球欠と球冠

大学・一般数学空間図形大学・一般数学

 球を1つの平面で切り取った部分である球欠について考えます。凸レンズの体積を求める際にも利用できます。
Ⅰ 球欠と球冠とは?
Ⅱ 球欠の体積
Ⅲ 球冠の面積


目次
  • 1. Ⅰ 球欠と球冠とは?
  • 2. Ⅱ 球欠の体積
  • 3. Ⅲ 球冠の面積

Ⅰ 球欠と球冠とは?

 言葉としてはあまり聞いたことのない「球欠」と「球冠」。まずはそれらの定義を確認してみましょう。

球欠と球冠

 球を1つの平面で切り取ったときにできる立体のことを球欠という。
 
 球欠の側面部分(もとの球面部分)のことを球冠という。

 こうして見ると、ごもっともな名前が付いていることがわかりますね。

 ・けているから「球欠」
 ・上図の2つの球欠のうち、下の欠をひっくり返すと王のようになるから「球冠」
  (王冠で装飾が施されるのは表面だけですよね)

 
 今回は球欠の体積と球冠の面積を求めていきます。


Ⅱ 球欠の体積

 球欠はドーム型(半球とは限らない!)の立体ですが、実はもとの球の半径とは関係なく、体積が求まります。

球欠の体積


 上図のような、切り口の円の半径が\(~r~\)、切り口の円の中心から球冠までの距離が\(~h~\)である球欠の体積は、
\begin{equation}
\frac{\pi h}{6}(h^2+3r^2)
\end{equation}
と表せる。

 意外にシンプルな式となりました。
 
 一つ例を挙げて、既存の知識との整合性を確認しましょう。

 半径\(~R~\)の半球

 この半球は、切り口の円の半径\(~r=R~\)、切り口の円の中心から球冠までの距離\(~h=R~\)の球欠とみなすことができるので、
\begin{align}
&~~~\frac{\pi h}{6}(h^2+3r^2) \\
\\
&=\frac{\pi R}{6}(R^2+3R^2) \\
\\
&=\frac{\pi R}{6}\cdot 4R^2 \\
\\
&=\frac{2}{3}\pi R^3 \\
\end{align}
と体積が求まる。

 球の体積の公式を使えば、半球の体積は
\begin{equation}
\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3} \pi R^3
\end{equation}
となるので、確かに球欠の公式で求めた結果と一致しています。
 
 では、そろそろ証明に入っていきたいと思います。

証明

 もとの球の半径を \(R~\)とし、下の図のような座標空間上で考える。

 この図において、もとの球の方程式は
\begin{equation}
x^2+y^2+z^2=R^2
\end{equation}
であり、平面\(~z~~(-R < z < R )~\)でもとの球を切ったとき、切り口の円の方程式は、 \begin{equation} x^2+y^2=R^2-z^2 \end{equation} であるため、切り口の円の半径は\(~\sqrt{R^2-z^2}~\)である。
&bnbsp;
 したがって、平面\(~z~\)における切り口の円の面積は
\begin{equation}
\pi (\sqrt{R^2-z^2})^2=\pi (R^2-z^2)
\end{equation}
となる。
 
 
 求めたい球欠の体積は、平面\(~z~\)における切り口の円を、\(~z=R-h~\)から\(~z=R~\)まで積分したものとなるため、
\begin{align}
&~~~\int_{R-h}^{R}\pi(R^2-z^2)~dz \\
\\
&=\pi \int_{R-h}^{R}R^2-z^2~dz \\
\\
&=\pi \left[ R^2z-\frac{1}{3}z^3 \right]_{R-h}^{R} \\
\\
&=\pi \left\{ R^3-\frac{1}{3}R^3-R^2(R-h)+\frac{1}{3}(R-h)^3 \right\} \\
\\
&=\pi \left\{ \frac{2}{3}R^3-R^3+R^2h+\frac{1}{3}(R^3-3R^2h+3Rh^2-h^3) \right\} \\
\\
&=\pi \left( -\frac{1}{3}R^3+R^2h+\frac{1}{3}R^3-R^2h+Rh^2-\frac{1}{3}h^3 \right) \\
\\
&=\pi \left( Rh^2-\frac{1}{3}h^3 \right) ~~~~\cdots ①\\
\end{align}
とわかる。
 
 ここで、下の三角形に注目する。

 三平方の定理より、
\begin{align}
R^2&=(R-h)^2+r^2 \\
R^2&=R^2-2Rh+h^2+r^2 \\
2Rh&=h^2+r^2 \\
R&=\frac{h^2+r^2}{2h}~~~~\cdots ②\\
\end{align}
と表せる。
 
 \(②\)を\(①\)に代入することで、球欠の体積は、
\begin{align}
&=\pi \left( \frac{h^2+r^2}{2h}\cdot h^2-\frac{1}{3}h^3 \right) \\
\\
&=\pi \left( \frac{h^2+r^2}{2}\cdot h-\frac{1}{3}h^3 \right) \\
\\
&=\pi \left( \frac{h^3+hr^2}{2}-\frac{1}{3}h^3 \right) \\
\\
&=\frac{\pi}{6}(3h^3+3hr^2-2h^3) \\
\\
&=\frac{\pi}{6}(h^3+3hr^2) \\
\\
&=\frac{\pi h}{6}(h^2+3r^2) \\
\end{align}
と求まった。\(~~~\blacksquare~\)

 ちなみにですが、\(①\)の式は、もとの球の半径\(R~\)と切り口の円の中心から球冠までの距離\(~h~\)で表せたものとなります。 


Ⅲ 球冠の面積

 次に球冠の面積ですが、こちらも、もとの球の半径\(~R~\)とは関係なく求まります。

球冠の面積


 上図のような、切り口の円の半径が\(~r~\)、切り口の円の中心から球冠までの距離が\(~h~\)である球冠の面積は、
\begin{equation}
\pi (h^2+r^2)
\end{equation}
と表せる。

 球欠の体積と同様に、割とシンプルな式で表せました。
 
 こちらについても、半球を使って確認してみましょう。

 半径\(~R~\)の半球

 この半球は、切り口の円の半径\(~r=R~\)、切り口の円の中心から球冠までの距離\(~h=R~\)の球欠とみなすことができるので、
\begin{align}
\pi (h^2+r^2)&=\pi(R^2+R^2) \\  
&=2\pi R^2
\end{align}
と球冠の面積が求まる。

 球の表面積の公式を使えば、半球の側面積(もとの球面の部分)は、
\begin{equation}
\frac{1}{2}\cdot 4\pi R^2=2 \pi R^2
\end{equation}
となるので、確かに球冠の面積の公式で求めた結果と一致しています。
 
 では、こちらも証明に入っていきます。

証明2

 もとの球の半径を \(R~\)として、次のアイスクリーム型の立体(以下「アイス体」)を考える。

 このアイス体は、球欠と円錐からできている。
 
 その円錐の体積は、底面の半径は\(~r~\)、高さが\(~R-h~\)なので、
\begin{equation}
\frac{1}{3}\pi r^2(R-h)
\end{equation}
となる。
 
 先の証明1の\(①\)より、\(~R~\)と\(~h~\)を使って、球欠の体積は\(~\displaystyle \pi \left( Rh^2-\frac{1}{3}h^3 \right)~\)と表せるので、アイス体の体積は、
\begin{align}
&~~~\pi \left( Rh^2-\frac{1}{3}h^3 \right)+\frac{1}{3}\pi r^2(R-h) \\
\\
&=\frac{\pi}{3} \left\{ 3Rh^2-h^3+r^2(R-h) \right\}
\end{align}
であり、証明1の\(②\)を変形することで得られる\(~r^2=2Rh-h^2~\)を代入すると、
\begin{align}
&=\frac{\pi}{3} \left\{ 3Rh^2-h^3+(2Rh-h^2)(R-h) \right\} \\
\\
&=\frac{\pi}{3} \left( 3Rh^2-h^3+2R^2h-2Rh^2-Rh^2+h^3 \right) \\
\\
&=\frac{\pi}{3} \cdot 2R^2h \\
\\
&=\frac{2}{3} \pi R^2h
\end{align}
とアイス体の体積が求まった。
 
 このアイス体は、球冠の面積\(~S~\)を使って、\(~\displaystyle \frac{1}{3}SR~\)とも表せる(※)ので、
\begin{align}
\frac{1}{3}SR&=\frac{2}{3} \pi R^2h \\
S&=2\pi Rh
\end{align}
と、\(~R~\)と\(~h~\)を使って表せた。
 
 また、証明1の\(②\)により、
\begin{align}
S&=2\pi \cdot \frac{h^2+r^2}{2h} \cdot h \\
\\
&=\pi(h^2+r^2)
\end{align}
と求めたい式が求まった。\(~~~\blacksquare~\)

※「球冠の面積\(~S~\)を使って、\(~\displaystyle \frac{1}{3}SR~\)とも表せる」とありますが、扇形の面積が、
\begin{equation}
\frac{1}{2} \times (弧の長さ) \times (半径)
\end{equation}
というように、三角形と同じように求めることができるのと同様、アイス体の体積は、
\begin{equation}
\frac{1}{3} \times (球冠の面積) \times (半径)
\end{equation}
というように、錐体と同じように求めることができます。


 
 また、この証明の中で登場する、球冠の面積\(~S=2\pi Rh~\)という式ですが、

 球冠の面積は、もとの球から切断するときの厚さ\(~h~\)に比例する

ということを意味しています。
 
 こういう観点からでも美しいですね。


 「私学適性(数学)令和2年度」で、「球欠」という言葉は出てこないものの、体積を求める問題が出てきたので深く考えてみました。


 
 


◇参考文献等
・「球欠と球冠-大学入試問題」,<http://sshmathgeom.private.coocan.jp/problem/Archimedes24.html > 2020年8月13日アクセス
・「いらすとや」,<https://www.irasutoya.com/search?q=%E7%8E%8B%E5%86%A0 > 2020年8月13日アクセス