下1桁が5の自然数の2乗

数学雑学式と計算数学雑学

\(~15^2,35^2~\) のように下1桁が5の自然数の2乗は、筆算を使わずに瞬時に計算することができます。
その計算方法と原理を紹介します。
①計算方法
②証明


目次
  • 1. ①計算方法
  • 2. ②証明

①計算方法

まずは具体例から、規則を探してみましょう。

\begin{align}
15^2&=225 \\
\\
25^2&=625 \\
\\
35^2&=1225 \\
\\
45^2&=2025 \\
\\
55^2&=3025 \\
\\
\end{align}

なんとな~く見えてきましたね。
実は、次のような性質があります。

下1桁が5の自然数の2乗の計算


 一の位が5で、十の位が \(~a~\) の自然数の2乗は、
下2桁が25、さらに百の位が \(~a(a+1)~\) となる。

少しわかりにくいので、先ほどの具体例で適用してみます。

・15の2乗
 15の十の位は1なので、 \(~15^2~\) の百の位は \(~1 \cdot (1+1)=2~\) 。
下2桁は25なので、 \(~15^2=225~\)
 
・35の2乗
 35の十の位は3なので、 \(~35^2~\) の百の位は \(~3 \cdot (3+1)=12~\) 。
下2桁は25なので、 \(~35^2=1225~\)
 
・45の2乗
 45の十の位は4なので、 \(~45^2~\) の百の位は \(~4 \cdot (4+1)=20~\) 。
下2桁は25なので、 \(~45^2=2025~\)
 
・5の2乗
 5の十の位は0なので、 \(~5^2~\) の百の位は \(~0 \cdot (0+1)=0~\) 。
下2桁は25なので、 \(~5^2=25~\)
 
・105の2乗
 105の十の位は10なので、 \(~105^2~\) の百の位は \(~10 \cdot (10+1)=110~\) 。
下2桁は25なので、 \(~105^2=11025~\)

ということで、2桁の数でなくても同様に計算することができます。
知っておくと計算がたま~に便利ですし、数学嫌いな人に対しても語ることができます。


②証明

では、先ほどの規則の証明に入ります。簡単な式変形だけでできます。

証明

\(~a~\) を非負の整数として、下1桁が5の自然数を \(~10a+5~\) と表す。
この自然数の2乗は、
\begin{align}
(10a+5)^2&=100a^2+100a+25 \\
\\
&=100(a^2+a)+25 \\
\\
&=100\{ a(a+1) \}+25
\end{align}
となるため、下2桁が25、百の位が \(~a(a+1)~\) であることが示された。 \(~\blacksquare \)

中3の「式の展開」の応用として、出題するのも面白そうですね。


以前、授業中に紹介したところ「すげー!」と好評でした。
こういうお得な計算ネタ、集めたいです。

   
 
 


数学雑学式と計算数学雑学

Posted by Fuku