三平方の定理の証明⑨(アン・コンディットの証明)

 三平方の定理には数百もの証明方法があります。今回は、アメリカの16歳の少女が提出した、補助線を多用した証明方法です。
Ⅰ 三平方の定理とは
Ⅱ アン・コンディットの証明
Ⅲ その他の証明方法


目次

Ⅰ 三平方の定理とは

 三平方の定理とは、次のような定理です。(再掲)

三平方の定理(ピタゴラスの定理)


上のような直角三角形で、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

 直角三角形の2辺がわかれば、残りの1辺も求まるというもので、紀元前から測量等でも使われてきました。日本では中学3年生(義務教育!)で習います。
 
 長い歴史の中で、様々な人により、様々な証明が生み出されてきましたが、今回は1938年にアメリカのインディアナ州のサウスベンドの中央中等・高等学校の女学生が提出したことで有名な方法を紹介します。


Ⅱ アン・コンディットの証明

 では、彼女が思いついた証明方法を辿ってみましょう。

証明

  $~c~$ を斜辺とする直角三角形 $~ABC~$ において、 $~AB,BC,CA~$ をそれぞれ1辺とした正方形 $~AEDB,BCFG,CAHI~$ を外側に作り、 $~FI~$ を結ぶ。

 
  $~AB~$ の中点を $~P~$ とし、直線 $~CP~$ と $~FI~$ の交点を $~R~$ とする。

 このとき、 $~\angle ACB=90^{\circ}~$ であるため、 $~AB~$ を直径とした $~\triangle ABC~$ の外接円の中心が $~P~$ となる。
 そのため、半径であることから
\begin{equation}
AP=PC \cdots ①
\end{equation}
が成り立つ。
 
 また、 $~\triangle ABC~$ と $~\triangle IFC~$ において、 $~AC=IC~$ , $~BC=FC~$ , $~\angle ACB=\angle ICF=90^{\circ}~$ であるため、二辺夾角相等より $~\triangle ABC \equiv \triangle IFC~$ 。
 よって、
\begin{align}
AB=IF &\cdots ② \\
\angle BAC=\angle FIC &\cdots ③
\end{align}

 ①より、 $~\triangle APC~$ は二等辺三角形なので、
\begin{equation}
\angle BAC=\angle PCA \cdots ④
\end{equation}
であり、③と④より、
\begin{equation}
\angle FIC=\angle PCA \cdots ⑤
\end{equation}
とわかる。
 
 また、 $~\triangle CIR~$ で外角の性質から
\begin{equation}
\angle FIC+\angle IRC=\angle PCA +90^{\circ}
\end{equation}
であり、⑤を使うと、
\begin{equation}
\angle IRC=90^{\circ} \cdots ⑥
\end{equation}
とわかる。
 
 
  $~\triangle PIC~$ $~\triangle PFC~$ に注目する。

 それぞれ $~PC~$ を底辺としたとき、⑥より、 $~PR \perp IF~$ なので、
\begin{align}
\triangle PIC&=\displaystyle \frac{1}{2}\times PC \times IR \\
\\
\triangle PFC&=\displaystyle \frac{1}{2}\times PC \times RF \\
\end{align}
であるため、
\begin{align}
\triangle PIC+\triangle PFC&=\displaystyle \frac{1}{2}\times PC \times (IR+RF) \\
\\
&=\displaystyle \frac{1}{2}\times PC \times IF \\
\end{align}
となり、②より
\begin{align}
\triangle PIC+\triangle PFC&=\displaystyle \frac{1}{2}\times PC \times AB \cdots ⑦ \\
\end{align}
である。
 
 また、 $~\triangle AEP~$ にも注目すると、
\begin{align}
\triangle AEP&=\displaystyle \frac{1}{2}\times AP \times AE \\
\end{align}
であり、①や正方形の性質から
\begin{align}
\triangle AEP&=\displaystyle \frac{1}{2}\times PC \times AB \cdots ⑧ \\
\end{align}
とわかる。
 
 ⑦、⑧より、
\begin{equation}
\triangle PIC+\triangle PFC=\triangle AEP
\end{equation}
が成り立つ。
 
 
 次に、 $~ED,FG,HI~$ の中点を $~L,M,N~$ として、それらを $~P~$ と結ぶと、正方形の各辺とそれぞれ平行になる。

  $~\triangle PIC~$ は、 $~IC~$ を底辺とすると、
\begin{align}
\triangle PIC&=\displaystyle \frac{1}{2} \times IC \times NI \\
\\
&=\frac{1}{2}\times AC \times \left( \frac{1}{2}AC \right) \\
\\
&=\frac{1}{4}b^2 \cdots ⑩
\end{align}
である。
 
 同様に、 $~\triangle PFC~$ は、 $~FC~$ を底辺とすると、
\begin{align}
\triangle PFC&=\displaystyle \frac{1}{2} \times FC \times MF \\
\\
&=\frac{1}{2}\times BC \times \left( \frac{1}{2}BC \right) \\
\\
&=\frac{1}{4}a^2 \cdots ⑪
\end{align}
である。
 
 また、 $~\triangle AEP~$ の面積は、
\begin{align}
\triangle AEP&=\displaystyle \frac{1}{2} \times AP \times AE \\
\\
&=\frac{1}{2}\times AB \times \left( \frac{1}{2}AB \right) \\
\\
&=\frac{1}{4}c^2 \cdots ⑫
\end{align}
とわかる。
 
 ⑩~⑫を、⑨に代入して、
\begin{align}
\displaystyle \frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2&=\frac{1}{4}c^2 \\
\\
a^2+b^2&=c^2
\end{align}
 となり、三平方の定理は示された。 $~\blacksquare$

 奇抜な補助線によって、三角形の面積を2通りで表してつなげるという証明方法でした。


Ⅲ その他の証明方法

 是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。
~順次作成中~
[pythagorastable]
他にもいろいろありますよ~(‘ω’)ノ


 複雑で目が回りそう・・・。


 
 


◇参考文献等
・E・マオール(2008)『ピタゴラスの定理-4000年の歴史』,pp.149-151,伊理由美訳,岩波書店.

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