三平方の定理の証明⑬(外接円と直角二等辺三角形を利用した証明)

 三平方の定理にはたくさんの証明方法があります。今回は外接円と直角二等辺三角形を利用した証明方法について紹介します。


目次

Ⅰ 三平方の定理とは

 三平方の定理とは、次のような定理です。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)


上のような直角三角形で、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

 直角三角形の2辺がわかれば、残りの1辺も求まるというもので、紀元前から測量等でも使われてきました。日本では中学3年生(義務教育!)で習います。
 長い歴史の中で、様々な人により、様々な証明が生み出されてきましたが、今回は直角二等辺三角形が主役の証明方法を紹介します。


Ⅱ 外接円と直角二等辺三角形を利用した証明

 直角三角形$~ABC~$の外接円に、いくつかの直角二等辺三角形を混ぜた図形を利用します。

証明

 下の図のように、$~a < b~$である直角三角形$~ABC~$の外接円 $~O~$を作る。 証明の図1
 次に、直線$~AC~$上に、$~CD=a~$となるような$~D~$を下図のようにとる。
 このとき、$~\triangle BCD~$は直角二等辺三角形となる。
証明の図2
 さらに、下図のように、直線$~DB~$と円$~O~$の$~B~$ではない交点を$~E~$とし、さらに直線$~AE~$と直線$~BC~$の交点を$~F~$とする。
 このとき、$~\angle BEF=90^{\circ}~$であり、対頂角から$~\angle BEF=45^{\circ}~$なので、$~\triangle BEF~$も直角二等辺三角形となる。
証明の図3
 また、$~\angle BCA=90^{\circ}~$であることから、$~\triangle ACF~$も直角二等辺三角形である。
証明の図4
 四角形$~AFBD~$の面積$~S~$は、
\begin{align}
S&=\triangle BCD+\triangle ACF \\
&=\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}~~~~\cdots ①
\end{align}
と表せる。
 
 ところで、$~\triangle EFD~$と$~\triangle EBA~$において、
証明の図5
\begin{align}
EF&=EB \\
\angle FED&=\angle BEA=90^{\circ} \\
\end{align}
であり、$~\triangle AED~$も直角二等辺三角形であることから、
\begin{equation}
ED=EA
\end{equation}
 以上より、二辺夾角相等となるため、$~\triangle EFD \equiv \triangle EBA~$から、
\begin{equation}
FD=BA=c
\end{equation}
と求まる。
 
 さらに、$~DE \perp AF~,~FC \perp AD~$であることから、$~DE~$と$~FC~$の交点$~B~$は、$~\triangle ADF~$の垂心である。
 したがって、直線$~AB~$と$~FD~$の交点を $~G~$とすると、$~AG \perp FD~$である。
証明の図6
 
 以上より、四角形$~AFBD~$の面積$~S~$は、
証明の図7 
\begin{align}
S&=\triangle FBA+\triangle DBA \\
\\
&=c \cdot FG \cdot \frac{1}{2}+c \cdot DG \cdot \frac{1}{2} \\
\\
&=\frac{c}{2}(FG+DG) \\
\\
&=\frac{c}{2}\cdot c \\
\\
&=\frac{c^2}{2} ~~~\cdots ②
\end{align}
とも表すことができる。
 
 $①~,~②~$より、
\begin{align}
\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}&=\frac{c^2}{2} \\
\\
a^2+b^2&=c^2
\end{align}
が示された。$~\blacksquare$

 この方法は、「Bùi Quang Tuån」という方が見つけたようです。


Ⅲ その他の証明方法

 たくさんの証明の中から有名な証明方法をいくつか紹介します。是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。
~順次作成中~
[pythagorastable]
他にもいろいろあるので、調べてみてください。


4つの直角二等辺三角形に、ダークフォース垂心。気づきづらいにゃ。

◇参考文献等
・「Pythagorean Theorem」,<https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PythagorasOrthocenter.shtml> 2020年12月13日アクセス

よかったらシェアしてね!

コメント

コメントする

CAPTCHA


目次
閉じる