特性方程式で漸化式が解ける理由

数学B数列数学B

漸化式を解く際に有効な手段として、特性方程式の解を使って式変形をする方法があります。なぜ特性方程式の解が式変形の上で有効なのかを証明してみました。
Ⅰ 二項間漸化式と特性方程式
Ⅱ 三項間漸化式と特性方程式


目次
  • 1. Ⅰ 二項間漸化式と特性方程式
  • 2. Ⅱ 三項間漸化式と特性方程式

Ⅰ 二項間漸化式と特性方程式

 まずは二項間漸化式として、次の例を見てみましょう。

二項間漸化式 \(~a_{n+1}=3a_{n}+8,a_{1}=2~\) の一般項 \(~\{a_{n} \}~\) を求める。
 
特性方程式 \(~x=3x+8~\) を考える。この特性方程式を解くと、
\begin{align}
-2x&=8 \\
x&=-4 \\
\end{align}
となるため、漸化式は次のように変形できる。
\begin{equation}
a_{n+1}+4=3(a_{n}+4)・・・(*)
\end{equation}
ここで、数列 \(~\{ a_{n}+4 \}~\) は初項 \(~a_{1}+4=2+4=6~\) 、公比 \(~3~\) の等比数列なので、
\begin{align}
a_{n}+4&=3^{n-1}\cdot 6 \\
a_{n}+4&=3^n \cdot 2 \\
a_{n}&=3^n \cdot 2 -4
\end{align}
と求まる。

 特性方程式の解を求めることで、なぜ \(~(*)~\) のように式変形ができるのでしょうか。
それを証明してみました。

証明

 二項間漸化式 \(~a_{n+1}=pa_{n}+q~\) について考える。
この漸化式を解くためには、与式を
\begin{equation}
a_{n+1}-x=y(a_{n}-x)  ・・・①
\end{equation}
と変形できれば、上の例のように解くことができる。すなわち、 \(~x,y~\) の求め方がわかればよい。
 
 ①の式を整理すると、
\begin{align}
a_{n+1}-x&=y(a_{n}-x) \\
a_{n+1}&=y a_{n}-xy+x \\
\end{align}
となる。元の漸化式は
\begin{equation}
a_{n+1}=p a_{n}+q
\end{equation}
なので、係数比較をすることで、
\begin{cases}
& y=p  ・・・②\\
& -xy+x=q ・・・③\\
\end{cases}
が成り立つ。②より、 \(~y~\) は \(~a_{n}~\) の係数であることがわかった。
 
また、②を③に代入して、移項すると
\begin{align}
-px+x&=q \\
x&=px+q 
\end{align}
が求まり、これは元の漸化式の特性方程式である。したがって、 \(~x~\) を求めるためには漸化式の特性方程式を解けばよいことが言えた。 \(~\blacksquare\)

行いたい式変形のために必要な数値が、元の漸化式の \(~a_{n+1},a_{n}~\) を \(~x~\) にした特性方程式を解くことで求められるということが証明されました。


Ⅱ 三項間漸化式と特性方程式

 同様の流れで三項間漸化式についても考えてみましょう。

三項間漸化式 \(~a_{n+2}=4a_{n+1}+5a_{n},a_{1}=1,a_{2}=2~\) の一般項 \(~\{a_{n} \}~\) を求める。
 
特性方程式 \(~x^2=4x+5~\) を考える。この特性方程式を解くと、
\begin{align}
x^2-4x-5&=0 \\
(x-5)(x+1)&=0 \\
x&= 5 , -1
\end{align}
となるため、漸化式は次のような2本の式に変形できる。
\begin{cases}
& a_{n+2}-5a_{n+1}=-(a_{n+1}-5a_{n}) \\
& a_{n+2}+a_{n+1}=5(a_{n+1}+a_{n}) \\
\end{cases}
ここで、数列 \(~\{ a_{n+2}-5a_{n+1} \}~\) は初項 \(~a_{2}-5a_{1}=2-5=-3~\) 、公比 \(~-1~\) の等比数列なので、
\begin{equation}
a_{n+1}-5a_{n}=(-1)^{n-1}\cdot (-3) ・・・①
\end{equation}
となり、また数列 \(~\{ a_{n+2}+a_{n+1} \}~\) は初項 \(~a_{2}+a_{1}=2+1=3~\) 、公比 \(~5~\) の等比数列なので、
\begin{equation}
a_{n+1}+a_{n}=5^{n-1}\cdot 3  ・・・②
\end{equation}
がわかる。
 
①から②をひくと、
\begin{align}
-6a_{n}&=(-1)^{n-1}\cdot (-3)-5^{n-1}\cdot 3 \\
\\
a_{n}&=\displaystyle \frac{1}{2}(-1)^{n-1}+\frac{1}{2}\cdot 5^{n-1}
\end{align}
と求まる。

 二項間よりも複雑ですね・・・。では、証明に参りましょう。

証明

 三項間漸化式 \(~a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}~\) について考える。
この漸化式を解くためには、与式を
\begin{equation}
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_{n}) ・・・①
\end{equation}
と変形できれば、上の例のように解くことができる。すなわち、 \(~\alpha,\beta~\) の求め方がわかればよい。
 
 ①の式を整理すると、
\begin{align}
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}&=\beta (a_{n+1}-\alpha a_{n})  \\
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}&=\beta a_{n+1}-\alpha \beta a_{n}  \\
a_{n+2} &=\alpha a_{n+1} +\beta a_{n+1}-\alpha \beta a_{n}  \\
a_{n+2} &=(\alpha +\beta) a_{n+1}-\alpha \beta a_{n} \\
\end{align}
となる。元の漸化式は
\begin{equation}
a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}
\end{equation}
なので、係数比較をすることで、
\begin{cases}
& \alpha + \beta =p  ・・・②\\
& \alpha \beta =-q ・・・③\\
\end{cases}
が成り立つ。②、③より、求めたい \(~\alpha,\beta~\) は解と係数の関係から、二次方程式
\begin{equation}
x^2-px-q=0
\end{equation}
を解けばよいことがわかる。この二次方程式は移項すると、
\begin{equation}
x^2=px+q
\end{equation}
となり、これは元の漸化式の特性方程式である。したがって、 \(~\alpha,\beta~\) を求めるためには漸化式の特性方程式を解けばよいことが言えた。 \(~\blacksquare\)

三項間漸化式の場合は、少々複雑でしたが、特性方程式の根拠が証明できました。


四項間漸化式では、特性方程式が3次方程式となるみたいです。果たして \(~n~\) 項間漸化式の特性方程式は \(~(n-1)~\) 次方程式になるのでしょうか・・・。

   
 
 


◇参考文献等

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Posted by Fuku