中学受験で「ヒポクラテスの定理」として紹介されることのある月形の面積問題。
この定理が、どんな内容でなぜ成り立つのかを正確に説明できますか？
この記事では、ヒポクラテスの三日月と呼ばれる図形の性質とその2つの応用例について、現役数学教員Fukusukeがたくさんの図と共に解説！
そもそもなぜこのような図形が、紀元前に研究されたかということも含めて説明しています。
実は、ヒポクラテスの三日月は有名問題を解決するために研究され、当時としては画期的な成果を上げた図形なんです。
ヒポクラテスの三日月とは？
「ヒポクラテスの三日月」とは、キオスのヒポクラテス（Hippocrates , B.C.470頃～B.C.410頃）が円積問題解決のために用いた図形のことです。
1つの円の面積と等しい面積をもつ正方形を作図しなさい。
ヒポクラテスの三日月は曲線図形を直線図形に変換した世界初の例であり、円積問題の解決につながることが期待されました。
ヒポクラテスの三日月に出てくる「月形」
まず、ヒポクラテスの三日月でよく登場する図形が月形で、以下のような定義で与えられます。
二つの円弧で三日月形に囲まれた図形のことを月形という。
月形という名前ですが、満月(円)や半月(半円)は含みません。
さらに、三日月形に囲まれる必要があるので、十三夜月や小望月と称されるような月の形もNGです。
小さい2つの月形の和に関する定理
では、現代に「ヒポクラテスの定理」として広く知られる月形の面積関係を見てみましょう。
直角三角形について、各辺を直径とする半円を描く。
このとき、月形の面積の和と直角三角形の面積は等しくなる。
S_1+S_2=S_3
月形を直線図形と等積にする考え方は、古代以来の月形研究で重要な位置を占めました。
ヒポクラテスの定理はヒポクラテスによるものではない
ここで「ヒポクラテスの定理」と呼んでいるのは、現代の数学教育や解説で広く使われる通称です。
この記事で紹介している直角三角形の二つの月形の面積和に関する定理は、シンプリキオスが伝えるヒポクラテスの月形求積には見られず、数学史研究では1000年頃のイスラームの数学者アルハゼン（イブン・アル・ハイサム）に帰されます。
本記事では世間的に定着した呼称として「ヒポクラテスの定理」を用い、歴史的帰属については上記のとおり区別します。
ちなみに、ヒポクラテスが実際に研究した月形として知られているのは、次のような特殊なパターンです。
この証明については、のちに紹介します。
ヒポクラテスの定理は三平方の定理により証明できる
ヒポクラテスの定理の証明は、図形を組み合わせて三平方の定理を使うだけの簡単なものです。
図4のように、$~S_1~$～$~S_3~$以外の部分の面積を、それぞれ$~P~,~Q~$と定める。
$~S_1+P~$、$~S_2+Q~$、$~S_3+P+Q~$はそれぞれ、直径$~AB~$、$~AC~$、$~BC~$の半円の面積となるため、
\begin{align*}
S_1+P&=\left(\frac{AB}{2} \right)^2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{2}=\frac{AB^2}{8}\pi \\
\\
S_2+Q&=\left(\frac{AC}{2} \right)^2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{2}=\frac{AC^2}{8}\pi \\
\\
S_3+P+Q&=\left(\frac{BC}{2} \right)^2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{2}=\frac{BC^2}{8}\pi \\
\end{align*} である。
三平方の定理より、$~AB^2+AC^2=BC^2~$であることを利用し、$~S_1+P+S_2+Q~$を変形すると、
\begin{align*}
&~~~S_1+P+S_2+Q \\
\\
&=\frac{AB^2}{8}\pi +\frac{AC^2}{8}\pi \\
\\
&=\frac{AB^2+AC^2}{8}\pi \\
\\
&=\frac{BC^2}{8}\pi \\
\\
&=S_3+P+Q
\end{align*}となるため、
\begin{align*}
S_1+P+S_2+Q&=S_3+P+Q \\
S_1+S_2&=S_3
\end{align*}が示された。$~~\blacksquare~$
月形や直角三角形を半円にしたうえで、三平方の定理を使うだけの証明でした。
ヒポクラテスの定理と月形求積の応用例
ヒポクラテスは、月形の求積を通じて円積問題に関わる研究を進めました。
以下では、ヒポクラテスに帰される月形求積の代表例を見ていきます。
円積問題の解決には至らなかった（実際は解決不可）ものの、様々な成果がありました。
半円の弧の月形を正方形で表す
この図形が、ヒポクラテスが実際に示したことで知られる月形です。
半円の中に、直径を斜辺とする直角二等辺三角形をつくる。
さらに、直径を弦とする弧を直角三角形の内部に描くと、以下のような赤い月形ができ、これは直角三角形の面積と等しくなる。
すなわち、円の半径を一辺とする正方形の面積と等しいことになり、円積問題のゴールに近づきます。
証明は以下のようにできます。
図6のように、各部分の面積を$~S_1~$～$~S_4~$と定める。
まず、$~S_1~$を考える。
扇形から直角二等辺三角形$~OAB~$をひけばよいので、
\begin{align*}
S_1&=\frac{BO^2}{4}\pi-\frac{BO^2}{2}~~~~\cdots①
\end{align*} と求まる。
$~S_1~$と$~S_2~$は対称な図形なので、
\begin{align*}
S_2&=\frac{BO^2}{4}\pi-\frac{BO^2}{2}~~~~\cdots②
\end{align*} である。
また、$~S_3~$を考える。
扇形から直角二等辺三角形$~O^{\prime}BC~$をひけばよい。
$~BO^{\prime}=\sqrt{2}BO~$、すなわち$~\left(BO^{\prime}\right)^2=2BO^2~$であることを利用すると、
\begin{align*}
S_3&=\frac{\left(BO^{\prime}\right)^2}{4}\pi-\frac{\left(BO^{\prime}\right)^2}{2} \\
\\
&=\frac{2BO^2}{4}\pi-\frac{2BO^2}{2} \\
\\
&=\frac{BO^2}{2}\pi-BO^2 ~~~~\cdots③
\end{align*} と求まる。
$①$～$③$より、
S_1+S_2=S_3
となり、両辺に$~S_4~$を加えることで、
\begin{align*}
S_1+S_2+S_4&=S_3+S_4 \\
(月形)&=(直角二等辺三角形ABC)
\end{align*}が示された。$~~\blacksquare~$
半円を台形と月形の差で表す
ヒポクラテスの定理は、より複雑な図形でも使えます。
図9のように、弧$~BC~$を三等分する点を$~A~,~D~$とし、線分$~BA~,~AD~,~DC~$を直径とする半円をそれぞれ描く。
このときに表される合同な月形の面積を$~S_1~$、合同な正三角形の面積を$~S_2~$とすると、$~AB~$を直径とする半円$~O^{\prime}~$の面積は以下の式で表すことができる。
(半円O^{\prime})=3S_2-3S_1
半円$~O^{\prime}~$が、$~台形ABCD~$と月形3つ分の差で表されるとわかります。
注意しなくてはならないのは、元の大きな半円$~O~$ではなく、新たに作った半円$~O^{\prime}~$であるということです。
図10のように、残った合同な図形の面積を$~S_3~$とする。
半円$~O^{\prime}~$と半円$~O~$は相似であり、相似比は$~1:2~$。
ゆえに面積比は$~1:4~$なので、
\begin{align*}
1:4&=(S_1+S_3):(3S_2+3S_3) \\
4S_1+4S_3&=3S_2+3S_3
\end{align*}となる。
ここで、左辺を$~S_1+S_3~(=半円O^{\prime})~$にするために、両辺から$~3S_1~$と$~3S_3~$をひくと、
S_1+S_3=3S_2-3S_1
であり、求めたい式が示された。$~~\blacksquare~$
円積問題はヒポクラテスの定理で解ける？
応用例1と応用例2の組み合わせにより、一見すると円積問題が解けたような誤解が生まれます。
その誤解とは、以下のような議論からなります。
- 応用例2により、半円は台形と月形の差で表される。
- 応用例1により、月形は直角二等辺三角形で表される。
↓
半円は、台形と直角二等辺三角形の差、つまり直線図形だけで表される。
この議論は部分的に切り取ると成り立っているように思えますが、応用例1で扱っている月形と応用例2で扱っている月形は全くの別物であるため、成り立ちません。
後代の伝承には、異なる月形を同じように求積できるとみなして円積へ進もうとする議論が見られますが、それは誤り。
円積問題は1882年にドイツの数学者フェルディナンド・フォン・リンデマン（Ferdinand Von Lindemann, 1852-1939）によって否定的に解決されました。
（出典：Unknown authorUnknown author, Public domain, via Wikimedia Commons）
彼は$~\pi~$が超越数であることを証明したため、円積問題は作図不可能と結論づけられたのです。
まとめ
ヒポクラテスの定理とその応用例について解説しました。
- ヒポクラテスに帰される月形求積では、特定の月形を直線図形と等積にできる。
- 直角三角形の二つの月形の面積和を求める定理は、現代には「ヒポクラテスの定理」として定着しているものの、史料上はアルハゼンに帰される。
- 月形の求積は円積問題をめぐる重要な成果だが、円積問題そのものを解決することにはならなかった。
古代ギリシアから中世イスラーム世界へと続く月形研究は、曲線で囲まれた図形の面積をめぐる幾何学の発展をよく示しています。
ヒポクラテスについてもっと知りたい方は、以下の記事もご覧ください。
コメント
コメント一覧 （2件）
ヒポクラテスは、この直角三角形の上に作図された二つの月形の和を求める定理を述べていません。例えば、以下の本の pp,46 に”Simplicius’ text does not mention this variant, but it has slipped into modem accounts as if by Hippocrates himself. ”とあります。https://archive.org/details/ancienttradition0002knor/mode/2up
ヒポクラテスの月形の仕事については、ご存じだと思いますが、Heathのギリシャ数学史にも詳しく、そこに上記の定理がないことは簡単にチェックできると思います。史料となっているシンプリキオスの注釈の該当部分は、近年、英訳が出版されました。ギリシャ語の校訂版は、無料でarchive.orgなどで見ることができます。（図を眺めるだけでもだいたいの内容は察することはできると思いますし、ＡＩを使えば翻訳してくれるのではと思います。）
記事で解説されているメインの定理は、イブン・ハイサムが一番古いとされているようで、ヨーロッパで近代になってから再発見されたとのこと（上記Knorrの書籍のpp. 45-6）
gejikeiji 様
コメントありがとうございます。
ご教示いただきました内容を踏まえ、文献（W. R. Knorr『The Ancient Tradition of Geometric Problems』等）およびシンプリキオスの注釈に関する史実を確認いたしました。
おっしゃる通り、ヒポクラテス自身が史料上で残しているのは特定の条件における月形の求積であり、記事で扱っている「直角三角形の2辺上に作られた2つの月形の和」の定理は、イブン・アル・ハイサム（Ibn al-Haytham）による成果でした。
現代の数学教育や多くの解説書等で通称として「ヒポクラテスの定理」と混同・定着してしまっている背景からそのまま解説しておりましたが、数学史的な正確性を欠いていたことを痛感しております。
いただきましたご指摘を受け、本記事内に「現代では通称としてヒポクラテスの定理と呼ばれているが、数学史的にはイブン・ハイサムの発見である」旨の歴史的背景・補足注記を追記し、他記事も含めた内容の修正・拡充を近日中に行わせていただきます。
専門的な史料や文献のページ数まで具体的にお教えいただき、大変勉強になりました。
記事の質を高める素晴らしい機会をいただけたことに深く感謝申し上げます。
Fukusuke