アーリヤバタ〜生涯と功績を解説！円周率を3.1416まで求めた方法とは？【数学史9-1】 2025 11/24 中世インド 幾何 三角比・三角関数 アーリヤバタ 2025年8月31日2025年11月24日 当ページのリンクには広告が含まれています。 古代インドのアーリヤバタ（アールヤバタ）は、インドで著者名が残る最古の数学書『アールヤバティーヤ』を書いた数学者です。 彼の功績は、円周率の精密な計算から10進法位取り記数法の確立、さらには三角比の値の計算など、多岐にわたります。 本記事では、数学史の本を複数執筆した数学史の先生Fukusukeが、アーリヤバタの生涯と功績をわかりやすく解説！ 彼の代表作『アールヤバティーヤ』の内容を中心に、アーリヤバタの数学を見てみましょう。 📍数学史の全体像と現在地 📜 数学史全体の流れを知りたい！ 数学史の年表〜数学の歴史を4つの時代から捉える！世界史と合わせて見る数学通史〜 📖 この記事の時代背景を知りたい！ 【9まとめ】中世インドの数学のまとめ〜4人の数学者の功績をざっくり解説！ ⬅️➡️ この記事の前後を知りたい！ ← 前の記事 【8-8】ヒュパティア〜生涯と功績を解説！彼女の最期が持つ数学史的な意味は？ 次の記事 → 【9-2】ブラーマグプタの生涯と功績を解説！数字の0を計算に適用！ この記事を書いた人 Fukusuke（ふくすけ）数学史の先生 現役の中学・高校数学教員 著書2冊重刷、ブログ累計200万PV達成 行間がなくなるほど丁寧な式変形で執筆中 「つむぎびより」「TSHファン」SEO監修 この記事を書いた人 Fukusuke（ふくすけ）数学史の先生 現役の中学・高校数学教員 著書2冊は発売1ヶ月で即重刷 当数学史ブログは累計200万PV達成 行間がなくなるほど丁寧な式変形で記事を執筆 「つむぎびより」「TSHファン」のSEO監修を担当 『世界を変えた数学史図鑑』『教養としての数学史』好評発売中！ 発売後即重刷の「読む数学ドラマ」 丸善日本橋店の2025年ベストセラー（理工書部門）に選ばれました！ Amazonで『教養としての数学史』を見る 楽天市場で『教養としての数学史』を見る丸善日本橋店の2025年ベストセラー（理工書部門）に選ばれました！ Amazonで『教養としての数学史』を見る 楽天市場で『教養としての数学史』を見るこの記事を読んでわかることアーリヤバタの生涯 アーリヤバタ（Āryabhaṭa、476年頃〜550年頃）は、古代インドのグプタ朝時代に活躍したとされる数学者です。 アーリヤバタ(出典：Cpjha13, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons) 彼の生涯については多くの謎に包まれていますが、自身の著作『アールヤバティーヤ』に残された記述からその一端を垣間見ることができます。 アーリヤバタの年譜 年代出来事補足476年頃インドのクスマプーラで生まれる499年『アールヤバティーヤ』を書く数学や天文学を扱った詩形式の書で、インドにおいて著者名が残る最古の数学書となっている550年頃亡くなるアーリヤバタの年譜 アーリヤバタの活動場所 アーリヤバタの主要な活動場所は、現在のインドのビハール州パトナにあたるクスマプーラであったとされています。 この地は当時のインドにおける学術の中心地の一つであり、著名な学術機関ナーランダ僧院も存在しました。 彼はこの地で数学と天文学の研究に没頭し、数々の画期的な発見を成し遂げたとされています。 </noscript><iframe data-src="https://www.google.com/maps/d/embed?mid=1tgGVhx6LYo_zxWj6HCvwyXULuodzNqg&ehbc=2E312F" width="640" height="480" class="lazyload" > アーリヤバタの功績：『アールヤバティーヤ』を書いた アーリヤバタの最も重要な功績は、彼の主著である『アールヤバティーヤ』です。 この書は、インドの数学と天文学の発展に多大な影響を与え、後世の学者たちに引き継がれる基礎を築きました。 全4章121節からなるこの著作は、詩の形式で書かれています。 円周率は3.1416 アーリヤバタは、円周率$~\pi~$の近似値として$~3.1416~$という非常に精度の高い値を提示しました。 彼は次のように円について述べています。 『アールヤバティーヤ』の円の記述 $~100~$に$~4~$を足し、$~8~$を掛け、$~62,000~$を足す。 この規則により、直径が$~20,000~$の円の円周に近づくことができる。 実際に計算してみると、以下のようになります。 \begin{align*} \pi &\fallingdotseq \frac{(100 + 4) \times 8 + 62000}{20000} \\ \\ &= \frac{104 \times 8 + 62000}{20000} \\ \\ &= \frac{832 + 62000}{20000} \\ \\ &= \frac{62832}{20000} \\ \\ &= 3.1416 \end{align*} 小数第3位まで一致しており、ヨーロッパにおける2世紀のプトレマイオス、中国における3世紀の劉徽と同じ精度で求めていたことがわかります。 正弦表を3.75°間隔で作成 アーリヤバタは、天文学的な計算のために、今の$~\sin{}~$の値を計算しました。 半径$~3438~$、中心角$~90^{\circ}~$の扇形を24等分することで、$~3.75^{\circ}~$間隔の$~\sin{}~$の値を次のように計算しています。 正弦表を作る式 $~90^{\circ}~$までの角を24等分し、1個目($~3.75^{\circ}~$)の正弦の値を$~a_1=\displaystyle \frac{225}{3438}~$としたとき、$~n~$個目の正弦の値$~a_n~$は以下の式でつくられる。 a_n=a_{n-1}+\frac{225}{3438}-\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}{225} どのようにして導いたかは定かでないものの、この式により、$~a_1=\sin{3.75^{\circ}}~$,$~a_2=\sin{7.5^{\circ}}~$,$~a_3=\sin{11.25^{\circ}}~$,$~a_4=\sin{15^{\circ}}~$,$~\cdots~$,$~a_{22}=\sin{82.5^{\circ}}~,~a_{23}=\sin{86.25^{\circ}}~$の近似値を求めることができ、実際に計算すると驚きの精度であることがわかります。 アールヤバタの式から算出される値と真値の比較 また、$~3438~$や$~225~$が出てきた理由としては、アーリヤバタが円周が$~21600~$の円を考えていたことに由来します。 この$~21600~$は、ヒッパルコスが定めた1周$~360^{\circ}~$をさらに$~60~$分割することで得られる値です。（$~360 \times 60=21600~$） 円周$~21600~$の半径$~r~$を、アーリヤバタ自身が求めた円周率$~3.1416~$から求めると、 \begin{align*} 2\cdot3.1416\cdot r&=21600 \\ r&=3437.73~\cdots \\ \end{align*} となるため、アーリヤバタは半径を$~3438~$に設定したのです。 そして、現在でも知られているように小さい角において、$~\sin{\alpha} \fallingdotseq \alpha~$なので、 \begin{align*} a_1&=\sin{3.75^{\circ}} \\ &=\sin{\frac{3.75\pi}{180}} \\ \\ &\fallingdotseq \frac{3.75\pi}{180} \\ \\ &= \frac{3.75*3.1416}{180} \\ \\ &=0.06545 \end{align*} と求められ、半径$~3438~$の円であることから、 3438\times0.06545=225.0171\fallingdotseq225 とし、$~a_1=\displaystyle \frac{225}{3438}~$が求められるのです。 アーリヤバタの円の設定 ちなみに、ローマからインドに伝わっていた三角比は、ヒッパルコスの chord でしたが、400年頃にインドで書かれた天文学書『パイターマハシッダーンタ』の時点では現在の$~\sin{}~$と同様の定義に変わっていたため、アーリヤバタも$~\sin{}~$を使用しています。 あわせて読みたい ヒッパルコス～生涯と功績を解説！三角比の歴史はここから始まった！【数学史7-5】 この記事では、古代ギリシャの天文学者ヒッパルコスの生涯と功績を紹介しています。彼は天体観測における革新的な方法を発明し、特に三角比の概念や星の位置の計算で重要な役割を果たしました。ヒッパルコスの業績は、現代天文学の基礎を築いたと言えるでしょう。 10進法の位取りの考え方 アーリヤバタは、現代の数学の根幹をなす10進法の位取り記数法の発展に大きく貢献しました。 『アールヤバティーヤ』には、以下のような記述があります。 『アールヤバティーヤ』の10進法の記述 桁から桁へ、それぞれの桁が前の桁の10倍となる。 この記数法は、数字の「$~0~$」の概念と結びつき、各桁の数字がその位置によって異なる意味を持つ画期的なものです。 ただ、この時点での0は数字ではなく記号。 また、300年頃のインドの『バクシャーリー写本』において、0を意味する「・」がすでに使われていたため、アーリヤバタが使い始めたわけではありません。 0を数として初めて扱ったのは、アールヤバティーヤから129年後のインドの数学者ブラーマグプタでした。 不正確な記述も多かった アーリヤバタの功績は偉大ですが、彼の著作には不正確な記述も多かったです。 2つ例を挙げます。 『アールヤバティーヤ』の不正確な記述1 錐体の体積は、底面の面積と高さの積の半分である。 →正しくは$~\displaystyle \frac{1}{3}~$ 『アールヤバティーヤ』の不正確な記述2 球体の体積は、大円の面積とその面積の平方根の積である。 →半径$~r~$とすると、$~\pi r^2 \times \sqrt{\pi r^2}= \pi\sqrt{\pi}r^3~$であることが述べられているが、正しくは$~\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3~$ ちなみに大円とは、球の中心を通るような平面で球を切ったときの断面です。 大円と小円 円周率や三角比の完成度の高さに対して、以上のような不正確な記述もあったことから、約500年後のアラビアの数学者アル・ビールーニーは次のように述べています。 アル・ビールーニー (『アールヤバティーヤ』は）ありふれた小石と高価な水晶の混合物。 アーリヤバタのエピソード：バラモンから非難された 『アールヤバティーヤ』全4章の中で、数学についての記述は2章のみであり、33個の詩が載っています。 それ以外の章は天文学について書かれており、アーリヤバタは地球が自転しているという地動説に近い考え方や、日食・月食の原因を科学的に説明しようとしました。 しかし、バラモン教の聖典『ヴェーダ』では、地球が静止し、太陽が動いていると宣言していました。 そのため、バラモン階級からアーリヤバタは非難されることになったのです。 バラモンたちに非難されるアーリヤバタ（AIイメージ） まとめ アーリヤバタは、5世紀から6世紀にかけて古代インドで活躍した偉大な数学者・天文学者です。 『アールヤバティーヤ』を著し、その後のインド数学に影響を与えた。 円周率や正弦表を高い精度で算出した。 10進法を紹介したことで、130年後のアラビア数字の完成につながった。 バラモンからの非難にも屈さず、数学と天文学の道を切り拓いていったアーリヤバタの功績は、ブラーマグプタに引き継がれていきます。 詩の形式でここまで精緻な数学を残せるってすごいね！ 詩で口ずさむことができたから、誤りが多少あっても、体系的に書かれていなくても、次の世代に引き継ぐことができたんだね。 数学史の入門書としておすすめ！読みやすいと好評です！ Amazonで『数学史図鑑』を見る 楽天市場で『数学史図鑑』を見る 数学史の入門書としておすすめ！読みやすいと好評です！ Amazonで『数学史図鑑』を見る 楽天市場で『数学史図鑑』を見る 📍数学史の全体像と現在地 📜 数学史全体の流れを知りたい！ 数学史の年表〜数学の歴史を4つの時代から捉える！世界史と合わせて見る数学通史〜 📖 この記事の時代背景を知りたい！ 【9まとめ】中世インドの数学のまとめ〜4人の数学者の功績をざっくり解説！ ⬅️➡️ この記事の前後を知りたい！ ← 前の記事 【8-8】ヒュパティア〜生涯と功績を解説！彼女の最期が持つ数学史的な意味は？ 次の記事 → 【9-2】ブラーマグプタの生涯と功績を解説！数字の0を計算に適用！ このブログの参考文献 書名をタップすると、当ブログの本の紹介ページに移動します。 書名をクリックすると、当ブログの本の紹介ページに移動します。 『カッツ 数学の歴史』 『メルツバッハ＆ボイヤー数学の歴史（Ⅰ・Ⅱ）』 『数学の流れ30講（上・中・下）』 『数学の歴史物語』 『フィボナッチの兎』 『高校数学史演習』 『数学の世界史』 『数学の文化史』 『モノグラフ 数学史』 『数学史 数学5000年の歩み』 『数学物語』 『世界数学者事典』 『数学者図鑑』 『数学を切りひらいた人々（１～５）』 『天才なのに変態で愛しい数学者たちについて』 『素顔の数学者たち』 『数学スキャンダル』 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