３×３の魔方陣の作り方

　下のような魔方陣で考える。
　ただし、$~a~$ ～ $~i~$ にはそれぞれ１～９の自然数が１つずつ入るものとする。

　このとき、次の式が成り立つ。

\begin{align*}
 &a+b+c+d+e+f+g+h+i \\
 &=1+2+3+4+5+6+7+8+9  \\
 &=45  ~~~~\cdots ①
 \end{align*}

$①$より、

\begin{equation*}
 (a+b+c)+(d+e+f)+(g+h+i)=45
 \end{equation*}

となるため、それぞれのカッコ内の式が各行の和$~S~$を表すことから、

\begin{align*}
S+S+S&=45  \\
3S&=45  \\
S&=15
\end{align*}

が求まった。

　次に、中央の数を通る４ラインの和について考えると、次の等式が成り立つ。

 \begin{equation*}
 (a+e+i)+(b+e+h)+(c+e+g)+(d+e+f)=15 \times 4
 \end{equation*}

項のまとまりを変えることで、

\begin{equation*}
 (a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=60
\end{equation*}

であり、$①$より、

 \begin{align*}
  45+3e&=60  \\
 3e&=15  \\
 e&=5
 \end{align*}

と、中央の数$~e~$が求まった。

　３つの数のうちの１つが$~1~$であるとすると、残りの２つの数で和が１５になるようにするためには、

• $~1~,~5~,9~$の組み合わせ
• $~1~,~6~,8~$の組み合わせ

の２パターンしかない。

　そのため、四隅である（ $~a~,~c~,~g~,~i~$ ）は縦・横・斜めの３ラインに影響するため、$~1~$を配置することができない。
　すなわち、１は $~b~,~d~,~f~,~h~$ のどこかに配置される。

　魔方陣は左右・上下対称なので、 $~b~,~d~,~f~,~h~$ のどこに置いても一般性は失われない。

　そこで、今回は $~b=1~$ とする。

　STEP３より、$~1~$と同じライン上には、$~5~$と $~9~$ の組み合わせか $~6~$ と $~8~$ の組み合わせしかないため、 $~h=9~$ がわかる。

　さらに、 $~a~,~c~$ には $~6~$ と $~8~$ が入ることがわかりますが、魔方陣は左右対称であることから、 $~a~,~c~$ どちらを $~6~$ にしても一般性は失われない。

　そこで、今回は $~a=6~,~c=8~$ とする。

ここまでくればあとは自然に埋まります。斜めに注目すれば、

\begin{align*}
8+5+g&=15 \\
g&=2  \\
\\
6+5+i&=15  \\
i&=4
\end{align*}

が求まる。

　また、１列目、３列目に注目すれば、

\begin{align*}
6+d+2&=15 \\  
d&=7\\
\\
8+f+4&=15  \\
f&=3
\end{align*}

が求まるため、魔方陣が完成した。