac{3}{7}\right)^2 = 5.8979\cdots~$ より、

2~\frac{3}{7} < \sqrt{6} < 2~\frac{1}{2} \quad \cdots ③

がわかる。

　$~②,③~$のように、中間数の法則で出てきた分数の2乗が$~6~$より大きいか小さいかで不等式に使う分数の精度を上げていくと、

2\frac{4}{9} < \sqrt{6} < 2\frac{1}{2} \quad \left(\left(2\frac{4}{9}\right)^2 = 5.9753\cdots\right)

2\frac{4}{9} < \sqrt{6} < 2\frac{5}{11} \quad \left(\left(2\frac{5}{11}\right)^2 = 6.0247\cdots\right)

2\frac{4}{9} < \sqrt{6} < 2\frac{9}{20} \quad \left(\left(2\frac{9}{20}\right)^2 = 6.0025\cdots\right)

2\frac{13}{29} < \sqrt{6} < 2\frac{9}{20} \quad \left(\left(2\frac{13}{29}\right)^2 = 5.9940\cdots\right)

2\frac{22}{49} < \sqrt{6} < 2\frac{9}{20} \quad \left(\left(2\frac{22}{49}\right)^2 = 5.9975\cdots\right)

2\frac{31}{69} < \sqrt{6} < 2\frac{9}{20} \quad \left(\left(2\frac{31}{69}\right)^2 = 5.9989\cdots\right)

2\frac{40}{89} < \sqrt{6} < 2\frac{9}{20} \quad \left(\left(2\frac{40}{89}\right)^2 = 5.9997\cdots\right)

2\frac{40}{89} < \sqrt{6} < 2\frac{49}{109} \quad \left(\left(2\frac{49}{109}\right)^2 = 6.0002\cdots\right)

　ここにもう1度、中間数の規則を使うと、$~\displaystyle 2\frac{89}{198}~$ であり、これを平方すると、$~\displaystyle 6\frac{1}{39204} = 6.000025\cdots~$なので、$~\displaystyle 2\frac{89}{198}~$は$~\sqrt{6}~$に十分近い値であるとわかる。

　彼は、この方法で望むだけ正確な値が得られることを理解しており、古代ギリシャの二分法のパラドックスなどの影響で避けられてきた、連続（無理数）と離散（有理数）を統一的に扱う道において、さらなる一歩を踏み出しました。

シュケの功績③：方程式に関して様々な考察をした

　シュケは『三部作』の第3部で、方程式について当時としては非常に高度な考察を展開しています。

不定解への言及

　シュケは、3つの未知数を含む連立方程式を取り上げ、解が一つに定まらない場合があることを示しました。
　彼が述べたのは、次のような連立方程式の考察です。

シュケによる不定解の考察

　次のような連立方程式を解くことを考える。

\begin{cases} x+y=3z &\\ x+z=5y & \end{cases}

　この連立方程式の解として、$~x=12~$を選ぶと、$~y~,~z~$は次のように定まる。

x=12~,~y=3 \frac{3}{7}~,~z=5\frac{1}{7}

　しかし、$~y=8~$を選ぶと、$~x~,~z~$は次のように定まる。

x=28~,~y=8~,~z=12

　この考察を経て、シュケは次のように結論づけています。

シュケ

こうして、解を一つ与えるごとに、様々な答えを決められるということがわかる。

　3つの未知数を持つような2つの方程式からなる連立方程式は、多くの解があること（不定解）を示したのです。

負の解への言及

　シュケは、方程式を解く過程で負の数が解として現れることを受け入れました。
　これはヨーロッパで初めてのことです。

　『三部作』の中で、次のような問題において負の解を扱っています。

『三部作』における負の解の問題例

　方程式$~\displaystyle \frac{5}{12} \left(20-\frac{11}{20}x \right)=10~$を解くと、次のような解が出る。

x=-7\frac{3}{11}

　この解が出たとき、シュケは注意深くこの解を吟味し、これで正しいと結論しています。
　しかし、『三部作』の他の問題では負の解を「不可能なもの」として拒否し、さらには$~0~$も解として認めていません。

負の解について一貫性がない理由は定かではありません。
シュケが執筆する中で、負の数や$~0~$への考え方が変わってしまったのか…。

　また、解だけでなく方程式自体にも$~4x=-2~$のように負の数が使われている問題もありました。

虚数解への言及

　さらにシュケは、ある種の方程式を解こうとすると、現在の虚数解が現れることにも気づいていました。

『三部作』における虚数解の問題例

　$~a~,~b~,~m~,~n~$を特定の自然数としたとき、方程式$~ax^m=bx^{m+n}+x^{m+2n}~$の解は次のように与えられる。

x=\sqrt[n]{\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2+a}-\frac{b}{2}}

　この解をどう導いたかどうかはわかりませんが、現在であれば以下のように二次方程式で証明可能です。

虚数解の問題例の証明

　$~x^{m+2n} + bx^{m+n} = ax^m~$において、$~x^m > 0~$とすると、両辺を$~x^m~$でわることができる。

\begin{align*} x^{2n} + bx^n - a &= 0\\ \end{align*}

　$~X = x^n (>0)~$とおくと、二次方程式$~X^2+bx-a=0~$となるため、解の公式を使うと、

\begin{align*} X &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4a}}{2}\\ &= \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4a}}{2} \quad (\because X > 0)\\ &= \frac{\sqrt{b^2 + 4a}}{2} - \frac{b}{2}\\ &= \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{4a}{4}} - \frac{b}{2}\\ &= \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + a} - \frac{b}{2}\\ \end{align*}

となる。

　以上より、

x^n = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + a} - \frac{b}{2}

なので、両辺$~n~$乗根をとることで、

x = \sqrt[n]{\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + a} - \frac{b}{2}}

が求められる。$~\blacksquare~$

　実際、$~a=4~,~b=3~,~m=2~,~n=2~$のとき、方程式の解は次のようになります。

x=\pm1~,~\pm 2i

　$~\pm 2i~$のような虚数解に対し、シュケは「そのような数はありえない」と記すにとどまりましたが、16世紀に登場する虚数の存在を垣間見ていたのです。

シュケのエピソード：『三部作』の影響力は不明

　これほど多くの先駆的な内容を含んでいたにもかかわらず、シュケの『三部作』が後世の数学に与えた影響がどのくらいあったかはわかっていません。

『三部作』は印刷されず写本のみで残った

　シュケの『三部作』は、1484年の完成後に一度も印刷されることなく、写本としてのみ残されました。

　グーテンベルクによる印刷革命から数十年が経ち、数学書の出版も始まっていた時代でしたが、シュケの著作がなぜ出版されなかったのかは謎に包まれています。

　この本が再び日の目を見るのは、約400年後の1880年。
　フランスの言語学者アリスティード・マレ（Aristide Marre , 1823年3月7日〜1918年2月18日）によって発見・出版されたときでした。

弟子ラ・ロシュによる剽窃疑惑

　シュケの死後、彼が残した『三部作』の写本は、弟子の1人と推測されているエティエンヌ・ド・ラ・ロシュ（Estienne de La Roche , 1470年〜1530年）の手に渡りました。

　ラ・ロシュは1520年に『最新算術集成』という数学書を出版しますが、その内容は『三部作』の多くの部分を写し取ったものでした。

　このため、ラ・ロシュはシュケの功績を盗んだ「剽窃者」として厳しく非難されてきました。
　しかし近年の研究では、ラ・ロシュがシュケのアイデアを改良し、独自の貢献も加えていたことが指摘されており、その評価は見直されつつあります。

　確かなことは、シュケの『三部作』は近世ヨーロッパに広まらなかったものの、彼の思想の一部はラ・ロシュの著作を通じて間接的に伝わったということです。

まとめ

　ニコラ・シュケは、その主著である『三部作』を通じて16世紀以降の代数学に大きな影響を与えました。

指数表記の発明：ゼロ指数・負の指数を含む画期的な指数表記を導入した。
無理数の探求：「中間数の規則」を用いて無理数の近似値を精密に計算した。
方程式論の深化：負の解や不定解を認め、虚数の存在にも言及した。
フランス初の代数学書：主著『三部作』で15世紀フランスの数学を集大成した。

代数学の分野でとても革新的な手法をいくつも考えた人だったんだね。
もし『三部作』が印刷されて普及していたら、代数学の発展はもっと早かったかもしれないね。

ニコラ・シュケ徹底解説！ヨーロッパの代数学への影響とは？【数学史15-2】