特性方程式で漸化式が解ける理由

 漸化式を解く際に有効な手段として、特性方程式の解を使って式変形をする方法があります。
 なぜ特性方程式の解が式変形の上で有効なのかを解説します。

この記事を読んでわかること
  • 二項間漸化式の解き方
  • 二項間漸化式が特性方程式でうまく解ける理由
  • 三項間漸化式の解き方
  • 三項間漸化式特性方程式でうまく解ける理由
目次

Ⅰ 二項間漸化式と特性方程式

 まずは二項間漸化式でよくある問題を見てみましょう

例題1

 二項間漸化式 $~a_{n+1}=3a_{n}+8~,~a_{1}=2~$ の一般項を求めなさい。

 数学Bの教科書で、数列の基本例題の最後あたりに出てくる漸化式です。
 解き方を知らないと、なかなかの難問。

 これを解くためには、以下のように特性方程式という秘密道具を使います。

例題1の解法

 特性方程式 $~x=3x+8~$ を考える。この特性方程式を解くと、

\begin{align*}
-2x&=8 \\
x&=-4 
\end{align*}

となるため、漸化式は次のように変形できる。

\begin{equation*}
a_{n+1}+4=3(a_{n}+4)~~\cdots①
\end{equation*}

 ここで、数列 $~\{ a_{n}+4 \}~$ は初項 $~a_{1}+4=2+4=6~$ 、公比 $~3~$ の等比数列なので、

\begin{align*}
a_{n}+4&=3^{n-1}\cdot 6 \\
a_{n}+4&=3^n \cdot 2 \\
a_{n}&=3^n \cdot 2 -4
\end{align*}

と求まった。

 特性方程式の解を求めることで、なぜ $~①~$ のように式変形ができるのでしょうか。
 それを証明してみました。

特性方程式で二項間漸化式が解ける理由

 二項間漸化式

\begin{equation*}
a_{n+1}=pa_{n}+q~~~~(p \neq 1)~~\cdots②
\end{equation*}

の特性方程式が$~x=px+q~$であることを示す。


 この漸化式を解くためには、与式を

\begin{equation*}
a_{n+1}-\alpha=p(a_{n}-\alpha)
\end{equation*}

と変形できればよい。

 $~②~$を式変形すると、

\begin{equation*}
a_{n+1}=pa_{n}-p\alpha+\alpha~~\cdots③
\end{equation*}

となるため、$~②-③~$より、

\begin{align*}
0&=q+p\alpha-\alpha  \\
\alpha&=p\alpha+q 
\end{align*}

である。これは求めたい特性方程式で、$~x=\alpha~$となる。■

 帰納的ではありますが、簡単な式計算で特性方程式が出来上がりました。

Ⅱ 三項間漸化式と特性方程式

 同じように三項間漸化式についても考えてみましょう。

例題2

 三項間漸化式 $~a_{n+2}=4a_{n+1}+5a_{n}~,~a_{1}=1~,~a_{2}=2~$ の一般項 $~{a_{n} }~$ を求めなさい。

 こちらは数学Bの教科書で、応用問題として扱われていることが多いです。
 ですが、理系たるもの解けるようにしておかないと、大学入試で困ってしまいます。

例題2の解説

 特性方程式 $~x^2=4x+5~$ を考える。この特性方程式を解くと、

\begin{align*}
x^2-4x-5&=0 \\
(x-5)(x+1)&=0 \\
x&= 5 , -1
\end{align*}

となるため、漸化式は次のような2本の式に変形できる。

\begin{cases}
& a_{n+2}-5a_{n+1}=-(a_{n+1}-5a_{n}) \\
& a_{n+2}+a_{n+1}=5(a_{n+1}+a_{n}) \\
\end{cases}

 ここで、数列 $~{ a_{n+2}-5a_{n+1} }~$ は初項 $~a_{2}-5a_{1}=2-5=-3~$ 、公比 $~-1~$ の等比数列なので、

\begin{equation*}
a_{n+1}-5a_{n}=(-1)^{n-1}\cdot (-3) ~~\cdots④
\end{equation*}

が成り立ち、また数列 $~{ a_{n+2}+a_{n+1} }~$ は初項 $~a_{2}+a_{1}=2+1=3~$ 、公比 $~5~$ の等比数列なので、

\begin{equation*}
a_{n+1}+a_{n}=5^{n-1}\cdot 3 ~~\cdots⑤
\end{equation*}

も成り立つ。

 よって、$~④-⑤~$から、

\begin{align*}
-6a_{n}&=(-1)^{n-1}\cdot (-3)-5^{n-1}\cdot 3 \\
\\
a_{n}&=\displaystyle \frac{1}{2}(-1)^{n-1}+\frac{1}{2}\cdot 5^{n-1}
\end{align*}

と求まった。

 さすが応用問題レベルというほど複雑な計算です。
 特性方程式として二次方程式を使うため、2つの解を利用することになります。

 では、二項間のときと同様に帰納的に証明してみます。

特性方程式で三項間漸化式が解ける理由

 三項間漸化式

\begin{equation*}
a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}~~~(p\neq 0~,~q\neq 0)~~\cdots⑥
\end{equation*}

の特性方程式が$~x^2=px+q~$であることを示す。

  この漸化式を解くためには、与式を

\begin{equation*}
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})~~\cdots⑦
\end{equation*}

と変形できればよい。

 $~⑦~$を式変形すると、

\begin{align*}
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}&=\beta a_{n+1}-\alpha \beta a_{n}  \\ 
a_{n+2}&=(\alpha +\beta )a_{n+1}-\alpha \beta a_{n} ~~\cdots⑧
\end{align*}

となるため、$⑥$と$⑧$の係数を比較することで、

\begin{cases}
&p=\alpha+\beta  \\
&q=-\alpha\beta
\end{cases} 

がわかり、解と係数の関係から、$~\alpha~,~\beta~$を求める方程式は

\begin{align*}
x^2-px-q&=0  \\
x^2&=px+q
\end{align*}

となり、これは求めたい特性方程式である。■

 こちらも無事証明できました。


二項間漸化式が一次方程式、三項間漸化式が二次方程式。
ということは、四項間漸化式は・・・?

うん。三次方程式になるよ。
時間ができたら、そちらも証明してみるね。

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コメント

コメント一覧 (4件)

    • 今回、2項間漸化式なら特性方程式は1次方程式になり、3項間漸化式なら2次方程式となりました。
      そのため、\(~n~\)項間漸化式の特性方程式は、\(~(n-1)~\)次方程式となるだろうなぁという予想です。
      需要があるようなので、4項間漸化式についてはそのうち書いてみようかと思いますが、一般化するのは難しそうです・・・。

    •  コメントありがとうございます。
      励みになります!!

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