数の鎖

数学教育方程式・不等式数学教育

中学校1年生で習う「一次方程式」の応用問題として、授業で使える教材です。パズル的な要素が強く、深く追究すると不定解や不能解の話まで登場するため、幅広い学力層で有効な数学的活動となっています。
①数の鎖とは?
②本題
③宿題
④数の鎖の公式


目次
  • 1. ①数の鎖とは?
  • 2. ②本題
  • 3. ③長さが9の数の鎖
  • 4. ④数の鎖の公式

①数の鎖とは?

まずは「数の鎖」とはどのようなものなのかを見てみましょう。

数の鎖の定義

数の鎖とは、
「四角の中に入る数字は、両隣の丸の中の数字の和が入る」
というルールで結ばれたものである。

ルールは単純ですね。応用例として、
「四角の中に入る数字は、左隣の丸の数字から右隣の数字を引いた数」
「四角の中に入る数字は、両隣の丸の中の数字の積」
などと発展させても面白いです。ただ、積の場合は2次方程式が必要となってくるため、中学校3年生以上となってしまいますが・・・・
 
とりあえず、このページにおける「数の鎖」は和でつながれたものと定義します。

では、このルールを定着させるために、例題を解いてみてください。

例題



ルールが飲み込めていれば、方程式を使うまでもなく、解けると思います。答え合わせしてみましょう↓
解答はこちら


②本題

例題は方程式を使わなくても引き算でできるため、生徒に方程式の良さを実感させることはできません。あくまでも、「数の鎖」のルールを定着させることが目的でした。ルールを定着させた後は次の問題を出題し、この教材の本題へと入ります。

本題

次の数の鎖の両端には同じ数が入る。(\( A \)と\( G~\) は同じ数)このとき、数の鎖を完成させなさい。

いかがでしょうか?
例題のように簡単には完成させられません。実際の授業では、個人で考える時間をとった後、班で問題の難しさや解法を共有するという活動を入れ、発表によりクラス全体で解法を共有しました。様々な解法が考えられますが、そのうち3つほど紹介します。↓↓
解法はこちら

自分の授業では、この本題で授業時間が終了してしまいました・・・(^^;)
時間が余るようであれば、同じような問題で方程式の解法を定着させたほうが良いです。
 
実は簡単に鎖の両端が求まる公式もあります!→④数の鎖の公式


③長さが9の数の鎖

本題によって、数の鎖の様々な解法が学べたため、あとはそれを生かして宿題に取り組みます。
自分の授業の中では、宿題は2問課しました。
1問目は本題と同じような長さ7の数の鎖、2問目は長さ9の数の鎖です。
 
では、実際に長さ9の鎖について解いてみましょう。

長さが9の数の鎖

次の数の鎖の両端には同じ数が入る。(\( A \)と\( I~\) は同じ数)このとき、数の鎖を完成させなさい。



さあ、解いてみてください。先ほどとは一味違います。

解法はこちら

④数の鎖の公式

長さが7の数の鎖については、方程式を使わなくても簡単に解ける公式があるんです。
 
それがこちらの公式↓↓

数の鎖の公式


上図のような長さが7の数の鎖において、次のような式が成り立つ。
\begin{equation}
\displaystyle A=G=\frac{B+F-D}{2}
\end{equation}

数の鎖の問題を並べていくと、この公式に気付く生徒も出てきました。
証明も中学1年生で十分できるレベルです。


先ほどの本題の場合、
\begin{equation}
\displaystyle A=G=\frac{8+9-7}{2}=5
\end{equation}
となり、先ほどと同様の答えが得られる。

証明は、これまでに使った方程式の考え方を適用するだけです。

証明

\(~A=G=x~\) とおく。すると、
\(C=B-A=b-x \)
\(E=F-G=f-x \)
となる。
ここで、 \(~C+E=D~\) より、方程式を作って解くと
\begin{align}
(b-x)+(f-x)&=d     \\
-2x&=-b-f+d     \\
\displaystyle x&=\frac{b+f-d}{2}   \\
\end{align}
よって、示された。\( \blacksquare \)

自分の授業では、この公式を見つけた生徒が3人ほど、その中で証明までしてきたのは1人いました。


ということで、今回は「数の鎖」という教材を、実際の授業の流れと生徒の状況を併せて紹介しました。方程式の良さ、文字を使うことの良さを実感させられる題材だと思います。「こんなに数学をおもしろいと思ったの初めて~」というつぶやきを生徒から得ることもできました!ぜひ使ってみてください。

   
 
 


☆参考文献等
・熊本大学教育学部附属中学校数学科(2011)『思考力・表現力がぐんぐん伸びる!数学レポート実践集』
・文部科学省(2008)『中学校学習指導要領解説 数学編』


☆オマケ
授業で使った際の、配付プリントです。↓↓
数の鎖 授業プリント