コーシーの収束判定法

2020年11月8日

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級数が収束するかどうかを計算から判定することができる方法です。いくつかの例はもちろん、なぜこの方法で判定できるのかを証明してみましょう。

この記事を読んでわかること

Ⅰ　コーシーの収束判定法と例

　19世紀、オーギュスタン・ルイ・コーシー（Augustin Louis Cauchy）が発見した、級数が収束するかどうかを判定するための方法を、「コーシーの収束判定法」と言います。

　まずは、判定法の内容を見てみましょう。

コーシーの収束判定法

　正項級数（すべての$~n~$に対し、$~a_n \ge 0~$となる級数）$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~$において、
\begin{equation}
\ell=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}
\end{equation}
としたとき、この級数の収束性は次のように判断できる。
\begin{cases}
0 \le \ell < 1 &のとき、\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~は収束する。 \\ 1 < \ell &のとき、\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~は発散する。 \\ \end{cases}

　「ダランベールの収束判定法」と同様、$~\ell=1~$のときは、収束することもあれば発散することもあるため、判定できません。

　$~\ell=1~$の場合も含め、実際に例を挙げていきます。

例１

　$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+1}{2n+3} \right)^n~$の収束性を判定する。

　$~a_n=\displaystyle \left( \frac{n+1}{2n+3} \right)^n~$として、コーシーの収束判定法を使うと、
\begin{align}
\ell&=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n+1}{2n+3} \right)^n} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{2n+3} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}} \\
\\
&=\frac{1}{2}~~( < 1 ) \end{align} となるため、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{n+1}{2n+3} \right)^n~$は収束する。

　ちなみに、Excelでこの級数を計算し、$~\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k~$を縦軸、$~n~$を横軸とすると、

となり、$~n=20~$の時点で$~0.755576~$となりました。

例２

　$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}~$の収束性を判定する。

　$~a_n=\displaystyle \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}~$として、コーシーの収束判定法を使うと、
\begin{align}
\ell&=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n^2 \cdot \frac{1}{n}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \\
\\
&=e~~( > 1 )
\end{align}
となるため、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}~$は発散する。

　Excelで発散の様子をグラフにしてみました。

$~n=10~$あたりから爆発的に大きくなっています。

例３

　$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\log{n}}}~$の収束性を判定する。

　$~a_n=\displaystyle \frac{1}{n^{\log{n}}}~$として、コーシーの収束判定法を使うと、
\begin{align}
\ell&=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n^{\log{n}}}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n^{-\log{n}}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}n^{-\frac{\log{n}}{n}} \\
\end{align}
となる。
　ここで、指数に注目すると、発散の速さから
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}\frac{\log{n}}{n}=0
\end{equation}
であるため、
\begin{equation}
\ell=1
\end{equation}
となり、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\log{n}}}~$が収束するかどうかは判定できない。

　この級数は、十分大きな$~n~$で、$~\log{n} > 2~$であることを利用すると、
\begin{align}
n^{\log{n}} &< n^2 \\ \frac{1}{n^{\log{n}}} &> \frac{1}{n^2} \\
\end{align}
となるため、「ダランベールの収束判定法」より$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}~$が収束することから、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\log{n}}}~$も収束します。

　実際、グラフにしてみると約$~2.238~$に収束します。

例４

　$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}~$の収束性を判定する。

　$~a_n=\displaystyle \frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}~$として、コーシーの収束判定法を使うと、
\begin{align}
\ell&=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(n+1)^n}{n^n \cdot n}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}\cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{1}\cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} \\
\\
&=1\cdot 1 \\
\\
&=1
\end{align}
となるため、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}~$が収束するかどうかは判定できない。

　この級数については、
\begin{align}
a_n-\frac{1}{n}&=\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}-\frac{1}{n} \\
\\
&=\frac{(n+1)^n-n^n}{n^{n+1}}
\end{align}
を考えることで、$~(n+1)^n-n^n > 0~$であるため、
\begin{align}
a_n-\frac{1}{n} &> 0 \\
\\
a_n &> \frac{1}{n}
\end{align}
とわかります。
　「ダランベールの収束判定法」によって、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}~$が発散することから、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~$も発散することがわかります。

　実際の発散の様子は以下の通りです。

　非常に緩やかですが発散します。
　$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}~$と比べることで、自分を納得させましょう。（笑）

　例３、例４からもわかる通り、$~\ell=1~$のときは、収束することもあれば、発散することもあり、判定を行うことができません。

Ⅱ　証明

　コーシーの収束判定法の証明は、「ダランベールの収束判定法」の証明と同じ流れで行えます。

証明

\begin{equation}
\ell=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n} < 1 \end{equation} を言い換えると、ある自然数$~N~$が存在して、$~n \ge N~$となるすべての自然数$~n~$について、 \begin{equation} 0 < \sqrt[n]{a_n} < 1 \end{equation} が成り立つということである。

　ここで、$~0 < \sqrt[n]{a_n} < k < 1~$となるような$~k~$をとれば、 \begin{equation} 0 < a_n < k^n < 1 \end{equation} であり、$~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty} k^n~$は収束するため、$~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}a_n~$も収束する。

　よって、
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\underbrace{\sum_{n=1}^{N-1}a_n}_{定数}+\sum_{n=N}^{\infty}a_n
\end{equation}
は収束する。$~~~\blacksquare~$

　また、$~\displaystyle \ell=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n} > 1~$も同様に考え、
\begin{equation}
a_n > 1
\end{equation}
となり、$~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty} 1~$は発散するため、$~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}a_n~$も発散する。
　よって、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~$も発散する。$~~~\blacksquare~$