球欠と球冠

 球を1つの平面で切り取ってできる球欠という立体について解説します。
 知っていれば凸レンズの体積や表面積が求められるようになる!?

この記事を読んでわかること
  • 「球欠」と「球冠」の言葉の意味
  • 球欠の体積の求め方
  • 球冠の面積の求め方
目次

Ⅰ 球欠と球冠の定義

 言葉としてはあまり聞いたことのない「球欠」と「球冠」。
 まずは言葉の意味を確認しておきます。

球欠と球冠の定義
  • 球を1つの平面で切り取ったときにできる立体のことを球欠という。
  • 球欠の側面部分(もとの球面部分)のことを球冠という。
球欠と球冠
<図1> 球欠と球冠

 言葉の意味を考えてみると、

  • けている。
  • 図1の2つの球欠のうち、下の欠をひっくり返すと王のようになる。(王冠で装飾が施されるのは表面だけ)

あたりが由来かと思います。

球冠と王冠
<図2> 球冠と王冠

 ちなみに、球を2つの平行な平面で切ると、「球台」となります。

Ⅱ 球欠の体積

 球欠はもとの球の半径とは関係なく、体積が求まります

球欠の体積
球欠の体積
<図3> 球欠の体積

 図3のような、切り口の円の半径が$~r~$、切り口の円の中心から球冠までの距離が$~h~$である球欠の体積は、

\begin{equation*}
\frac{\pi h}{6}(h^2+3r^2)
\end{equation*}

と表せる。

 意外とシンプルな式ですね。

 半球を例に挙げて、この公式があてはまっているかを確認してみましょう。

例1
半球
<図4> 半球

 この半球は、切り口の円の半径$~r=R~$、切り口の円の中心から球冠までの距離$~h=R~$の球欠とみなすことができるので、

\begin{align*}
&~~~\frac{\pi h}{6}(h^2+3r^2) \\
\\
&=\frac{\pi R}{6}(R^2+3R^2) \\
\\
&=\frac{\pi R}{6}\cdot 4R^2 \\
\\
&=\frac{2}{3}\pi R^3 \\
\end{align*}

と体積が求まる。

 球の体積の公式を使えば、半球の体積は

\begin{equation*}
\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3} \pi R^3
\end{equation*}

となるので、確かに球欠の公式で求めた結果と一致しています。

 では、球欠の体積の公式を証明してみましょう。

証明

 もとの球の半径を$~R~$とし、図5のような座標空間上で考える。

 球欠の体積の公式の証明1
<図5> 球欠の体積の公式の証明1

 この図において、もとの球の方程式は

\begin{equation*}
x^2+y^2+z^2=R^2
\end{equation*}

であり、平面$~z~~(-R < z < R )~$でもとの球を切ったとき、切り口の円の方程式は、

\begin{equation*} 
x^2+y^2=R^2-z^2 
\end{equation*}

であるため、切り口の円の半径は$~\sqrt{R^2-z^2}~$である。

 したがって、平面$~z~$における切り口の円の面積は

\begin{equation*}
\pi (\sqrt{R^2-z^2})^2=\pi (R^2-z^2)
\end{equation*}

となる。

 求めたい球欠の体積は、平面$~z~$における切り口の円を、$~z=R-h~$から$~z=R~$まで積分したものとなるため、

\begin{align*}
&~~~\int_{R-h}^{R}\pi(R^2-z^2)~dz \\
\\
&=\pi \int_{R-h}^{R}R^2-z^2~dz \\
\\
&=\pi \left[ R^2z-\frac{1}{3}z^3 \right]_{R-h}^{R} \\
\\
&=\pi \left\{ R^3-\frac{1}{3}R^3-R^2(R-h)+\frac{1}{3}(R-h)^3 \right\} \\
\\
&=\pi \left\{ \frac{2}{3}R^3-R^3+R^2h+\frac{1}{3}(R^3-3R^2h+3Rh^2-h^3) \right\} \\
\\
&=\pi \left( -\frac{1}{3}R^3+R^2h+\frac{1}{3}R^3-R^2h+Rh^2-\frac{1}{3}h^3 \right) \\
\\
&=\pi \left( Rh^2-\frac{1}{3}h^3 \right) ~~~~\cdots ①
\end{align*}

とわかる。

 ここで、図6の三角形に注目する。

 球欠の体積の公式の証明2
<図6>  球欠の体積の公式の証明2

 三平方の定理より、

\begin{align*}
R^2&=(R-h)^2+r^2 \\
R^2&=R^2-2Rh+h^2+r^2 \\
2Rh&=h^2+r^2 \\
R&=\frac{h^2+r^2}{2h}~~~~\cdots ②\\
\end{align*}

と表せるため、球欠の体積は、$~②~$を$~①~$に代入することで、

\begin{align*}
&=\pi \left( \frac{h^2+r^2}{2h}\cdot h^2-\frac{1}{3}h^3 \right) \\
\\
&=\pi \left( \frac{h^2+r^2}{2}\cdot h-\frac{1}{3}h^3 \right) \\
\\
&=\pi \left( \frac{h^3+hr^2}{2}-\frac{1}{3}h^3 \right) \\
\\
&=\frac{\pi}{6}(3h^3+3hr^2-2h^3) \\
\\
&=\frac{\pi}{6}(h^3+3hr^2) \\
\\
&=\frac{\pi h}{6}(h^2+3r^2) 
\end{align*}

が求まった。■

 $①$の式は、もとの球の半径$~R~$と、切り口の円の中心から球冠までの距離$~h~$だけで表せているため、球欠の体積を求めるためには、

  • $~R~$と$~h~$
  • $~r~$と$~h~$

のどちらかがわかっていれば良いということになります。

Ⅲ 球冠の面積

 次に球冠の面積ですが、球欠と同様に もとの球の半径とは関係なく、面積が求まります

球冠の面積
<図7> 球冠の面積

 

図7のような、切り口の円の半径が$~r~$、切り口の円の中心から球冠までの距離が$~h~$である球欠の体積は、

\begin{equation*}
\pi (h^2+r^2)
\end{equation*}

と表せる。

 球欠の体積よりもさらにシンプルな式です。
 
 こちらについても、まずは半球を使って確認してみましょう。

例2
半球
<図8> 半球

 この半球は、切り口の円の半径$~r=R~$、切り口の円の中心から球冠までの距離$~h=R~$の球欠とみなすことができるので、

\begin{align*}
\pi (h^2+r^2)&=\pi(R^2+R^2) \\
&=2\pi R^2
\end{align*}

と面積が求まる。

 球の表面積の公式を使えば、半球の側面積(もとの球面の部分)は、

\begin{equation*}
\frac{1}{2}\cdot 4\pi R^2=2 \pi R^2
\end{equation*}

となるので、確かに球冠の面積の公式で求めた結果と一致しています。

 球冠の面積の公式についても証明してみましょう。

証明

 もとの球の半径を$~R~$として、次のアイスクリーム型の立体(以下「アイス体」)を考える。

アイス型の立体
<図9> アイス体

 このアイス体は、球欠と円錐からできている。

 $①$より、アイス体の球欠の体積は$~R~$と$~h~$を使って、

 \pi \left( Rh^2-\frac{1}{3}h^3 \right)~~~\cdots ③

と表せ、アイス体の円錐の体積は、底面の半径が$~r~$、高さが$~R-h~$なので、

\frac{1}{3}\pi r^2(R-h)~~~~\cdots ④

と表せる。

 $③$と$④$より、アイス体の体積は、

\begin{align*}
&~~~\pi \left( Rh^2-\frac{1}{3}h^3 \right)+\frac{1}{3}\pi r^2(R-h) \\
\\
&=\frac{\pi}{3} \left\{ 3Rh^2-h^3+r^2(R-h) \right\}
\end{align*}

であり、$②$を変形することで得られる$~r^2=2Rh-h^2~$を代入すると、

\begin{align*}
&=\frac{\pi}{3} \left\{ 3Rh^2-h^3+(2Rh-h^2)(R-h) \right\} \\
\\
&=\frac{\pi}{3} \left( 3Rh^2-h^3+2R^2h-2Rh^2-Rh^2+h^3 \right) \\
\\
&=\frac{\pi}{3} \cdot 2R^2h \\
\\
&=\frac{2}{3} \pi R^2h
\end{align*}

とアイス体の体積が求まった。

 このアイス体は、球冠の面積$~S~$を使って、$~\displaystyle \frac{1}{3}SR~$とも表せるため、

\begin{align*}
\frac{1}{3}SR&=\frac{2}{3} \pi R^2h \\
\\
S&=2\pi Rh
\end{align*}

と求まる。

 ここで、$②$を代入すると、

\begin{align*}
S&=2\pi \cdot \frac{h^2+r^2}{2h} \cdot h \\
\\
&=\pi(h^2+r^2)
\end{align*}

と求めたい式に変形された。■

マーカー部の「球冠の面積$~S~$を使って、$~\displaystyle \frac{1}{3}SR~$とも表せる」について、補足。

扇形とアイス体
<図10> 扇形とアイス体

扇形の面積が、

\frac{1}{2} \times(弧の長さ)\times(半径)

という公式で、三角形と同じように求めることができるのと同様、アイス体の体積は、

\frac{1}{3} \times(球冠の面積)\times(半径)

という公式で、錐体と同じように求めることができます。

  また、この証明の中で登場する、球冠の面積$~S=2\pi Rh~$という式ですが、

球冠の面積は、もとの球から切断するときの厚さ$~h~$に比例する

ということを意味しています。
 
 こういう観点からでも美しいですね。


球を切った立体に名前がついていることに驚きΣ(゚Д゚)

しかも球欠の側面にまで、球冠という名前がついているからね。

よかったらシェアしてね!

コメント

コメントする

CAPTCHA


目次
閉じる