ギリシャの三大作図問題とは？各問題がギリシャに与えた影響まで解説！【数学史6－5】

　現在の数学の源流とも言える古代ギリシャ。

　紀元前5世紀から、以下の三大作図問題がギリシャの人々を悩ませていました。

• 円積問題
• 立方体倍積問題
• 角の三等分問題

　いずれも定規とコンパスだけを用いた作図に関する問題で、当時解決には至らなかったものの、ギリシャ数学のレベルを押し上げる役割を果たしました。

　この記事では、ギリシャの数学者たちが三大作図問題にどう携わり、どのような成果を残したのかを解説。

　また、三大作図問題と並んで、当時のギリシャで議論が熱かった3つの他の問題についても触れています！

時代	紀元前5世紀～紀元前4世紀
場所	ギリシャ

三大作図問題とは？

　タレス（Thales , B.C.624頃～B.C.547頃）とピタゴラス（Pythagoras , B.C.569頃～B.C.500頃）により、証明によって数学に厳密性が求められ始めた古代ギリシャ。

　紀元前5世紀頃に入り、3つの作図に関する難題が注目を集めていました。

ギリシャで生まれた作図の難問

　紀元前5世紀頃から、古代ギリシャの数学者の研究の焦点にあったのが「三大作図問題」（「三大問題」）です。

　作図に関する3つの難題をまとめた名称で、それぞれの問題について、以下のような数学者たちが歴史に名を残してます。

三大作図問題	研究した主な数学者（哲学者）
円積問題	・アナクサゴラス（Anaxagoras, B.C.500頃-B.C.428頃） ・ヒポクラテス（Hippocrates,B.C.470頃-B.C.410頃）
立方体倍積問題	・ヒポクラテス（Hippocrates,B.C.470頃-B.C.410頃） ・アルキュタス（Archytas, B.C.428頃-B.C.360頃） ・メナイクモス（Menaechmus , B.C.380頃-B.C.320頃）
角の三等分問題	・ヒッピアス（Hippias, B.C.460頃） ・パッポス（Pappus , B.C.4世紀頃）

　三大作図問題は、その後約2000年もの間、古今東西の数学を悩ませる難問でした。

　古代ギリシャにおいて解決には至らなかったものの、考える過程で様々な数学的成果が生まれ、結果的に三大作図問題はギリシャの数学力を向上させたと言えます。

他に3つの難問の議論も盛んだった

　三大作図問題が有名ではあるものの、当時議論が活発であった問題が他に3つありました。

三大作図問題	研究した主な数学者（哲学者）
無理量問題	・ヒッパソス（Hippasus, B.C.5世紀中頃） ・テオドロス（Theodorus,B.C.470頃-B.C.420頃）
パラドックス	・ゼノン（Zeno, B.C.490頃-B.C.430頃）
無限小的方法の妥当性	・デモクリトス（Democritos, B.C.460-B.C.379）

　これらの問題については、その後のギリシャ数学の方向性を決める役割を果たしました。

　特に、パラドックスや無限小的方法の妥当性により、ギリシャ数学は無限という概念を避けるようになります。

　以上の6つの難題について、それぞれの概要と古代ギリシャにおける成果を見てみましょう。

三大作図問題①：円積問題

　円積問題は、紀元前1650年頃のエジプトから考えられてきた、世界的にも有名で魅力的な問題です。

概要：円と面積が等しい正方形は作図できるか？

　円積問題は、「円の方形化問題」などとも呼ばれる問題です。

　前提として、「作図」＝コンパスと定規のみが使える というルールは当時も変わりません。

　この問題の最古の研究成果としては、古代エジプトの『リンド・パピルス』の問50に載っている、直径$~d~$の円の面積は$~\displaystyle \frac{64}{81}d^2~$で表されるという知識です。

　円の面積が、直径の$~\displaystyle \frac{8}{9}~$を一辺とする正方形の面積と等しいことを主張しています。

成果：ヒポクラテスが月型図形を考えた

 　ギリシャにおける最古の研究者はアナクサゴラス（Anaxagoras,B.C.500頃-B.C.428）と言われています。

　彼は太陽がペロポネソス半島よりも大きい赤熱した石であると主張したがために、牢獄に入れられた人物で、その牢の中で円積問題に取り組みました。

　古代ギリシャで、円積問題で一定の成果を上げたのはヒポクラテス（Hippocrates , B.C.470頃-B.C.410頃）です。

　月形（図5）から円積問題の解決へと挑みました。

　しかし、月形の研究には限界があり、円積問題の部分的な解決に留まりました。

　その後も約2000年の間、数学者たちを悩ませてきた円積問題は、1882年にドイツの数学者フェルディナンド・フォン・リンデマン（Ferdinand Von Lindemann, 1852-1939）によって解決されました。

　彼は$~\pi~$が超越数であることを証明したため、円積問題は作図不可能と結論づけられたのです。

三大作図問題②：立方体倍積問題

　立方体倍積問題は、紀元前5世紀末に神の神託によって登場した問題です。

概要：2の3乗根の作図はできるか？

　立方体倍積問題は、立方体の体積を２倍にするための作図方法への挑戦でした。

　立方体倍積問題は、与えられた一辺の長さを$~\sqrt[3]{2}~$倍することができるかを問うもので、別名「デロス問題」とも呼ばれています。

　ペロポネソス戦争（アテネとスパルタの戦争。B.C.434年～B.C.404年）末期、アテネでは疫病が流行しました。

　アテネはデロス島のアポロン託宣所に代表団を送り、疫病を防ぐための方法を神に伺い立てたところ、

と神託が下りました。

　これが立方体倍積問題の起源であり、「デロス問題」と呼ばれる理由です。

成果：3次元や円錐曲線による作図方法を与えた

　立方体倍積問題にまず取り組んだのは、円積問題にも取り組んだヒポクラテスであり、彼は比を使って作図の方針を示したものの、実際に作図をするには至らず断念しました。

　次に、アルキュタス（Archytas, B.C.428頃-B.C.360頃）が、２つの円柱を組み合わせた３次元の作図によって解けることを提言しました。

　当然ながら、３次元の作図は現実的ではないため、机上の空論に留まりました。

　そこから半世紀ほど経ち、同じく古代ギリシャの数学者メナイクモス(Menaechmus, B.C.380頃-B.C.320頃)は、円錐曲線の組み合わせにより、$~\sqrt[3]{2}~$は作図できると提言しました。

　メナイクモスの提言についても、アルキュタス同様、理論的には正しかったものの、円錐曲線の作図ができなかったため、現実的には作図不可でした。

　その後も特殊な状況下での作図方法が提案されたものの、定規とコンパスだけを用いた平面での作図方法は登場しませんでした。

　問題の誕生から2000年以上経った1837年、ピエール・ワンツェル（Pierre Wantzel, 1813-1848）が$~\sqrt[3]{2}~$は作図不可能であることを証明し、この問題に終止符が打たれました。

三大作図問題③：角の三等分問題

　立方体倍積問題が関心の的であった紀元前5世紀末、政治が混乱しているにも関わらず、アテネでは「角の三等分問題」についても注目が集まっていました。

概要：角の三等分線は作図できるか？

　角の三等分線問題は、その名の通り、角を三等分するための作図問題です。

　この問題の起源こそ謎ですが、

• $~2~$の平方根の作図ができる　→　$~2~$の立方根の作図はできる？（立方体倍積問題）
• 角の二等分線の作図ができる　→　角の三等分線の作図はできる？（角の三等分問題）

というような流れから来ているのではないかと思います。

成果：ヒッピアスが円積線を利用した

この問題に一定の解を導き出したのは、ヒッピアス（Hippias , B.C.460頃-不明）です。
 
　彼は円積線という特殊な曲線を使うことで、角の三等分ができることを示しました。
　しかし、円積線自体の作図が難しく、解決には至りませんでした。