三平方の定理の証明⑧(ジェームズ・A・ガーフィールドの証明)

 三平方の定理は、何百もの証明方法があるといわれています。
 この記事では、後にアメリカの大統領となる人物が思いついた証明方法について紹介します。

この記事を読んでわかること
  • アメリカの大統領ジェームズ・A・ガーフィールドについて
  • ガーフィールドが思いついた、三平方の定理の証明方法
目次

Ⅰ ジェームズ・A・ガーフィールドって誰?

 ジェームズ・A・ガーフィールド(James Abram Garfield , 1831-1881)は、アメリカ合衆国の政治家・弁護士です。

<図1> ジェームズ・A・ガーフィールド
(出典:Unknown; part of Brady-Handy Photograph Collection., Public domain, via Wikimedia Commons)

 1863年に共和党員として下院議員に選出され、1881年3月から第20代大統領になりました。
 しかし、1881年7月に銃撃を受け、同年9月に死去。在任期間はわずか半年でした。

 ガーフィールドは最も博学の大統領であり、片手でラテン語、もう一方の手でギリシャ語を同時に書くことができたと言われています。

 そんな彼は1876年に、他の国会議員たちと数学の議論をしているときに、三平方の定理の証明をふと思いつきました。

 5年後に大統領となる45歳の国会議員が考えた証明方法とは、どのようなものだったのでしょうか。
 次章で見てみましょう。

Ⅱ ガーフィールドの証明

 ガーフィールドが思いついた証明方法は、台形を使ったシンプルなものになります。

証明

 直角三角形$~ABC~$において、半直線$~CA~$上に$~AD=a~$となる$~D~$をとる。
 次に、$~AD~$に垂直な線分$~DE~$を$~B~$と同じ側に作り、$~AE~$を結ぶ。

ガーフィールドの証明1
<図2> ガーフィールドの証明1

 このとき、$~\triangle ABC~$と$~\triangle EAD~$において、

\begin{align*}
& AC=ED=b \\
& BC=AD=a \\
& \angle ACB=\angle EDA=90^{\circ}
\end{align*}

であるため、二辺夾角相等から$~\triangle ABC \equiv \triangle EAD~$。

<図3> ガーフィールドの証明2

 したがって、

\begin{align*}&EA=AB=c \\
&\angle EAD=\angle ABC ~~~\cdots ①
\end{align*}

である。

 次に、$~\angle BAE~$を求める。
 位置関係から、

\angle BAE=180^{\circ}-(\angle BAC+\angle EAD)

となり、$①$を代入すると、

\begin{align*}
\angle BAE&=180^{\circ}-(\angle BAC+\angle ABC) \\
&=180^{\circ}-90^{\circ} \\
&=90^{\circ}
\end{align*}

と求まる。

<図4> ガーフィールドの証明3

 ここで、台形$~BCDE~$の面積$~S~$は

\begin{align*}
S&=(a+b)\times (a+b) \times \frac{1}{2} \\
\\
&=\frac{(a+b)^2}{2} ~~~~\cdots ②
\end{align*}

と表せる。

 また、$~S~$は$~\triangle ABC~,~\triangle ABC~,~\triangle ABC~$の3つの直角三角形の和から

\begin{align*}
S&=a \times b \times \frac{1}{2}+a \times b \times \frac{1}{2}+c \times c \times \frac{1}{2} \\
\\
&=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2} \\
\\
&=ab+\frac{c^2}{2} ~~~~\cdots ③
\end{align*}

とも表せる。

 $②$と$③$より、

\begin{align*}
\frac{(a+b)^2}{2}&=ab+\frac{c^2}{2} \\
\\
(a+b)^2&=2ab+c^2 \\
\\
a^2+2ab+b^2&=2ab+c^2 \\
\\
a^2+b^2&=c^2
\end{align*}

から、三平方の定理は示された。■

 台形の面積を2通りで表すという、よくある発想に基づいた証明方法でした。


「他の国会議員たちと数学の議論」という状況がシュール。

そこで「ふと思いつく」っていうのがすごいよね。
しかも、その流れで自分の証明を認めてもらおうと学会に提出する行動力もすごい。

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