3次方程式の解の公式

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 3次方程式の解の公式とその証明、さらには3次方程式が発表されるまでの経緯について紹介します。 
①歴史
②解の公式と証明   
③例


目次
  • 1. ①歴史
  • 2. ②解の公式と証明
  • 3. ③例

①歴史

 1545年、ジェロラモ・カルダノが著書『アルス・マグナ』で3次方程式の解の公式について初めて述べました。しかしそれを元々発見したのは同じイタリア人のタルタリアで、タルタリアは誰にも公表しないという約束で、カルダノに解き方を教えましたが、その約束を破ってカルダノは自分の本の中で公表してしまったのです。そのため、タルタリアはカルダノに数学試合(互いにいくつか問題を出し合い、期限までに解いた数が多いほうが勝ち)をしかけるも、カルダノは弟子のフェラーリを試合に出し、フェラーリが勝利。タルタリアは数学の表舞台から消え、3次方程式の解法の発見者はカルダノということで、名が世に通っています。

ちなみに、フェラーリは「4次方程式解の公式」を発見しています。
※「2次方程式の解の公式」はこちら。


②解の公式と証明

3次方程式の解の公式

3次方程式\(~ ax^3+bx^2+cx+d=0 \)を変形してできる3次方程式\( ~x^3+px+q=0~ \)の解は、

\begin{equation}
\displaystyle x=\omega^k\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2+\left( \frac{p}{3} \right)^3}} +\omega^{3-k}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2+\left( \frac{p}{3} \right)^3}}
\end{equation}


\begin{multline}
\displaystyle x=\omega^k\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2+\left( \frac{p}{3} \right)^3}} \\
+\omega^{3-k}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2+\left( \frac{p}{3} \right)^3}}
\end{multline}

\( (ただし、\omega は1の立方根 , k=0,1,2)\)

と表される。

1の立方根が使われていたり、立方根の中に平方根があったりと複雑ですね。多くの手順は踏みますが、その証明がコチラです。↓

証明

3次方程式
\begin{equation}
ax^3+bx^2+cx+d=0 ~~(a\neq0)
\end{equation}
で、両辺を \(~a~\) でわると、
\begin{equation}
\displaystyle x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0
\end{equation}
ここで、\( \displaystyle \frac{b}{a}=l , \frac{c}{a}=m , \frac{n}{a}=n \)とすれば、
\begin{equation}
x^3+lx^2+mx+n=0
\end{equation}
となる。さらに、\( \displaystyle y=x+\frac{l}{3} \)で置換して左辺を計算していくと、

\begin{align}
\displaystyle &\left( y-\frac{l}{3} \right)^3+l\left( y-\frac{l}{3} \right)^2+m\left( y-\frac{l}{3} \right)+n \\
\\
&= \left( y^3-ly^2+\frac{l^2}{3}y-\frac{l^3}{27} \right)^3+l\left( y^2-\frac{2l}{3}y+\frac{l^2}{9} \right)^2+m\left( y-\frac{l}{3} \right)+n \\
\\
&=y^3-\left( b-\frac{l^2}{3} \right) y+\left(n-\frac{lm}{3}+\frac{2l^3}{27} \right) \\
\end{align}


\begin{equation}
\displaystyle \left( y-\frac{l}{3} \right)^3+l\left( y-\frac{l}{3} \right)^2+m\left( y-\frac{l}{3} \right)+n
\end{equation}
\begin{multline}
=\left( y^3-ly^2+\frac{l^2}{3}y-\frac{l^3}{27} \right)^3+l\left( y^2-\frac{2l}{3}y+\frac{l^2}{9} \right)^2 \\
+m\left( y-\frac{l}{3} \right)+n
\end{multline}
\begin{equation}
=y^3-\left( b-\frac{l^2}{3} \right) y+\left(n-\frac{lm}{3}+\frac{2l^3}{27} \right)
\end{equation}

これを文字で\( y \)を\( x \)と再定義し、
\( \displaystyle \left( b-\frac{l^2}{3} \right)=p , \left(n-\frac{lm}{3}+\frac{2l^3}{27} \right) = q \)とすれば、 元の3次方程式は
\begin{equation}
x^3+px+q=0 \text{・・・①}
\end{equation}
となり、全ての3次方程式はこの形で表されることがわかった。
 
①の式で\( x=u+v \)とすると、 \begin{equation} (u+v)^3+p(u+v)+q=0 \end{equation} 展開して、整理すると、 \begin{equation} (u^3+v^3+q)+(3uv+p)(u+v)=0 \end{equation} となるため、連立方程式 \begin{equation} \begin{cases} u^3+v^3+q=0 \text{・・・②} \\ 3uv+p=0 \text{・・・③} \end{cases} \end{equation} を満たす\( u,v \)を求めればよい。
 
③より、\( \displaystyle v=-\frac{p}{3u} ~\) であり、これを②に代入して \begin{equation} \displaystyle u^3-\frac{p^3}{27u^3}+q=0 \end{equation}\(~ u^3 \)を両辺にかけて、 \begin{equation} u^6+qu^3-\left( \frac{p}{3} \right)^3=0 \end{equation} ここで、\( u^3=t \)とすると、 \begin{equation} \displaystyle t^2+qt-\left( \frac{p}{3} \right)^3=0 \end{equation} という二次方程式になる。二次方程式の解の公式より、 \begin{align} \displaystyle u^3=t&=\frac{-q\pm \sqrt{q^2+4\left( \frac{p}{3} \right)^3 }}{2} \\ \\ &=-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right) ^2 + \left( \frac{p}{3} \right) ^3 } \end{align} が求まる。②より、\( u^3+v^3=-q\)で、\( u,v \)は対称性を持つため、 \begin{equation} \begin{cases} \displaystyle u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right) ^2 + \left( \frac{p}{3} \right) ^3 } \\ \displaystyle v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right) ^2 + \left( \frac{p}{3} \right) ^3 } \\ \end{cases} \end{equation} 一般的に3次方程式\( x^3=a \)の解が、\( x=\sqrt[3]{a} , \omega\sqrt[3]{a} ,\omega^2\sqrt[3]{a} ( \omega \)は1の立方根で、\( \displaystyle \omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i ) \)であることを使うと、
\begin{equation}
\begin{cases}
\displaystyle u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right) ^2 + \left( \frac{p}{3} \right) ^3 }} \\ \displaystyle v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right) ^2 + \left( \frac{p}{3} \right) ^3 }} \\ \end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
\displaystyle u=\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right) ^2 + \left( \frac{p}{3} \right) ^3 }} \\ \displaystyle v=\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right) ^2 + \left( \frac{p}{3} \right) ^3 }} \\ \end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle u=\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right) ^2 + \left( \frac{p}{3} \right) ^3 }} \\ \displaystyle v=\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right) ^2 + \left( \frac{p}{3} \right) ^3 }} \\
\end{cases}
\end{equation}
(ここで、③の式を満たすため、\( \displaystyle uv=-\frac{p}{3} \)から、 \(~uv~\) が虚数とならないように、\( \omega \)の指数を組み合わせている。)

以上より、3次方程式 \(~x^3+px+q=0 ~\) の解の公式は、

\begin{equation}
\displaystyle x=\omega^k\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2+\left( \frac{p}{3} \right)^3}} +\omega^{3-k}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2+\left( \frac{p}{3} \right)^3}}
\end{equation}


\begin{multline}
\displaystyle x=\omega^k\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2+\left( \frac{p}{3} \right)^3}} \\
+\omega^{3-k}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2+\left( \frac{p}{3} \right)^3}}
\end{multline}

\( (ただし、\omega は1の立方根 , k=0,1,2)\)

と表すことができる。\( \blacksquare \)


③例

最後に、この公式が実際に機能するかどうか、例題で確かめてみましょう。

例題

3次方程式 \begin{equation} x^3-15x-4 \end{equation} の解を求めなさい。

普通だったら、\( x=4 \)という解を自力で見つけて、因数分解をして残りの2解を求めますが・・・。 解の公式を使うと、こうなります。↓

解説

解の公式における、\( p=-15 , q=-4 \)の場合の3次方程式である。解の公式の3乗根の中身を先に計算しておくと、
\begin{align}
&\displaystyle -\frac{q}{2}\pm\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2+\left( \frac{p}{3} \right)^3} \\
\\
&=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left( \frac{-4}{2} \right)^2+\left( \frac{-15}{3} \right)^3} \\
\\
&=2\pm\sqrt{4-125} \\
\\
&=2\pm11i
\end{align} ここで、 \(~2\pm11i=(2\pm i)^3~\) より、1つ目の解は \begin{equation} x=(2+i)+(2-i)=4 \end{equation} 2つ目の解は、 \begin{align} \displaystyle x&=\omega(2+i)+\omega^2(2-i) \\ \\ &=\left( -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \right)(2+i)+\left( -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \right)(2-i) \\ \\ &=-2-\sqrt{3} \end{align} 3つ目の解は、 \begin{align} \displaystyle x&=\omega^2(2+i)+\omega(2-i) \\ \\ &=\left( -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \right)(2+i)+\left( -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \right) (2-i) \\ \\ &=-2+\sqrt{3} \end{align} 以上より、3つの解が求まった。

実際、\( x^3-15x-4=(x-4)(x+2-\sqrt{3})(x+2+\sqrt{3}) \)と因数分解でき、同じ解が求まります。


二次方程式の解の公式に比べると、影が薄いですが、一応3次方程式にも解の公式があるのですね。ただ、ちょっと面倒・・。

   
 
 


☆参考文献等

・中村滋(2015)『数学史の小窓』,pp.110-111,日本評論社.
・「Wikipedia」,< https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F > 2016年8月23日アクセス.