３×３×３の立方陣

2020年8月28日プチ研究数論プチ研究

★平面の魔方陣については、こちらから↓★
・「３×３の魔方陣の作り方」
・「３×３魔方陣のもつ性質」
・「３×３魔方陣のすごい性質」
・「積の魔方陣」

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Ⅰ　立方陣とは

　まず、平面の３×３の魔方陣は、次のようなものでした。（「３×３の魔方陣の作り方」より）

　３×３魔方陣の定義は、「１～９の自然数を、３×３の正方形のマスに１つずつ入れ、縦・横・斜めの数の和が一定になる」というものでした。
 
　今回考える３×３×３の立体の魔方陣、つまり立方陣の定義は次のように行います。

　厳密な意味での立方陣だと、立体の中心を通る対角線や、１つの面の中の対角線などの全てのラインの和が一定にならなければいけません。
 
　しかし、３×３×３の場合はそのような数字の組み合わせはありません。
 
　そのため、今回は最低限、縦・横・上下の計２７ラインの和は一定となるようなものを考えます。

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Ⅱ　立方陣の１ラインの和

　立方陣に数字を埋めていく前に、１ラインの和がいくつになるのかを求めておきます。
 
　使う数字である１～２７の和は、\(~\displaystyle \frac{27 \times 28}{2}=378~\)。
 
　下の図のように、縦ラインだけに注目すると、１段につき３ライン。全体で９ラインあるので、\(~378 \div 9=42~\)。

　すなわち、１ラインの和は\(~42~\)と求まりました。
 
 
　この記事では、これ以上は数学的に求めません。
（３×３の魔方陣とは比較にならないほど複雑なので・・・）
 
　いろいろな３×３×３の立方陣を、次の章でお示しします。
（作り方はうまくまとめられたら記事にしようと思っています・・・）

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Ⅲ　立方陣の例

　何個か立方陣を作ってみました。縦・横・上下以外で、１ラインの和が４２となっているところを探してみましょう。

この立方陣は、縦・横・上下以外に、和が４２となっているのが５ラインあります。

見づらいので、数式も書いておきます。
\(~22+5+15=42~\)
\(~16+11+15=42~\)
\(~13+14+15=42~\)
\(~20+14+8=42~\)
\(~13+27+2=42~\)
 
　縦・横・上下以外に１６ラインあるのですが、そのうちの５ライン。
　でも、これは序の口・・・

この立方陣は、縦・横・上下以外に、和が４２となっているのが７ラインあります。

非常に見づらいので、数式を頼りましょう。
\(~17+15+10=42~\)
\(~14+15+13=42~\)
\(~23+8+11=42~\)
\(~5+15+22=42~\)
\(~16+15+11=42~\)
\(~23+15+4=42~\)
\(~7+15+20=42~\)
 
　立方体の対角線が４ライン中３ライン揃っているのがすごいですね。
　次で最後！！

この立方陣は、縦・横・上下以外に、和が４２となっているのが１０ラインあります。

超絶見づらいので、数式様にすがりしょう。
\(~6+14+22=42~\)
\(~17+14+11=42~\)
\(~15+14+13=42~\)
\(~26+14+2=42~\)
\(~18+14+10=42~\)
\(~23+14+5=42~\)
\(~20+14+8=42~\)
\(~4+14+24=42~\)
\(~7+14+21=42~\)
\(~12+14+16=42~\)
 
　すべて中央の１４を通っています。そして、対称形。
　これが３×３×３立方陣の最も美しい形です。
 
　他にもいろいろ作りましたが、１０ラインを超えることはできませんでした。
　今回の研究は以上です！！

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◇参考文献等
・青柳碧人（2014）『浜村渚の計算ノート　５さつめ』,pp.95-98,おこさま訳,新潮社.
・「立体魔方陣」,＜http://nadamath2012.web.fc2.com/bushi/2004_mas2.pdf ＞ 2020年5月19日アクセス