1/81や1/9801の秘密

数学雑学式と計算数学雑学

 小数にすると、興味深い数列が並ぶ \(~\displaystyle \frac{1}{81}~\) や \(~\displaystyle \frac{1}{9801}~\) 。どのような数列となり、またなぜそのような数列が生まれるのかを説明します。
Ⅰ  \(~\frac{1}{81}~\) や \(~ \frac{1}{9801}~\) の小数化
Ⅱ 81と9801の共通点
Ⅲ 規則性の証明
Ⅳ 同様の分数


目次
  • 1. Ⅰ  \(~\frac{1}{81}~\) や \(~ \frac{1}{9801}~\) の小数化
  • 2. Ⅱ 81と9801の共通点
  • 3. Ⅲ 規則性の証明
  • 4. Ⅳ 同様の分数

Ⅰ  \(~\frac{1}{81}~\) や \(~ \frac{1}{9801}~\) の小数化

 まずは、実際に計算してみましょう。

\(~\frac{1}{81}~\) や \(~ \frac{1}{9801}~\) の値

 
  \(~\displaystyle \frac{1}{81}~\) や \(~\displaystyle \frac{1}{9801}~\) は次のような循環小数となる。
\begin{align}
\displaystyle \frac{1}{81}&=0.01234567901234567901 \cdots \\
\\
&=0.\dot{0}1234567\dot{9}
\end{align}

\begin{align}
\displaystyle \frac{1}{9801}&=0.0001020304 \cdots 9697990001 \cdots \\
\\
&=0.\dot{0}001020304 \cdots 96979\dot{9}
\end{align}


\begin{align}
\displaystyle \frac{1}{9801}&=0.000102 \cdots 96979900 \cdots \\
\\
&=0.\dot{0}00102 \cdots 96979\dot{9}
\end{align}

 この2つの分数を小数にすると、同じような性質を持つ数列が出てきますね。
 
  \(~\displaystyle \frac{1}{81}~\) の場合、 \(~0~\) から \(~9~\) までの整数が順番に並んでいるのがわかります。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{1}{81}=0.012345679012 \cdots
\end{equation}
ただし、 \(~8~\) を除いて
 
 
 また、 \(~\displaystyle \frac{1}{9801}~\) の場合、 \(~00~\) から \(~99~\) までの整数(2ケタ表示)が順番に並んでいるのがわかります。

\begin{equation}
\displaystyle \frac{1}{9801}=0.\underbrace{00}\underbrace{01}\underbrace{02}\cdots \underbrace{96}\underbrace{97}\underbrace{99}0001 \cdots
\end{equation}


\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{9801} \\
\\
&=0.\underbrace{00}\underbrace{01}\underbrace{02}\cdots \underbrace{96}\underbrace{97}\underbrace{99}00 \cdots
\end{align}

ただし、 \(~98~\) を除いて
 
 
 
 ここで、以下の疑問点出てきます。

①なぜ整数が順番に並んでいくのか?

②なぜ8や98だけが除外されてしまうのか?

 この2つの疑問点を解決すべく、まずは \(~81~\) と \(~9801~\) の共通点を探してみたいと思います。


Ⅱ 81と9801の共通点

 81と9801といった2つの数はどこから出てきているのでしょうか? 彼らのをルーツを探るべく、素因数分解をしてみようと思います。すると・・・
\begin{align}
81&=3^4 \\
9801&=3^4 \cdot 11^2
\end{align}
  \(~3^4~\) が共通していますね。
 ただ、もっとよ~く見てみると、どちらも平方数であることに気づけて、
\begin{align}
81&=(3^2)^2=9^2 \\
9801&=(3^2 \cdot 11)^2=99^2
\end{align}
 の形にできますね。
 
 したがって、81と9801の共通点は

各桁の数がすべて \(~9~\) で表される数の2乗

となります。
 
 ということは、 \(~\displaystyle \frac{1}{999^2}=\frac{1}{998001}~\) も同じような性質を持つと予想できます。
(実際の計算結果は「この記事の④へ」)
 
  \(~9~\) や \(~99~\) という数をヒントに、先ほどの2つの疑問点を証明していきましょう。


Ⅲ 規則性の証明

 まずは \(~\displaystyle \frac{1}{81}~\) に焦点を当てて証明していきます。

\(~ \frac{1}{81}~\) の証明


①なぜ整数が順番に並んでいくのか?を証明する。
 
\(~\displaystyle \frac{1}{81}~\) を式変形していく。

\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{81} \\
\\
&=\frac{1}{9^2} \\
\\
&=\left( \frac{1}{9} \right)^2 \\
\\
&=(0.111 \cdots)^2 \\
\\
&=\left( \frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\cdots \right)^2
\\
&=\left\{ \left(\frac{1}{10}\right) +\left(\frac{1}{10}\right)^2+\left(\frac{1}{10}\right)^3+\cdots \right\}^2
\end{align}


\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{81} \\
\\
&=\frac{1}{9^2} \\
\\
&=\left( \frac{1}{9} \right)^2 \\
\\
&=(0.111 \cdots)^2 \\
\\
&=\left( \frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\cdots \right)^2
\\
&=\left\{ \left(\frac{1}{10}\right) +\left(\frac{1}{10}\right)^2+\cdots \right\}^2
\end{align}

 ここで、 \(~\displaystyle \frac{1}{10}=x\)とおくと、
\begin{align}
=(x&+x^2+x^3 \cdots )^2 \\
\\
=(x&+x^2+x^3 \cdots )(x+x^2+x^3 \cdots ) \\
\\
=x^2&+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots \\
&+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots \\
&+x^4+x^5+x^6+\cdots \\
=x^2&+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+\cdots
\end{align}
 この式に \(~x=\displaystyle \frac{1}{10}=0.1~\) を代入すると、

\begin{align}
=0.01&+0.002+0.0003+0.00004+0.000005+\cdots \\
=0.01&2345 \cdots \\
\end{align}


\begin{align}
=0.01&+0.002+0.0003 \\
&+0.00004+0.000005+\cdots \\
\\
=0.01&2345 \cdots \\
\end{align}

 これにより、整数が並んでいくことが示された。 \(~\blacksquare\)


②なぜ8だけが除外されてしまうのか?を証明する。
 
 上の式を縦に並べてみると、

\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{81} \\
\\
&=0.01+0.002+0.0003+0.00004+0.000005+\cdots \\
\\
&=0.01  \\
&+0.002 \\
&+0.0003 \\
&+0.00004 \\
&+0.000005 \\
&+0.0000006 \\
&+0.00000007 \\
&+0.000000008 \\
&+0.0000000009 \\
&+0.00000000010 \\
&+0.000000000011 +\cdots \\
\\
&=0.012345679012 \cdots
\end{align}


\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{81} \\
\\
&=0.01+0.002+0.0003 \\
&+0.00004+0.000005+\cdots \\
\\
&=0.01  \\
&+0.002 \\
&+0.0003 \\
&+0.00004 \\
&+0.000005 \\
&+0.0000006 \\
&+0.00000007 \\
&+0.000000008 \\
&+0.0000000009 \\
&+0.00000000010 \\
&+0.000000000011 +\cdots \\
\\
&=0.012345679012 \cdots
\end{align}

となるため、“繰り上がり"により8がなくなることが示された。 \(~\blacksquare\)

 

・整数が並ぶのは、 \(~\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^2=(0.11111 \cdots)^2~\) の影響
・8が省略されるのは、繰り上がりの影響

ということがわかりました。
 
 同様のことにはなりますが、 \(~\displaystyle \frac{1}{9801}~\) についても示しておきます。

\(~ \frac{1}{9801}~\) の証明


①なぜ整数が順番に並んでいくのか?を証明する。
 
\(~\displaystyle \frac{1}{9801}~\) を式変形していく。

\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{9801} \\
\\
&=\frac{1}{99^2} \\
\\
&=\left( \frac{1}{99} \right)^2 \\
\\
&=(0.010101 \cdots)^2 \\
\\
&=\left( \frac{1}{100}+\frac{1}{10000}+\frac{1}{1000000}+\cdots \right)^2
\\
&=\left\{ \left(\frac{1}{100}\right) +\left(\frac{1}{100}\right)^2+\left(\frac{1}{100}\right)^3+\cdots \right\}^2
\end{align}


\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{9801} \\
\\
&=\frac{1}{99^2} \\
\\
&=\left( \frac{1}{99} \right)^2 \\
\\
&=(0.010101 \cdots)^2 \\
\\
&=\left( \frac{1}{100}+\frac{1}{10000}+\cdots \right)^2
\\
&=\left\{ \left(\frac{1}{100}\right) +\left(\frac{1}{100}\right)^2+\cdots \right\}^2
\end{align}

 ここで、 \(~\displaystyle \frac{1}{100}=x\)とおくと、
\begin{align}
=(x&+x^2+x^3 \cdots )^2 \\
\\
=(x&+x^2+x^3 \cdots )(x+x^2+x^3 \cdots ) \\
\\
=x^2&+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots \\
&+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots \\
&+x^4+x^5+x^6+\cdots \\
=x^2&+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+\cdots
\end{align}
 この式に \(~x=\displaystyle \frac{1}{100}=0.01~\) を代入すると、

\begin{align}
=0.0001&+0.000002+0.00000003+0.0000000004+\cdots \\
=0.0001&020304 \cdots \\
\end{align}


\begin{align}
=0.0001&+0.000002 \\
&+0.00000003+\cdots \\
\\
=0.0001&020304 \cdots \\
\end{align}

 これにより、整数(2ケタ表示)が並んでいくことが示された。 \(~\blacksquare\)


②なぜ98だけが除外されてしまうのか?を証明する。
 
 上の式を縦に並べてみると、

\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{9801} \\
\\
&=0.0001+0.000002+0.00000003+0.0000000004+\cdots \\
\\
&=0.0001 \\
&\cdots \\
&+0.0000 \cdots 096 \\
&+0.0000 \cdots 00097 \\
&+0.0000 \cdots 0000098 \\
&+0.0000 \cdots 000000099 \\
&+0.0000 \cdots 00000000100 \\
&+0.0000 \cdots 0000000000101 +\cdots \\
\\
&=0.0001 \cdots 0969799000102\cdots
\end{align}


\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{9801} \\
\\
&=0.0001+0.000002 \\
&+0.00000003+\cdots \\
\\
&=0.0001 \\
&\cdots \\
&+0.0000 \cdots 096 \\
&+0.0000 \cdots 00097 \\
&+0.0000 \cdots 0000098 \\
&+0.0000 \cdots 000000099 \\
&+0.0000 \cdots 00000000100 \\
&+0.0000 \cdots 0000000000101 +\cdots \\
\\
&=0.0001 \cdots 0969799000102\cdots
\end{align}

となるため、“繰り上がり"により98がなくなることが示された。 \(~\blacksquare\)

 少し複雑にはなりますが、同じように証明できました。


Ⅳ 同様の分数

②81と9801の共通点」でも出てきましたが、同じような性質を持つ分数は無限に作れます。

\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{998001} \\
\\
&=\left( \frac{1}{999} \right)^2 \\
\\
&=0.\underbrace{000}\underbrace{001}\underbrace{002} \cdots \underbrace{996}\underbrace{997}\underbrace{999}000001 \cdots
\end{align}
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{99980001} \\
\\
&=\left( \frac{1}{9999} \right)^2 \\
\\
&=0.\underbrace{0000}\underbrace{0001}\underbrace{0002}\cdots \underbrace{9996}\underbrace{9997}\underbrace{9999}00000001 \cdots
\end{align}


\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{998001} \\
\\
&=\left( \frac{1}{999} \right)^2 \\
\\
&=0.\underbrace{000}\underbrace{001} \cdots \underbrace{996}\underbrace{997}\underbrace{999}000 \cdots
\end{align}
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{99980001} \\
\\
&=\left( \frac{1}{9999} \right)^2 \\
\\
&=0.\underbrace{0000}\underbrace{0001}\cdots \underbrace{9997}\underbrace{9999}0000 \cdots
\end{align}

 最後に一般化しておきます。

\(\frac{1}{81}\)や\(\frac{1}{9801}\)の一般化

\(~\displaystyle \frac{1}{(10^n-1)^2}~\) すなわち、 \(~\displaystyle \frac{1}{\underbrace{99\cdots 9}_{n個}}~\) を小数に直すと、
\begin{equation}
0.\underbrace{\dot{0}\cdots 00}_{nケタ}\underbrace{0\cdots 01}_{nケタ} \cdots \underbrace{9\cdots 97}_{nケタ}\underbrace{9\cdots 9\dot{9}}_{nケタ}
\end{equation}
となる。

 難しく見えますが、③までのところで原理はわかっていただけたかと思います。


 数の神秘を感じられる話題でした。証明できることに感動です。

   
 
 


◇参考文献等
・「なぜ1/9801は美しいのか」,<www.geocities.jp/y_white_math/math/1over9801.pdf> 2019年3月10日アクセス

数学雑学式と計算数学雑学

Posted by Fuku