1/81 や 1/9801 の謎～ 8 や 98 が出てこない理由を解説！

2019年3月10日2024年9月8日

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　小数にすると、以下のように、興味深い数列が並ぶ $~\displaystyle \frac{1}{81}~$ や $~\displaystyle \frac{1}{9801}~$ 。

\frac{1}{81}=0.\dot{0}1234567\dot{9}

\frac{1}{9801}=0.\underbrace{\dot{0}0}\underbrace{01}\underbrace{02}\cdots \underbrace{96}\underbrace{97}\underbrace{9\dot{9}}

　登場する数字を見てみると、自然数の列が$~0~$や$~00~$から並び、$~8~$や$~98~$を除いて数が循環していることがわかります。

なぜ自然数がきれいに並ぶのか？
なぜきれいな並びの中で除外される数が出てくるのか？

　以上の2点の疑問を現役の数学教員が解説します。

　すべての鍵を握るのは、分母である$~81~$や$~9801~$に共通する数の性質でした。

この記事を読んでわかること

1/81 や 1/9801 に隠れた謎

1/81 や 1/9801 の小数の値

　まずは、実際に計算してみましょう。

　この記事の冒頭にもある通り、２つの分数は以下のように小数に直せます。

1/81 や 1/9801 の小数

\frac{1}{81}=0.012345679~~012345679~~01 \cdots

　$~\displaystyle \frac{1}{81}~$を小数にすると、$~0~$ から $~9~$ までの整数が順番に並ぶ。（$~8~$を除く）

\frac{1}{9801}=0.000102 \cdots 969799~~000102\cdots969799~~0001 \cdots

　$~\displaystyle \frac{1}{9801}~$を小数にすると、$~00~$ から $~99~$ までの整数（2ケタ表示）が順番に並ぶ。（$~98~$を除く）

　ここで、以下の2点が疑問として出てきます。

なぜ整数が順番に並んでいくのか？
なぜ8や98だけが除外されてしまうのか？

　この2つの疑問点を解決する鍵は$~81~$と$~9801~$の共通点にありました。

81 と 9801 の共通点

　$~81~$と$~9801~$といった2つの数はどこから出てきているのでしょうか？
　それぞれの整数を素因数分解してみましょう。

\begin{align*} 81&=3^4 \\ 9801&=3^4 \cdot 11^2 \end{align*}

　このように、どちらも$~3^4~$を含んでいるのがわかります。
　また、どちらも平方数であることに着目すると、

\begin{align*} 81&=(3^2)^2=9^2 \\ 9801&=(3^2 \cdot 11)^2=99^2 \end{align*}

の形にでき、平方数の中でも

各ケタがすべて 9 で表される数の２乗

ということがわかります。

　この共通点をヒントに、$~\displaystyle \frac{1}{81}~$ や $~\displaystyle \frac{1}{9801}~$の謎を解明していきましょう。

1/81 や 1/9801 の謎の解明

1/81 の謎の解明

　まずは $~\displaystyle \frac{1}{81}~$ に焦点を当てて証明していきます。

1/81 が 0123‥‥ と並ぶことの証明

　$~\displaystyle \frac{1}{81}~$ を式変形していく。

\begin{align*} &~~~~~\displaystyle \frac{1}{81} \\ \\ &=\frac{1}{9^2} \\ \\ &=\left( \frac{1}{9} \right)^2 \\ \\ &=(0.111 \cdots)^2 \\ \\ &=\left( \frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\cdots \right)^2 \\ \\ &=\left\{ \left(\frac{1}{10}\right) +\left(\frac{1}{10}\right)^2+\left(\frac{1}{10}\right)^3+\cdots \right\}^2 \end{align*}

　ここで$~x=\displaystyle \frac{1}{10}~$とおき、２乗の展開公式を使うと、

\begin{align*} &~~~(x+x^2+x^3+\cdots)^2 \\ &=x^2+x^4+x^6+\cdots+2x^3+2x^4+2x^5+\cdots+2x^5+2x^6+2x^7+\cdots \\ &=x^2+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+\cdots \\ \end{align*}

となるため、

\begin{align*} &\displaystyle \frac{1}{81} \\ \\ &=\left( \frac{1}{10} \right)^2+2\left( \frac{1}{10} \right)^3+3\left( \frac{1}{10} \right)^4+4\left( \frac{1}{10} \right)^5+\cdots \\ \\ &=0.01+0.002+0.0003+0.00004+0.000005+\cdots \\ \\ &=0.01　　\\ &+0.002 \\ &+0.0003 \\ &+0.00004 \\ &+0.000005 \\ &+0.0000006 \\ &+0.00000007 \\ &+0.000000008 \\ &+0.0000000009 \\ &+0.00000000010 \\ &+0.000000000011 +\cdots \\ \\ &=0.012345679012 \cdots \\ \end{align*}

がわかり、$~0~$から順に数字が並びつつ、繰り上がりによって$~8~$が登場しないことが示された。

　以上のことからわかる通り、 $~\displaystyle \frac{1}{81}~$の謎は以下のように解明されました。

整数が並ぶのは、 $~\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^2=(0.11111 \cdots)^2~$ の影響
8が省略されるのは、繰り上がりの影響

1/9801 の謎の解明

　 $~\displaystyle \frac{1}{81}~$と同様の手法になりますが、 $~\displaystyle \frac{1}{9801}~$についても見てみましょう。

1/9801 が 00 01 02 03‥‥ と並ぶことの証明

　$~\displaystyle \frac{1}{9801}~$ を式変形していく。

\begin{align*} &~~~~~\displaystyle \frac{1}{9801} \\ \\ &=\frac{1}{99^2} \\ \\ &=\left( \frac{1}{99} \right)^2 \\ \\ &=(0.010101 \cdots)^2 \\ \\ &=\left( \frac{1}{100}+\frac{1}{10000}+\frac{1}{1000000}+\cdots \right)^2 \\ \\ &=\left\{ \left(\frac{1}{100}\right) +\left(\frac{1}{100}\right)^2+\left(\frac{1}{100}\right)^3+\cdots \right\}^2 \end{align*}

　ここで$~x=\displaystyle \frac{1}{100}~$とおき、２乗の展開公式を使うと、

\begin{align*} &~~~(x+x^2+x^3+\cdots)^2 \\ &=x^2+x^4+x^6+\cdots+2x^3+2x^4+2x^5+\cdots+2x^5+2x^6+2x^7+\cdots \\ &=x^2+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+\cdots \\ \end{align*}

となるため、

\begin{align*} &\displaystyle \frac{1}{9801} \\ \\ &=\left( \frac{1}{100} \right)^2+2\left( \frac{1}{100} \right)^3+3\left( \frac{1}{100} \right)^4+4\left( \frac{1}{10} \right)^5+\cdots \\ \\ &=0.0001+0.000002+0.00000003+0.0000000004+\cdots \\ \\ &=0.0001 \\ &\cdots \\ &+0.0000 \cdots 96 \\ &+0.0000 \cdots 0097 \\ &+0.0000 \cdots 000098 \\ &+0.0000 \cdots 00000099 \\ &+0.0000 \cdots 0000000100 \\ &+0.0000 \cdots 000000000101 +\cdots \\ \\ \\ &=0.0001 \cdots 969799000102\cdots \end{align*}

がわかり、$~00~$から順に数字が並びつつ、繰り上がりによって$~98~$が登場しないことが示された。

　少し複雑にはなりましたが、 $~\displaystyle \frac{1}{9801}~$の謎は以下のように解明されました。

整数が並ぶのは、 $~\displaystyle \left( \frac{1}{99} \right)^2=(0.010101 \cdots)^2~$ の影響
98が省略されるのは、繰り上がりの影響

1/81 や 1/9801 と同様の分数

1/81 と同じ性質を持つ分数

　各桁の数がすべて $~9~$ で表される数の２乗を分母に持つ単位分数であれば、同じ性質を持つ分数は無限に作れます。

1/81 と同じ性質を持つ分数

\frac{1}{81}=\frac{1}{9^2}=0.\dot{0}1234567\dot{9}

\frac{1}{9801}=\frac{1}{99^2}=0.\dot{0}0~01~02 \cdots 96~97~9\dot{9}

\frac{1}{998001}=\frac{1}{999^2}=0.\dot{0}00~001~002 \cdots 996~997~99\dot{9}

\frac{1}{99980001}=\frac{1}{9999^2}=0.\dot{0}000~0001~0002 \cdots 9996~9997~999\dot{9}

　いずれも循環節の最後から2個目の数（$~8~,~98~,~998~,~9998~$）は登場しないので注意しましょう。

1/81 と同じ性質を持つ分数の一般化

　最後に一般化しておきます。

1/81 と同じ性質を持つ分数の一般化

　$~\displaystyle \frac{1}{(10^n-1)^2}~$ すなわち、 $~\displaystyle \frac{1}{\underbrace{99\cdots 9}_{n個}}~$ を小数に直すと、

0.\underbrace{\dot{0}\cdots 00}_{nケタ}~\underbrace{0\cdots 01}_{nケタ} ~\cdots~ \underbrace{9\cdots 97}_{nケタ}~~\underbrace{9\cdots 9\dot{9}}_{nケタ}

となり、$~\displaystyle \underbrace{9\cdots 98}_{nケタ}~$は登場しない。

　一般化すると難しいので、これまでの具体例で納得してもらえればと思います。

まとめ

　$~\displaystyle \frac{1}{81}~$ や $~\displaystyle \frac{1}{9801}~$を小数にしたときの数の並びについて解説しました。

小数に直すと、自然数の列が規則的に並んでいく。
$~\displaystyle \frac{1}{81}~$なら$~8~$が、 $~\displaystyle \frac{1}{9801}~$なら$~98~$が登場しない。
以上2つは、分母が$~9^2~$や$~99^2~$であることが原因。

偶然かと思ったけど、しっかりとした根拠があったんだね。

$~8~$も含めて$~0.\dot{0}12345678\dot{9}~$としたければ分数を$~\displaystyle \frac{13717421}{1111111111}~$とする必要があるよ。
数字が汚い‥‥。

1/81 や 1/9801 の謎～ 8 や 98 が出てこない理由を解説！