シンプソンの公式(応用編①)

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シンプソンの公式は単純な積分のみならず、考え方次第では体積を求めるのにも使えます。
今回はその例をいくつか紹介します。
Ⅰ 体積への拡張
Ⅱ 三角柱の体積
Ⅲ 円錐の体積
Ⅳ 四角錐台の体積


目次
  • 1. Ⅰ 体積への拡張
  • 2. Ⅱ 三角柱の体積
  • 3. Ⅲ 円錐の体積
  • 4. Ⅳ 四角錐台の体積

Ⅰ 体積への拡張

一応最初なので、シンプソンの公式を復習しておきましょう。

シンプソンの公式

\(~f(x)~\) が3次以下の関数のとき、次の式が成り立つ。

\begin{equation}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx=\frac{(b-a)}{6} \left\{ f(a)+4f\left( \frac{a+b}{2} \right) +f(b) \right\}
\end{equation}


\begin{align}
&\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx \\
\\
&=\frac{(b-a)}{6} \left\{ f(a)+4f\left( \frac{a+b}{2} \right) +f(b) \right\}
\end{align}

 証明や基本例は「シンプソンの公式(基本編)」を参照してください。
 
 今回考えたいのは体積への応用です。高さが \(~a~\) から \(~b~\) までの範囲で、面積が3次以下の関数で増減するようであれば、シンプソンの公式で体積を求めることができます。
 
 ということで、次章よりいくつか例を挙げていきます。説明をわかりやすくするため、次のような文字を使います。

\(~xyz~\) 空間で、 \(~f(z)~\) は高さ \(~z~\) で切った立体の断面積とし、一番高いところを \(~z=t~\) 、一番低いところを \(~z=s~\) とすると、

求めたい体積は \(~\displaystyle \int_{s}^{t}f(z)dz \)と表せる。

また、立体の高さの半分の位置を \(~\displaystyle \frac{t+s}{2}=m~\) としておく。
 
よって、シンプソンの公式で体積は次のように計算できる。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{t-s}{6} \left\{ f(s)+ 4f(m) +f(t) \right\}
\end{equation}

では、シンプソンの公式の応用例を見ていきましょう。


Ⅱ 三角柱の体積

応用例1

底辺が \(~a~\) 、高さが \(~b~\) の三角形を底辺にもつ、高さ \(~h~\) の三角柱の体積

情報を整理する。
\begin{align}
\displaystyle f(t)&=\frac{ab}{2} \\
\\
f(s)&=\frac{ab}{2} \\
\\
f(m)&=\frac{ab}{2} \\
\\
t-s&=h
\end{align}
さらに、面積の増減は一定であるため、3次以下。
 
以上より、体積は
\begin{align}
&\displaystyle \frac{t-s}{6} \left\{ f(s)+ 4f(m) +f(t) \right\} \\
\\
&=\frac{h}{6} \left\{ \frac{ab}{2}+ 4\frac{ab}{2} +\frac{ab}{2} \right\} \\
\\
&=\frac{h}{6} \cdot 3ab \\
\\
&=\frac{abh}{2}
\end{align}

確かに、従来の方法で求めても同じ式が出てきます。


Ⅲ 円錐の体積

応用例2

半径 \(~r~\) の円を底面にもつ、高さ \(~h~\) の円錐の体積

情報を整理する。
\begin{align}
\displaystyle f(t)&=0 \\
f(s)&=\pi r^2 \\
t-s&=h
\end{align}
相似から、 \(~z=m~\) の面積は半径 \(~\displaystyle \frac{r}{2}~\) の円なので、
\begin{align}
\displaystyle f(m)&=\pi \left( \frac{r}{2} \right)^2 \\
\\
&=\frac{\pi r^2}{4}
\end{align}
さらに、高さが \(~\displaystyle \frac{1}{2}~\) 倍されれば、面積が \(~\displaystyle \frac{1}{4}~\) 倍となっているので、面積の増減は2次関数的。
 
以上より、体積は
\begin{align}
&\displaystyle \frac{t-s}{6} \left\{ f(s)+ 4f(m) +f(t) \right\} \\
\\
&=\frac{h}{6} \left\{ \pi r^2 + 4\frac{\pi r^2}{4} + 0 \right\} \\
\\
&=\frac{h}{6} \cdot 2\pi r^2 \\
\\
&=\frac{\pi hr^2}{3}
\end{align}

確かに錐体は \(~\displaystyle \frac{1}{3}~\) となっていますね!!


Ⅳ 四角錐台の体積

応用例3

縦が \(~a~\) 、横が \(~b~\) の長方形を下底面に、縦が \(~ap(0 < p < 1)~\) 、横が \(~bp~\) の長方形を上底面にもつ、高さ \(~h~\) の四角錐台の体積

情報を整理する。
\begin{align}
\displaystyle f(t)&=abp^2 \\
f(s)&=ab \\
t-s&=h
\end{align}
\(~z=m~\) の長方形の縦は \(~\displaystyle \frac{ap+a}{2}~\) 、横は \(~\displaystyle \frac{bp+b}{2}~\) なので、
\begin{align}
\displaystyle f(m)&=\frac{ap+a}{2} \cdot \frac{bp+b}{2}\\
\\
\displaystyle f(m)&=\frac{a(p+1)}{2} \cdot \frac{b(p+1)}{2}\\
\\
&=\frac{ab(p+1)^2}{4}
\end{align}
さらに、高さが \(~p~\) 倍されれば、面積が \(~p^2~\) 倍となっているので、面積の増減は2次関数的。
 
以上より、体積は
\begin{align}
&\displaystyle \frac{t-s}{6} \left\{ f(s)+ 4f(m) +f(t) \right\} \\
\\
&=\frac{h}{6} \left\{ ab + 4\frac{ab(p+1)^2}{4} + abp^2 \right\} \\
\\
&=\frac{h}{6} \left\{ ab+ab(p+1)^2+abp^2 \right\} \\
\\
&=\frac{abh}{6}(1+p^2+2p+1+p^2) \\
\\
&=\frac{abh}{3}(p^2+p+1) \\
\end{align}

複雑な錐台もバッチリ解けました。


シンプソンの公式、便利ですね。次回はもっと高度な図形に挑戦してみます!!