シンプソンの公式(応用編②)

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シンプソンの公式は単純な積分のみならず、考え方次第では体積を求めるのにも使えます。
前回に引き続き、その例をいくつか紹介します。
Ⅰ 体積への拡張
Ⅱ 球の体積
Ⅲ 半球の体積
Ⅳ 2円柱の交差部分の体積


目次
  • 1. Ⅰ 体積への拡張
  • 2. Ⅱ 球の体積
  • 3. Ⅲ 半球の体積
  • 4. Ⅳ 2円柱の交差部分の体積

Ⅰ 体積への拡張

シンプソンの公式(応用編①)」にも書きましたが、再掲しておきます。

シンプソンの公式

\(~f(x)~\) が3次以下の関数のとき、次の式が成り立つ。

\begin{equation}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx=\frac{(b-a)}{6} \left\{ f(a)+4f\left( \frac{a+b}{2} \right) +f(b) \right\}
\end{equation}


\begin{align}
&\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx \\
\\
&=\frac{(b-a)}{6} \left\{ f(a)+4f\left( \frac{a+b}{2} \right) +f(b) \right\}
\end{align}

 証明や基本例は「シンプソンの公式(基本編)」を参照してください。
 
 前回から考えているのは体積への応用です。高さが \(~a~\) から \(~b~\) までの範囲で、面積が3次以下の関数で増減するようであれば、シンプソンの公式で体積を求めることができます。
 
 ということで、前回よりも少し複雑な例を挙げていきます。前回同様、説明をわかりやすくするため、次のような文字を使います。

\(~xyz~\) 空間で、 \(~f(z)~\) は高さ \(~z~\) で切った立体の断面積とし、一番高いところを \(~z=t~\) 、一番低いところを \(~z=s~\) とすると、

求めたい体積は \(~\displaystyle \int_{s}^{t}f(z)dz \)と表せる。

また、立体の高さの半分の位置を \(~\displaystyle \frac{t+s}{2}=m~\) としておく。
 
よって、シンプソンの公式で体積は次のように計算できる。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{t-s}{6} \left\{ f(s)+ 4f(m) +f(t) \right\}
\end{equation}

では、シンプソンの公式の応用例の後半戦を見ていきましょう。


Ⅱ 球の体積

応用例4

半径 \(~r~\) の球の体積

情報を整理する。
\begin{align}
\displaystyle f(t)&=0 \\
f(s)&=0 \\
\\
f(m)&=\pi r^2 \\
\\
t-s&=2r
\end{align}
次に面積の増減を考える。
原点を中心とした場合、球の方程式は
\begin{equation}
x^2+y^2+z^2=r^2
\end{equation}
であるため、式変形をすると、
\begin{equation}
x^2+y^2=r^2-z^2
\end{equation}
となるので、高さ \(~z~\) における断面は半径 \(~\sqrt{r^2-z^2}~\) の円とわかる。
よって、高さ \(~z~\) に対する断面積は \(~\pi (r^2-z^2)~\) で、 \(~z~\) の二次関数となる。
 
以上より、体積は
\begin{align}
&\displaystyle \frac{t-s}{6} \left\{ f(s)+ 4f(m) +f(t) \right\} \\
\\
&=\frac{2r}{6} \left\{ 0+ 4 \pi r^2 + 0 \right\} \\
\\
&=\frac{r}{3} \cdot 4 \pi r^2 \\
\\
&=\frac{4}{3}\pi r^3
\end{align}

これで求まりました「身の上に心配があるので参上」


Ⅲ 半球の体積

応用例5

半径 \(~r~\) の半球の体積

情報を整理する。
\begin{align}
\displaystyle f(t)&=0 \\
f(s)&=r^2 \\
\\
t-s&=r
\end{align}
次に \(~z=m~\) のときの断面の円の半径を考える。底面の円の中心を通る面で切断すると、下のような図になる。

\(~\triangle OMA~\) で、 \(~OM=\displaystyle \frac{r}{2}~\) 、 \(~OA=r~\) より、 \(~OM:OA=1:2~\) 。
\(~\triangle OMA~\) は \(~\angle MOA=60°~\) の直角三角形であることがわかる。
したがって、 \(~z=m~\) のときの断面の円の半径は \(~MA=\displaystyle \frac{\sqrt{3}r}{2}~\) とわかる。
よって、
\begin{align}
f(m)&=\displaystyle \pi \left( \frac{\sqrt{3}r}{2} \right)^2 \\
\\
&=\frac{3\pi r^2}{4}
\end{align}
となる。
 
また、 \(~z~\) に対する面積の増減は、上の応用例4と同様 \(~z~\) の二次関数となる。
 
以上より、体積は
\begin{align}
&\displaystyle \frac{t-s}{6} \left\{ f(s)+ 4f(m) +f(t) \right\} \\
\\
&=\frac{r}{6} \left\{ 0+ 4 \cdot \frac{3\pi r^2}{4}+ \pi r^2 \right\} \\
\\
&=\frac{r}{6} \cdot 4 \pi r^2 \\
\\
&=\frac{2}{3}\pi r^3
\end{align}

確かに球の体積の半分になっています。


Ⅳ 2円柱の交差部分の体積

最後は少し考えにくい直交する2円柱の交わった部分の体積を求めます。

応用例6

側面がそれぞれ \(~x^2+z^2=r^2,y^2+z^2=r^2~\) で表される2円柱の共有部分の体積

情報を整理する。
\begin{align}
\displaystyle f(t)&=0 \\
f(s)&=0 \\
\\
t-s&=2r
\end{align}
次に面積の増減を考える。
高さ \(~z~\) を固定して考えると、それぞれの円柱の側面は次のように切り取られる。
\begin{align}
x^2+z^2&=r^2 \\
x^2&=r^2-z^2 \\
x&=\pm \sqrt{r^2-z^2} \\
\end{align}
同様に
\begin{equation}
y= \sqrt{r^2-z^2}
\end{equation}
これらを高さ \(~z~\) における \(~xy~\) 平面で表すと、次のようなグラフとなる。

高さ \(~z~\) における断面積は
\begin{align}
(2\sqrt{r^2-z^2})^2 &=4(r^2-z^2)
\end{align}
となり、 \(~z~\) の二次関数であることがわかった。
 
また、 \(~f(m)~\) は \(~z=0~\) のときの断面積なので、
\begin{align}
f(m)&=4(r^2-0^2) \\
&=4r^2
\end{align}
となる。
 

以上より、体積は
\begin{align}
&\displaystyle \frac{t-s}{6} \left\{ f(s)+ 4f(m) +f(t) \right\} \\
\\
&=\frac{2r}{6} \left\{ 0+ 4 \cdot 4r^2 + 0 \right\} \\
\\
&=\frac{r}{3} \cdot 16r^2 \\
\\
&=\frac{16}{3}\pi r^3
\end{align}

もちろん、 \(~\displaystyle \int_{-r}^{r} 4(r^2-z^2)dz~\) を計算しても同じ答えが出ます。


面積の増減が3次以下の関数でないと、シンプソンの公式が使えないので、その確認を忘れないようにしたいですね。