三平方の定理の証明⑩(無限等比級数を利用した証明)

中3数学平面図形中3数学

 三平方の定理には数百もの証明方法があります。今回は、直角三角形を無限に細かくしていき、最終的には無限等比級数を利用する証明方法を紹介します。
Ⅰ 三平方の定理とは
Ⅱ 無限等比級数を利用した証明
Ⅲ その他の証明方法


目次
  • 1. Ⅰ 三平方の定理とは
  • 2. Ⅱ 無限等比級数を利用した証明
  • 3. Ⅲ その他の証明方法

Ⅰ 三平方の定理とは

 三平方の定理とは、次のような定理です。(再掲)

三平方の定理(ピタゴラスの定理)


上のような直角三角形で、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

 直角三角形の2辺がわかれば、残りの1辺も求まるというもので、紀元前から測量等でも使われてきました。日本では中学3年生(義務教育!)で習います。
 
 長い歴史の中で、様々な人により、様々な証明が生み出されてきましたが、今回は John Arioni という方が思いついた、無限等比級数の収束を利用する証明方法を紹介します。


Ⅱ 無限等比級数を利用した証明

 比の関係式が多く登場します↓↓

証明

  \(~C=90^{\circ},b > a~\) の直角三角形 \(~ABC~\) において、 \(~C~\) から \(~AB~\) に垂線 \(~CD=h_1~\) を下ろす。
 また、その \(~D~\) から \(~AC~\) に垂線 \(~DE=a_1~\) を下ろし、 \(~CE=b_1~\) とする。

 このとき、各三角形は二角相等より、相似の関係となっている。
 
  \(~\triangle DCE~\) \( \triangle ABC~\) より、
\begin{align}
h_1 : c &= b_1 : a \\
\\
b_1 c&=ah_1 \\
\\
\displaystyle b_1&=\frac{a}{c}h_1 \cdots ①
\end{align}
である。
 
 また、 \(~\triangle ABC~\) において、底辺を \(~c~\) としたときの高さが \(~h_1~\) なので、面積の関係から
\begin{align}
\displaystyle \frac{1}{2}ch_1&=\frac{1}{2}ab \\
\\
h_1&=\frac{c}{a}b \cdots ②
\end{align}
がわかる。
 
 ②を①に代入することで、
\begin{align}
\displaystyle b_1&=\frac{a}{c}\cdot \frac{a}{c}b \\
\\
&=\frac{a^2}{c^2}b \cdots ③
\end{align}
が求まる。
 

 また、 \(~\triangle DCE~\) \( \triangle CBD~\) より、
\begin{align}
h_1 : a &= a_1 : h_1 \\
\\
a a_1 &=h_1^2 \\
\\
a_1&=\frac{1}{a}h_1^2
\end{align}
であり、ここに②を代入することで、
\begin{align}
a_1&=\frac{1}{a}\cdot \frac{a^2}{c^2}b^2 \\
\\
&=\frac{b^2}{c^2}a \cdots ④
\end{align}
が求まる。
 
 次に、 \(~E=90^{\circ}~\) 直角三角形 \(~ADE~\) において、 \(~E~\) から \(~AD~\) に垂線 \(~EF=h_2~\) を下ろす。
 また、その \(~F~\) から \(~AE~\) に垂線 \(~FG=a_2~\) を下ろし、 \(~EG=b_2~\) とする。

 このとき、同様の作業により、
\begin{equation}
\displaystyle a_2=\frac{AE^2}{AD^2}a_1
\end{equation}
となるが、 \(~\triangle ADE~\) \( \triangle ABC~\) より、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}
\end{equation}
なので、
\begin{equation}
\displaystyle a_2=\frac{b^2}{c^2}a_1 \cdots ⑤
\end{equation}
が成り立つ。
 

 また、 \(~\triangle FED~\) \( \triangle DCE~\) より、
\begin{align}
a_2 : a_1 &= b_2 : b_1 \\
\\
a_1 b_2 &=a_2b_1 \\
\\
b_2&=\frac{1}{a_1}a_2b_1
\end{align}
であり、ここに⑤を代入することで、
\begin{align}
b_2&=\frac{1}{a_1}\cdot \frac{b^2}{c^2}a_1 \cdot b_1 \\
\\
&=\frac{b^2}{c^2}b_1 \cdots ⑥
\end{align}
が求まる。
 
 ここまでの作業を繰り返し行い、 \(~\triangle ABC~\) を細かくしていくと、次のような図になる。

 このとき、 \(~b_3,b_4~\) についても、⑥を繰り返し使うことで、
\begin{align}
\displaystyle b_3&=\frac{b^2}{c^2}b_2=\left( \frac{b}{c} \right)^4 b_1 \\
\\
\displaystyle b_4&=\frac{b^2}{c^2}b_3=\left( \frac{b}{c} \right)^6 b_1 \\
\end{align}
と求まる。すなわち、
\begin{equation}
\displaystyle b_n=\left( \frac{b}{c} \right)^{2n-2} b_1
\end{equation}
であり、これを無限に続けていくと、

\begin{align}
b&=b_1+b_2+b_3+b_4+\cdots \\
\\
&=\displaystyle b_1+\left( \frac{b}{c} \right)^2 b_1++\left( \frac{b}{c} \right)^4 b_1+\left( \frac{b}{c} \right)^6 b_1+\cdots \\
\\
&=b_1 \left\{ 1+\left( \frac{b}{c} \right)^2 +\left( \frac{b}{c} \right)^4 +\left( \frac{b}{c} \right)^6 +\cdots
\right\} \\
\\
\end{align}


\begin{align}
b&=b_1+b_2+b_3+\cdots \\
\\
&=\displaystyle b_1+\left( \frac{b}{c} \right)^2 b_1++\left( \frac{b}{c} \right)^4 b_1+\cdots \\
\\
&=b_1 \left\{ 1+\left( \frac{b}{c} \right)^2 +\left( \frac{b}{c} \right)^4 +\cdots \right\} \\
\\
\end{align}

である。
 
 ここで、中かっこの式は、初項 \(~1~\) 、公比 \(~\displaystyle 0 < \left( \frac{b}{c} \right)^2 < 1~\) の無限等比級数であるため、 \begin{align} b&=b_1 \cdot \frac{1}{1-\frac{b^2}{c^2}} \\ \\ &=b_1 \cdot \frac{c^2}{c^2-b^2} \end{align} となり、③を代入することで、 \begin{align} b&=\frac{a^2}{c^2}b \cdot \frac{c^2}{c^2-b^2} \\ \\ 1&=\frac{a^2}{c^2-b^2} \\ \\ c^2-b^2&=a^2 \\ \\ c^2&=a^2+b^2 \end{align} となり、三平方の定理は示された。 \(~\blacksquare\)

 垂線によって \(~b~\) を無限に細かく分け、収束する無限等比級数の形にもっていくという数学Ⅲとのコラボレーションでした。


Ⅲ その他の証明方法

 是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。
~順次作成中~

①ピタゴラスの証明  正方形を4つの図形にうまく分割し、回転させることにより、その面積関係から三平方の定理を導いています。
②ユークリッドの証明 等積変形や合同を使って、複雑な計算をせずに証明をします。
③内接円を利用した証明 内接円を使って、面積を2通りの方法で表して証明をします。
④方べきの定理を利用した証明1 内部で交わるタイプの方べきの定理を使って証明します。
⑤方べきの定理を利用した証明2 接線タイプの方べきの定理を使って証明します。
⑥レオナルド・ダ・ヴィンチの証明 合同な図形をうまく使った証明方法です。
⑦トレミーの定理による証明 円に内接する長方形に、トレミーの定理を適用します。
⑧ジェームズ・A・ガーフィールドの証明 アメリカの大統領が考えた、台形を使った証明方法です。
⑨アン・コンディットの証明  16歳の少女が考えた、補助線を多用する証明方法です。
⑩無限等比級数を利用した証明  垂線によって直角三角形を細かくしていき、最終的には無限等比級数を利用する証明方法です。
⑪相似を利用した証明1  相似を使った最もシンプルな証明方法です。
⑫相似を利用した証明2  合同な直角三角形を重ね、相似な三角形を利用しながら、ある三角形の面積を2通りの方法で表します。

他にもいろいろありますよ~('ω’)ノ


 とうとう無限の概念まで絡んできました・・・。


 
 


◇参考文献等
・「Pythagorean Theorem」,<http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Proof100.shtml> 2019年10月10日アクセス

中3数学平面図形中3数学

Posted by Fuku