2023はどんな数？素因数分解や約数、2023を含む数列を解説！

　2022年も残りわずか。
　2023年が近づくにつれて、

　$2023$は素数なのか？　
　$2023$ってどんな数なんだろう？

と気になっている方向けに、$~2023~$という数について現役数学教員が解説！

　毎年、西暦を使った数学ネタを年賀状にしているため、今回もいろいろと研究してみました。

　実は、$~2023~$は$~7~$で割れる数であるだけでなく、幸運数やハーシャッド数、ピタゴラス数などにも登場するんです！

2023を素因数分解してわかること

　まずは、2023を素因数分解してみましょう。

2023=7 \times 17^2

　$~2~,~3~,~5~$で割れないため、何で割れるか一見わかりづらいです。

2023は7の倍数である

　素因数分解の結果からもわかるように、$~2023~$は$~7~$で割れます。

　実際に割ってみればわかりますが、以下のような7の倍数判定法を使うこともできます。

　この判定法によれば、$~2023~$を$~2~$と$~023~$に分けて交互にたし算・ひき算すると、

-2+23=21

となり、$~21~$が$~7~$の倍数であるため、$~2023~$は$~7~$の倍数とわかります。

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　$~7~$で割れることがわかれば、$~2023 \div 7=289~$より、$~289=17^2~$により素因数分解が完了します。

　17の倍数判定法も一応存在しますが、$~17^2~$は覚えておくと何かと便利です。

2023の約数は6個で総和は2456

　$~2023=7 \times 17^2~$という素因数分解の結果から、以下のような計算をすることで、$~2023~$の約数の個数が$~6~$個、約数の総和が$~2456~$とわかります。

(1+1)\times (2+1)=6~(個)

\begin{align*}

(1+7) \times (1+17+17^2)&=8 \times 307  \\

&=2456

\end{align*}

　計算式だけだと難しく思えますが、以下のような表で整理するとわかりやすいです。

　$~2023~$の約数は$~1~,~7~,~17~,~119~,~289~,~2023~$であり、自身（$2023$）を除く約数の和は$~433~$となるため、$~2023~$は不足数（自身以外の約数の和が、自身よりも小さくなる数）と言うこともできます。

2023が最大となるピタゴラス数は2組

　$~a^2+b^2=c^2~$を満たす自然数$~a~,~b~,~c~$の組（ピタゴラス数）でも、2023が出てきます。

　$~a~$や$~b~$に入る際の組み合わせは列挙しきれないものの、$~c~$に2023が入るのは、

(a,b,c)=(952,1785,2023)~,~(1127,1680,2023)

の2組しかありません。

Excelを使えば簡単に見つけられる

　Excelで平方数の加法表を作成し、検索ツールで$~4092529=(2023^2)~$を探すことで、$~2023~$が最大となるピタゴラス数の組は見つけられます。

　実際の計算画面は図2、図3のようなものになります。

1組は手計算でも求められる

　1組目の$~a=952~,~b=1785~,~c=2023~$は、機械に頼らなくても簡単に求まります。

　なぜなら、$~8~,~15~,~17~$の直角三角形を$~119$~倍に拡大するだけだからです。

　ここでも、$~2023=7 \times 17^2=119 \times 17~$という素因数分解の結果が利用できました。

　また、$~a=1127~,~b=1680~,~c=2023~$の組については、最大公約数が$~7~$であるため、$~161~,~240~,~289~$を三辺に持つ直角三角形を$~7~$倍に拡大したものとなります。

2023が登場する数列

　オンライン整数列大辞典（OEIS)を利用し、2023が登場する数列を調べてみました。

　検索結果の中から、有名な数列や、シンプルでおもしろい数列を抜粋して紹介します。

279番目の幸運数

　$~2023~$は$~279~$番目の幸運数（lucky number）です。

　幸運数とは、以下のような作り方で生まれる自然数の列となります。

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,\cdots

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,\cdots

1,~,3,7,9,13,15,19,21,\cdots

1,3,7,9,13,15,21,\cdots

1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,51,63,67,69,73,75,79,87,93,99,\cdots

　こうして完成した幸運数の列の279番目が2023となります。

408番目のハーシャッド数

　$~2023~$は408番目のハーシャッド数（harshad  number）です。　　　

　ハーシャッド数の定義は次のように与えられます。

　$~2021~$と$~2023~$を例にハーシャッド数かどうかを判別してみましょう。

　ちなみに、$~2022~,~2023~,~2024~,~2025~$は連続したハーシャッド数になります。（そんなに珍しくはない性質ですが‥‥）

7の7乗を7の階乗で割った余りが2023

　最後にシンプルな数式に登場する$~2023~$を1つ。　　

7^7 \div 7!= 163 \cdots 2023

　$~7^7=823543$を$~7!=5040~$で割ると、余りが$~2023~$となる美しい数式です。

　$~n^n~$を$~n!~$で割ったときの余りに関する数列の7番目の項となります。

 0, 0, 3, 16, 5, 576, 2023, 4096, 227529,\cdots

まとめ

　$~2023~$に関して、素因数分解をはじめ、マニアックな数列まで取り上げてきました。

• $~2023=7 \times 17^2~$と素因数分解できる。
• 2種類の直角三角形の斜辺に$~2023~$が登場する。
• 幸運数やハーシャッド数、$~n^2~$を$~n!~$で割った余りなどの数列に$~2023~$が登場する。

　最後の$~7^7 \div 7!= 163 \cdots 2023~$に関しては、次のように言い換えることができます。

7^7 \equiv 2023 ~~~\pmod {~7!~}

　　$~2023~$が$~7~$に囲まれた縁起の良い数式です。

　　2023年、よい年になりますように。