三平方の定理の証明⑧（ジェームズ・Ａ・ガーフィールドの証明）

　直角三角形 \(~ABC~\) において、半直線 \(~CA~\) 上に \(~AD=a~\) となる \(~D~\) をとる。
　次に、 \(~AD~\) に垂直な線分 \(~DE~\) を \(~B~\) と同じ側に作り、 \(~AE~\) を結ぶ。

　このとき、 \(~\triangle ABC~\) と \(~\triangle EAD~\) において、
\begin{align}
仮定より、& AC=ED=b \\
& BC=AD=a \\
& \angle ACB=\angle EDA=90^{\circ}
\end{align}
　以上より、二辺夾角相等なので、 \(~\triangle ABC \equiv \triangle EAD~\) 。
　したがって、
\begin{align}
&EA=AB=c \\
&\angle EAD=\angle ABC \cdots ①
\end{align}
となる。

　次に、 \(~\angle BAE~\) を求める。
　位置関係から、
\begin{equation}
\angle BAE=180^{\circ}-(\angle BAC+\angle EAD)
\end{equation}
となり、①を代入すると、
\begin{align}
\angle BAE&=180^{\circ}-(\angle BAC+\angle ABC) \\
&=180^{\circ}-90^{\circ} \\
&=90^{\circ}
\end{align}
と求まる。

　ここで、台形 \(~BCDE~\) の面積 \(~S~\) は
\begin{align}
S&=\displaystyle (a+b)\times (a+b) \times \frac{1}{2} \\
\\
&=\frac{(a+b)^2}{2} \cdots ②
\end{align}
と表せるが、 \(~\triangle ABC,\triangle ABC,\triangle ABC~\) の３つの直角三角形の和から
\begin{align}
S&=\displaystyle a \times b \times \frac{1}{2}+a \times b \times \frac{1}{2}+c \times c \times \frac{1}{2} \\
\\
&=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2} \\
\\
&=ab+\frac{c^2}{2} \cdots ③
\end{align}
とも表せる。
 
　②、③より、
\begin{align}
\displaystyle \frac{(a+b)^2}{2}&=ab+\frac{c^2}{2} \\
\\
(a+b)^2&=2ab+c^2 \\
\\
a^2+2ab+b^2&=2ab+c^2 \\
\\
a^2+b^2&=c^2
\end{align}
 
　となり、三平方の定理は示された。 \(~\blacksquare\)