球台と球帯

　もとの球の半径を $R~$とする。
　球台の体積は、切り口の円の半径$~r_2~$、切り口の円の中心から球冠までの距離$~h_2~$の球欠の体積から、切り口の円の半径$~r_1~$、切り口の円の中心から球冠までの距離$~h_1~$の球欠の体積を引くことで求められる。

　よって、球台の体積は、
\begin{equation}
\frac{\pi h_2}{6}(3r_2^2+h_2^2)-\frac{\pi h_1}{6}(3r_1^2+h_1^2) \\
\\
\end{equation}
と表せる。
 
　$~h_2~$を消去するために、$~h_2=h+h_1~$を代入することで、

\begin{align}
&~~~\frac{\pi}{6}(h+h_1)\{3r_2^2+(h+h_1)^2\}-\frac{\pi h_1}{6}(3r_1^2+h_1^2) \\
\\
&=\frac{\pi}{6}(h+h_1)(3r_2^2+h_1^2+2hh_1+h^2)-\frac{\pi h_1}{6}(3r_1^2+h_1^2) \\
\\
&=\frac{\pi}{6}\left( 3h_1r_2^2+h_1^3+2hh_1^2+h^2h_1+3hr_2^2+hh_1^2+2h^2h_1+h^3-3h_1r_1^2-h_1^3 \right) \\
\\
&=\frac{\pi}{6}\left( h^3+3h_1r_2^2+3hh_1^2+3h^2h_1+3hr_2^2-3h_1r_1^2 \right) \\
\\
&=\frac{\pi}{6}\left\{ h^3+3\left( h_1r_2^2+hh_1^2+h^2h_1-h_1r_1^2 \right)+3hr_2^2 \right\} ~~~\cdots ① \\
\end{align}

\begin{align}
&~~~\frac{\pi}{6}(h+h_1)\{3r_2^2+(h+h_1)^2\}-\frac{\pi h_1}{6}(3r_1^2+h_1^2) \\
\\
&=\frac{\pi}{6}(h+h_1)(3r_2^2+h_1^2+2hh_1+h^2)\\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-\frac{\pi h_1}{6}(3r_1^2+h_1^2) \\
\\
&=\frac{\pi}{6}\left( 3h_1r_2^2+h_1^3+2hh_1^2+h^2h_1+3hr_2^2+hh_1^2 \right.\\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left. +2h^2h_1+h^3-3h_1r_1^2-h_1^3 \right) \\
\\
&=\frac{\pi}{6}\left( h^3+3h_1r_2^2+3hh_1^2+3h^2h_1+3hr_2^2-3h_1r_1^2 \right) \\
\\
&=\frac{\pi}{6}\left\{ h^3+3\left( h_1r_2^2+hh_1^2+h^2h_1-h_1r_1^2 \right)+3hr_2^2 \right\} \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdots ① \\
\end{align}

と式変形できる。
 
　次に、$~h_1~$を消去するため、下の図の直角三角形に注目する。

　三平方の定理を使うと、
\begin{align}
R^2&=(R-h_1)^2+r_1^2 \\
R^2&=R^2-2Rh_1+h_1^2+r_1^2 \\
2Rh_1&=h_1^2+r_1^2 \\
R&=\frac{h_1^2+r_1^2}{2h_1}~~~~\cdots ②\\
\end{align}
と表せる。
 
　同様に、球台の底面の半径$~r_2~$の円についても、
\begin{equation}
R=\frac{h_2^2+r_2^2}{2h_2}~~~~\cdots ③\\
\end{equation}
なので、$②$と$③$より、
\begin{align}
\frac{h_1^2+r_1^2}{2h_1}&=\frac{h_2^2+r_2^2}{2h_2} \\
\\
\frac{h_1^2+r_1^2}{h_1}&=\frac{h_2^2+r_2^2}{h_2} \\
\end{align}
となる。
 
　この式に、$~h_2=h+h_1~$を代入することで、
\begin{align}
\frac{h_1^2+r_1^2}{h_1}&=\frac{(h+h_1)^2+r_2^2}{h+h_1} \\
\\
(h+h_1)(h_1^2+r_1^2)&=h_1 \left( h^2+2hh_1+h_1^2+r_2^2 \right) \\
\\
hh_1^2+hr_1^2+h_1^3+h_1r_1^2&=h^2h_1+2hh_1^2+h_1^3+h_1r_2^2 \\
\\
hr_1^2&=h_1r_2^2+hh_1^2+h^2h_1-h_1r_1^2 ~~~\cdots ④\\
\end{align}
という式が求まる。
 
　この$④$を$①$に代入することで、球台の体積は、
\begin{align}
&~~~\frac{\pi}{6}\left( h^3+3\cdot hr_1^2 +3hr_2^2 \right) \\
\\
&=\frac{\pi h}{6}\left( h^2+3r_1^2 +3r_2^2 \right) \\
\end{align}
と求まった。$~~~\blacksquare~$

　もとの球の半径を $R~$とする。
　球帯の面積は、切り口の円の中心から球冠までの距離$~h_2~$の球冠の面積から、切り口の円の中心から球冠までの距離$~h_1~$の球冠の面積を引くことで求められる。

　よって、球帯の面積は、
\begin{align}
&~~~2\pi Rh_2-2\pi Rh_1 \\
&=2\pi R(h_2-h_1) \\
&=2\pi R h
\end{align}
と求まった。$~~~\blacksquare~$