ヘロン〜生涯と功績を解説！ヘロンの公式が革新的な2つの理由とは？【数学史8-3】 2026 1/05 古代ローマ 幾何 数学の利用 ヘロン 2025年4月30日2026年1月5日 当ページのリンクには広告が含まれています。 アレクサンドリアのヘロンは、1世紀に活躍した古代ギリシャの数学者であり発明家です。 三角形の面積を求める「ヘロンの公式」で知られるだけでなく、自動ドアや自動販売機など多くの画期的な発明を生み出しました。 特にヘロンの公式は、面積を簡単に求められる革新的な式であると同時に、数学に対する考え方が変わる重大な意味を有しています。 この記事では、数学者ヘロンの生涯と功績についてを、数学史ライターで現役教員のFukusukeが中学生・高校生でもわかるように解説！ ヘロンがローマ帝国や数学史全体に与えた影響がわかります。 📍数学史の全体像と現在地 📜 数学史全体の流れを知りたい！ 数学史の年表〜数学の歴史を4つの時代から捉える！世界史と合わせて見る数学通史〜 📖 この記事の時代背景を知りたい！ 【8まとめ】古代ローマの数学史まとめ〜世界史の流れに合わせて当時の数学を解説！ ⬅️➡️ この記事の前後を知りたい！ ← 前の記事 【8-2】メネラウス～生涯と功績を解説！メネラウスの定理は球面で考えられた？ 次の記事 → 【8-4】ニコマコス〜生涯と功績を解説！ニコマコスの定理はΣの公式？ この記事を書いた人 Fukusuke（ふくすけ）数学史の先生 現役の中学・高校数学教員 著書2冊重刷、ブログ累計200万PV達成 行間がなくなるほど丁寧な式変形で執筆中 この記事を書いた人 Fukusuke（ふくすけ）数学史の先生 現役の中学・高校数学教員 著書2冊は発売1ヶ月で即重刷 当数学史ブログは累計200万PV達成 行間がなくなるほど丁寧な式変形で記事を執筆 『世界を変えた数学史図鑑』『教養としての数学史』好評発売中！ 数学史の入門書としておすすめ！読みやすいと好評です！ Amazonで『数学史図鑑』を見る 楽天市場で『数学史図鑑』を見る 数学史の入門書としておすすめ！読みやすいと好評です！ Amazonで『数学史図鑑』を見る 楽天市場で『数学史図鑑』を見る この記事を読んでわかること ヘロンの生涯 ヘロン（Heron,1世紀頃活躍？）はローマ帝国に支配された後のアレクサンドリアで研究した数学者です。 生没年については紀元前150年から紀元後250年の間で諸説あります。 この記事では最も一般的な説となっている、1世紀を生きた人物であるという仮定で解説します。 ヘロン（出典：See page for author, Public domain, via Wikimedia Commons） ヘロンの年譜 ヘロンの年譜 10年頃 エジプトのアレクサンドリアで生まれる 若い頃 アレクサンドリアで学ぶ 当時最大の研究施設であったムセイオンで学んだとされる。 その後 アレクサンドリアで教えながら研究をする 数学、物理学、気体力学、機械工学を教えながら、ヘロンの公式などの発見をした。また、自動ドアや自動販売機などを発明した。 62年3月13日 月食を観測する ヘロンの著作とされる『経緯儀（Dioptra）』で、この日の夕方から観測された月食について言及している。 70年頃 アレクサンドリアで死亡する ヘロンの活動場所 ヘロンはエジプトのアレクサンドリアで生まれ、一生をこの地で過ごしました。 特に、アレクサンドリアの研究所ムセイオンや付属のアレクサンドリア図書館が、彼の頭脳を形作り、その才能を発揮させています。 </noscript><iframe data-src="https://www.google.com/maps/d/embed?mid=1yAdXqYRvGZ-cxhUvD0SfcXylcQbW1rc&ehbc=2E312F" width="640" height="480" class="lazyload" > ヘロンの功績：ヘロンの公式を発明した ヘロンの公式の内容と例 彼の功績で最も有名なのはヘロンの公式です。 数学Iの応用として登場する公式であり、覚えておくと三角形の面積を素早く求めることができます。 ヘロンの公式 △ABC 三辺の長さが$~a~,~b~,~c~$の$~\triangle ABC~$で、 s=\frac{a+b+c}{2} とする。 このとき、$~\triangle ABC~$の面積$~S~$は次のように求めることができる。 S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ ヘロンの公式は、三角形の三辺の長さがすべて整数値であれば$~s~$もきれいな値になりやすいため、計算が非常に簡単です。（$~s~$ の意味については後述） ヘロンの公式の使用例 3 つの辺の長さが$~3~,~7~,~8~$である三角形の面積$~S~$は、 s=\frac{3+7+8}{2}=9 を利用することで、ヘロンの公式から \begin{align*} S&=\sqrt{9(9-3)(9-7)(9-8)} \\ &=\sqrt{9\cdot 6\cdot 2\cdot 1} \\ &=6\sqrt{3} \end{align*} と求められる。 三角形の高さや角度を求めなくても面積が簡単に求められるため、高校受験や高校数学で裏技的に使われています。 ヘロンの公式の s が意味するもの ヘロンの公式に登場する$~\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}~$は、三角形の周の長さ$~a+b+c~$を$~2~$で割っているため、三角形の半周を意味します。 三角形の半周を使って面積が求められる公式といえば、次のものが有名です。 内接円の半径と周による面積公式 △ABCと内接円 三辺の長さが$~a~,~b~,~c~$の$~\triangle ABC~$で、内接円$~O~$の半径を$~r~$とする。 このとき、$~\triangle ABC~$の面積$~S~$は次のように表される。 S=\frac{r}{2}(a+b+c) この公式は、$~S=\triangle ABO +\triangle BCO +\triangle CAO~$から証明できます。 この公式の右辺を$~\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}~$を使って表すと、 S=rs となり、三角形の周の長さと内接円の半径と面積には密接な関係があるとわかります。 実際、ヘロン自身が証明するときも、上記の面積公式を利用しました。 ヘロンの公式の証明 ヘロンは著書『測地術（Geodaesia）』の中で、ヘロンの公式を次のように証明しています。 ヘロンの公式の証明（ヘロン自身の証明） 三辺の長さが$~a~,~b~,~c~$の$~\triangle ABC~$で、内接円$~O~$の半径を$~r~$とする。 △ABCと内接円 $~\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}~$とおくと、$~\triangle ABC~$の面積$~S~$は内接円の半径と周による面積公式より、 S=rs~~~\cdots ① と表せる。 半直線$~CB~$上の$~B~$の左側に、$~BG = AF~$となるような点$~G~$をとる。 AF=BGをとる このとき$~CG= s~$となり、$~OD= r~$とともに$①$に代入すると、 S = CG・OD であり、$~CG > 0 ~,~OD > 0~$より、 S = \sqrt{CG^2・OD^2}~~~\cdots② と表せる。 次に、$~B~$を通る$~BC~$の垂線と、$~O~$を通る$~OC~$の垂線の交点を$~H~$とする。 垂線を2本ひく このとき、$~\angle HBC=\angle HOC=90^{\circ}~$より、4点$~C~,~O~,~B~,~H~$は$~CH~$を直径とする同一円周上にある。 ４つの点は同じ円周上 内接する四角形の性質から、次の等式が成り立つ。 ∠COB + ∠CHB =180^{\circ}~~~\cdots ③ また、$~\triangle ABC~$の内接円の性質から、次の等式が成り立つ。 ∠COB + ∠AOF =180^{\circ}~~~\cdots ④ $③$と$④$より、 ∠CHB= ∠AOF であり、$~\angle CBH=\angle AFO=90^{\circ}~$と合わせて、$~\triangle CHB~$∽$~\triangle AOF~$。 △CHB∽△AOF 相似な図形の性質から、 BC : BH= AF : FO = BG : OD \quad \text{（Gの設定と半径から）} であり、比の順番を入れ替えると、 BC : BG = BH : OD~~~\cdots⑤ である。 ここで、$~OH~$と$~BC~$の交点を$~I~$とすると、$~\triangle HBI~$∽$~\triangle ODI~$なので、 BH : DO = BI : DI~~~\cdots⑥ が成り立つ。 △HBI∽△ODI $⑤$と$⑥$より、 BC : BG = BI: DI であり、これを変形すると、 \begin{align*} \frac{BC}{BG}&=\frac{BI}{DI} \\ \\ \frac{BC}{BG}+1&=\frac{BI}{DI}+1 \\ \\ \frac{BC+BG}{BG}&=\frac{BI+DI}{DI} \\ \\ \frac{CG}{BG}&=\frac{BD}{DI} \\ \\ \frac{CG^2}{BG \cdot CG}&=\frac{BD\cdot DC}{DI\cdot DC} ~~~\cdots⑦ \\ \end{align*} である。 $~\triangle ODI~$∽$~\triangle CDO~$より、 \begin{align*} DI : DO &= DO: DC \\ DI\cdot DC&=DO^2 \end{align*} なので、$⑦$に代入して、 \begin{align*} \frac{CG^2}{BG \cdot CG}&=\frac{BD\cdot DC}{DO^2} \\ \\ CG^2 \cdot DO^2&=CG\cdot BG \cdot BD \cdot DC~~~\cdots ⑧ \end{align*} となる。 最後に$⑧$を$②$に代入して、 \begin{align*} S&= \sqrt{CG\cdot BG \cdot BD \cdot DC} \\ &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align*} とヘロンの公式が示された。$~~~\blacksquare~$ 相似を利用した、中学3年生でも理解できそうな証明でした。（内接四角形の性質だけは数学Aの内容） 内接円を利用しているため、三角形の半周$~\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}~$が登場する納得の方法です。 ヘロンの公式には他にも有名な証明方法があるので、ぜひチェックして見てください。 あわせて読みたい ヘロンの公式の証明を5種類解説！中学生でも理解できる証明方法とは？ 高校受験での裏技として知られ、数学Ⅰで学ぶことになるヘロンの公式。数学Ⅰの教科書では sin, cos を使って証明されていますが、実は証明方法は他にもたくさんあります。この記事では、中学生にも理解できる平易な証明から、少し発展的な証明まで、5種類もの証明方法を数学史ライターで現役教員のFukusukeがたくさんの図とともに徹底解説！ヘロンの公式とは何か、その使い方から歴史的背景、そして目からウロコの証明方法まで、この記事を読めばヘロンの公式のすべてがわかります。 ヘロンの功績：日常と数学の両面に影響を与えた 建築現場で役立った ヘロンの公式は現在、建築や測量、プログラミングにおいて、実用的な計算方法として重宝されています。 例としてこんな状況を考えてみましょう。 不規則な形状の土地の面積 次のような土地がある。この土地の面積はどう測定すればいいか？ 四角形の土地 四角形の面積は一般的には直接求められないため、まずは三角形2つに分け、対角線の長さを測ります。 対角線をひいて、三角形2つに分ける 実際に対角線を測って$~7m~$だった場合、ヘロンの公式を使うことで、それぞれの三角形の面積が求められます。 s_1=\frac{8+5+7}{2}=10~,~s_2=\frac{5+4+7}{2}=8 より、 \begin{align*} S_1&=\sqrt{10 \cdot (10-8)\cdot(10-5)\cdot (10-7)}=10\sqrt{3} \\ \\ S_2&=\sqrt{8 \cdot (8-5)\cdot(8-4)\cdot (8-7)}=4\sqrt{6} \end{align*} となるので、土地の面積は$~10\sqrt{3}+4\sqrt{6}~m^2~$と求められる。 $~(底辺)\times(高さ)\times \displaystyle \frac{1}{2}~$を使う場合、高さを求めるために垂線を正確に引く必要があり、広大な土地になるほど大変だったんだ。今のプログラミングでも、三辺から代数的に面積が求められるヘロンの公式は重宝されているよ。 ヘロンが生きていた時代のローマでは、数学は天文学や建築学のための学問でした。 ヘロンの公式が使われたという証拠はないものの、三辺の長さのみを必要とする革新的な計算方法は、ローマ最盛期の建築の効率化に貢献したと考えられます。 「テルマエ・ロマエ」でも有名なローマの公衆浴場。その建築の際にヘロンの公式が使われていたかもしないね。 長さと面積を数値としてとらえた 当時のローマの実用的な側面だけでなく、ヘロンの公式は数学史的にも革新的な一面を持っていました。 ヘロンの公式で面積$~S~$を言葉で書き表してみましょう。 ヘロンの公式の面積S（言葉で） ヘロンの公式において、$~s~$は半周、$~a~,~b~,~c~$は各辺の長さを指すため、$~s-a~$や$~s-b~$、$~s-c~$は幾何学的に長さを意味する。 S=\sqrt{(長さ)\times(長さ)\times(長さ)\times(長さ)} ヘロンより前のギリシャ由来の数学では、この式を計算することができませんでした。 なぜなら、長さを4回かけ算しており、幾何学的な解釈ができなかったからです。 かけ算の幾何学的解釈 しかし、ヘロンはその制約を公式を通じて取っ払いました。 代数計算を幾何的な解釈と絡めることなく、単なる数値計算として完結させたのです。 ヘロンはその他にも、著書『幾何学（メトリカ）』の中で、次のような問題を提示しています。 『幾何学』のある問題 面積と周の長さの和が280となる直角三角形の各辺の長さを求めよ。 これまた、長さと面積をたし算するという、古代ギリシャ数学を逸脱する考え方です。 ヘロンは以上のように、純粋に数値として数式を扱うという現代数学では当たり前の考え方を、1世紀の数学界に与えました。 ヘロンのエピソード∶バビロニア由来の開平法を利用した ヘロンの公式で面積$~S~$を求めた場合、その値の多くが$~\sqrt{~~}~$を含む無理数です。 ヘロンの公式で土地の面積が$~\sqrt{~~}~$の状態で求められても、実学重視のローマでは重宝されません。 そこで、ヘロンは次の式で$~\sqrt{~~}~$の近似値を手軽に求めました。 ヘロンによる√ の近似値 \sqrt{a^2+b} \fallingdotseq a+\frac{b}{2a} これを利用して、いくつかの$~\sqrt{~~}~$の近似値を出してみます。 $~\sqrt{~~}~$近似値$~\sqrt{2}~(=1.414\cdots)$$~\displaystyle \sqrt{2}\fallingdotseq \sqrt{1^2+1}=2+\frac{1}{2\cdot 1}=1.5~$$~\sqrt{5}~(=2.236\cdots)$$~\displaystyle \sqrt{5}\fallingdotseq \sqrt{2^2+1}=2+\frac{1}{2\cdot 2}=2.25~$$~\sqrt{7}~(=2.645\cdots)$$~\displaystyle \sqrt{7}\fallingdotseq \sqrt{2^2+3}=2+\frac{3}{2\cdot 2}=2.75~$$~\sqrt{10}~(=3.162\cdots)$$~\displaystyle \sqrt{10}\fallingdotseq \sqrt{3^2+1}=3+\frac{1}{2\cdot 3}=3.166~$ 簡易な計算で、割と高い精度で近似値が出ているのがわかります。 実用性を求められるローマにおいて、非常に有用な公式となったことでしょう。 ちなみに、ヘロンが使った式の元になったのは、相加相乗平均を利用したバビロニアの開平法でした。 Fukusukeの数学めも バビロニアでは平方根の研究も？粘土板に残された√2の値とは？【数学史3-8】 | Fukusukeの数学めも 三平方の定理や二次方程式を扱っていたバビロニア。当然必要となるのは平方根の知識であり、バビロニアの粘土板YBC7289から、√2の近似値が1.41421296 と求まっていたことが… ヘロンのエピソード：自動ドアと自動販売機を発明した ヘロンは優れた発明家としても知られています。 特に興味深いのが、彼が設計した自動ドアと自動販売機です。 物理学や化学を利用した、当時としては驚きの仕組みでした。 神殿の自動ドアの仕組み 聖水の自動販売機の仕組み こういったところからも、ヘロンは科学を理論的に解明するだけでなく、実用上の応用にも長けていたことがわかります。 まとめ ヘロンは「ヘロンの公式」を通じ、数学界に新しい風を与えました。 「ヘロンの公式」により、三角形の3辺の長さだけからその面積を簡単に計算できるようになった。 ヘロンはローマの実学重視の風潮に呼応し、平方根の近似値計算を簡単に行った。 数を長さや面積に置き換える古代ギリシャ由来の幾何学的解釈を脱し、数を数として計算を行った。 実学重視のローマの需要に合った数学を展開したヘロン。 彼の主功績であるヘロンの公式は、文化史と数学史の両方にとって革新的な逸物だったのです。 便利さ以上の意味がヘロンの公式にあるとは…。 長さを2回かけると面積、3回かけると体積、4回かけると非常識。そんなギリシャ由来の数学を変えた功績は大きいよね。 発売後即重刷の「読む数学ドラマ」 丸善日本橋店の2025年ベストセラー（理工書部門）に選ばれました！ Amazonで『教養としての数学史』を見る 楽天市場で『教養としての数学史』を見る丸善日本橋店の2025年ベストセラー（理工書部門）に選ばれました！ Amazonで『教養としての数学史』を見る 楽天市場で『教養としての数学史』を見る 📍数学史の全体像と現在地 📜 数学史全体の流れを知りたい！ 数学史の年表〜数学の歴史を4つの時代から捉える！世界史と合わせて見る数学通史〜 📖 この記事の時代背景を知りたい！ 【8まとめ】古代ローマの数学史まとめ〜世界史の流れに合わせて当時の数学を解説！ ⬅️➡️ この記事の前後を知りたい！ ← 前の記事 【8-2】メネラウス～生涯と功績を解説！メネラウスの定理は球面で考えられた？ 次の記事 → 【8-4】ニコマコス〜生涯と功績を解説！ニコマコスの定理はΣの公式？ このブログの参考文献 書名をタップすると、当ブログの本の紹介ページに移動します。 書名をクリックすると、当ブログの本の紹介ページに移動します。 『カッツ 数学の歴史』 『メルツバッハ＆ボイヤー数学の歴史（Ⅰ・Ⅱ）』 『数学の流れ30講（上・中・下）』 『数学の歴史物語』 『フィボナッチの兎』 『高校数学史演習』 『数学の世界史』 『数学の文化史』 『モノグラフ 数学史』 『数学史 数学5000年の歩み』 『数学物語』 『世界数学者事典』 『数学者図鑑』 『数学を切りひらいた人々（１～５）』 『天才なのに変態で愛しい数学者たちについて』 『素顔の数学者たち』 『数学スキャンダル』 『ギリシャ数学史』 『古代ギリシャの数理哲学への旅』 『ずかん 数字』 『πとeの話』 『代数学の歴史』 『幾何学の偉大なものがたり』 『アキレスと亀』 『ピタゴラスの定理100の証明法』 『ピタゴラスの定理』 『フェルマーの最終定理』 『哲学的な何か, あと数学とか』 『数と記号のふしぎ』 『身近な数学の記号たち』 『数学用語と記号ものがたり』 『納得する数学記号』 『図解教養事典 数学』 『イラストでサクッと理解 世界を変えた数学史図鑑』（拙著） 『教養としての数学史』（拙著） 古代ローマ 幾何 数学の利用 ヘロン コメント コメント一覧 （2件） ブラーマグプタの公式の証明に続き、ヘロンの公式の証明もとても解りやすくお陰様で理解出来ました。ありがとうございます。 些細な事なのでお伝えしようか迷いましたが、一文字だけ表記間違えと思われるところがございましたので恐縮ですがお伝えさせて頂きます。 2-3 ヘロンの公式の証明に出てくる⑤と⑥の間の部分の『ここで、CHとBCの交点をＩとすると…』の『CH』は『OH』として考えました。 今後とも参考にさせて頂きます。 返信 学び直し中様 コメントいただきありがとうございます。 先日のブラーマグプタの公式と同様、確かに誤った表記となっておりました。 今回も大変助かりました。 そして、今後も表記間違いが疑われる部分がありましたら、ぜひご遠慮なくコメントをいただけたら嬉しいです。 引き続き、どうぞよろしくお願いいたします。 Fukusuke コメントする コメントをキャンセルコメント ※ 名前 ※ メール ※ サイト 上に表示された文字を入力してください。
ブラーマグプタの公式の証明に続き、ヘロンの公式の証明もとても解りやすくお陰様で理解出来ました。ありがとうございます。 些細な事なのでお伝えしようか迷いましたが、一文字だけ表記間違えと思われるところがございましたので恐縮ですがお伝えさせて頂きます。 2-3 ヘロンの公式の証明に出てくる⑤と⑥の間の部分の『ここで、CHとBCの交点をＩとすると…』の『CH』は『OH』として考えました。 今後とも参考にさせて頂きます。 返信
学び直し中様 コメントいただきありがとうございます。 先日のブラーマグプタの公式と同様、確かに誤った表記となっておりました。 今回も大変助かりました。 そして、今後も表記間違いが疑われる部分がありましたら、ぜひご遠慮なくコメントをいただけたら嬉しいです。 引き続き、どうぞよろしくお願いいたします。 Fukusuke
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ブラーマグプタの公式の証明に続き、ヘロンの公式の証明もとても解りやすくお陰様で理解出来ました。ありがとうございます。
些細な事なのでお伝えしようか迷いましたが、一文字だけ表記間違えと思われるところがございましたので恐縮ですがお伝えさせて頂きます。
2-3 ヘロンの公式の証明に出てくる⑤と⑥の間の部分の『ここで、CHとBCの交点をＩとすると…』の『CH』は『OH』として考えました。
今後とも参考にさせて頂きます。
学び直し中様
コメントいただきありがとうございます。
先日のブラーマグプタの公式と同様、確かに誤った表記となっておりました。
今回も大変助かりました。
そして、今後も表記間違いが疑われる部分がありましたら、ぜひご遠慮なくコメントをいただけたら嬉しいです。
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Fukusuke