シンプソンの公式（応用編②）

半径 $~r~$ の球の体積

情報を整理する。
\begin{align}
\displaystyle f(t)&=0 \\
f(s)&=0 \\
\\
f(m)&=\pi r^2 \\
\\
t-s&=2r
\end{align}
次に面積の増減を考える。
原点を中心とした場合、球の方程式は
\begin{equation}
x^2+y^2+z^2=r^2
\end{equation}
であるため、式変形をすると、
\begin{equation}
x^2+y^2=r^2-z^2
\end{equation}
となるので、高さ $~z~$ における断面は半径 $~\sqrt{r^2-z^2}~$ の円とわかる。
よって、高さ $~z~$ に対する断面積は $~\pi (r^2-z^2)~$ で、 $~z~$ の二次関数となる。
 
以上より、体積は
\begin{align}
&\displaystyle \frac{t-s}{6} \left\{ f(s)+ 4f(m) +f(t) \right\} \\
\\
&=\frac{2r}{6} \left\{ 0+ 4 \pi r^2 + 0 \right\} \\
\\
&=\frac{r}{3} \cdot 4 \pi r^2 \\
\\
&=\frac{4}{3}\pi r^3
\end{align}

半径 $~r~$ の半球の体積

情報を整理する。
\begin{align}
\displaystyle f(t)&=0 \\
f(s)&=r^2 \\
\\
t-s&=r
\end{align}
次に $~z=m~$ のときの断面の円の半径を考える。底面の円の中心を通る面で切断すると、下のような図になる。

$~\triangle OMA~$ で、 $~OM=\displaystyle \frac{r}{2}~$ 、 $~OA=r~$ より、 $~OM:OA=1:2~$ 。
$~\triangle OMA~$ は $~\angle MOA=60°~$ の直角三角形であることがわかる。
したがって、 $~z=m~$ のときの断面の円の半径は $~MA=\displaystyle \frac{\sqrt{3}r}{2}~$ とわかる。
よって、
\begin{align}
f(m)&=\displaystyle \pi \left( \frac{\sqrt{3}r}{2} \right)^2 \\
\\
&=\frac{3\pi r^2}{4}
\end{align}
となる。
 
また、 $~z~$ に対する面積の増減は、上の応用例４と同様 $~z~$ の二次関数となる。
 
以上より、体積は
\begin{align}
&\displaystyle \frac{t-s}{6} \left\{ f(s)+ 4f(m) +f(t) \right\} \\
\\
&=\frac{r}{6} \left\{ 0+ 4 \cdot \frac{3\pi r^2}{4}+ \pi r^2 \right\} \\
\\
&=\frac{r}{6} \cdot 4 \pi r^2 \\
\\
&=\frac{2}{3}\pi r^3
\end{align}

側面がそれぞれ $~x^2+z^2=r^2,y^2+z^2=r^2~$ で表される２円柱の共有部分の体積

情報を整理する。
\begin{align}
\displaystyle f(t)&=0 \\
f(s)&=0 \\
\\
t-s&=2r
\end{align}
次に面積の増減を考える。
高さ $~z~$ を固定して考えると、それぞれの円柱の側面は次のように切り取られる。
\begin{align}
x^2+z^2&=r^2 \\
x^2&=r^2-z^2 \\
x&=\pm \sqrt{r^2-z^2} \\
\end{align}
同様に
\begin{equation}
y= \sqrt{r^2-z^2}
\end{equation}
これらを高さ $~z~$ における $~xy~$ 平面で表すと、次のようなグラフとなる。

高さ $~z~$ における断面積は
\begin{align}
(2\sqrt{r^2-z^2})^2 &=4(r^2-z^2)
\end{align}
となり、 $~z~$ の二次関数であることがわかった。
 
また、 $~f(m)~$ は $~z=0~$ のときの断面積なので、
\begin{align}
f(m)&=4(r^2-0^2) \\
&=4r^2
\end{align}
となる。
 

以上より、体積は
\begin{align}
&\displaystyle \frac{t-s}{6} \left\{ f(s)+ 4f(m) +f(t) \right\} \\
\\
&=\frac{2r}{6} \left\{ 0+ 4 \cdot 4r^2 + 0 \right\} \\
\\
&=\frac{r}{3} \cdot 16r^2 \\
\\
&=\frac{16}{3}\pi r^3
\end{align}