コーシーの収束判定法
Ⅰ コーシーの収束判定法と例
19世紀、オーギュスタン・ルイ・コーシー（Augustin Louis Cauchy）が発見した、級数が収束するかどうかを判定するための方法を、「コーシーの収束判定法」と言います。
まずは、判定法の内容を見てみましょう。
正項級数（すべての\(~n~\)に対し、\(~a_n \ge 0~\)となる級数）\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~\)において、
\begin{equation}
\ell=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}
\end{equation}
としたとき、この級数の収束性は次のように判断できる。
\begin{cases}
0 \le \ell < 1 &のとき、\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~は収束する。 \\
1 < \ell &のとき、\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~は発散する。 \\
\end{cases}
「ダランベールの収束判定法」と同様、\(~\ell=1~\)のときは、収束することもあれば発散することもあるため、判定できません。
\(~\ell=1~\)の場合も含め、実際に例を挙げていきます。
\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+1}{2n+3} \right)^n~\)の収束性を判定する。
\(~a_n=\displaystyle \left( \frac{n+1}{2n+3} \right)^n~\)として、コーシーの収束判定法を使うと、
\begin{align}
\ell&=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n+1}{2n+3} \right)^n} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{2n+3} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}} \\
\\
&=\frac{1}{2}~~( < 1 )
\end{align}
となるため、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{n+1}{2n+3} \right)^n~\)は収束する。
ちなみに、Excelでこの級数を計算し、\(~\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k~\)を縦軸、\(~n~\)を横軸とすると、
となり、\(~n=20~\)の時点で\(~0.755576~\)となりました。
\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}~\)の収束性を判定する。
\(~a_n=\displaystyle \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}~\)として、コーシーの収束判定法を使うと、
\begin{align}
\ell&=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n^2 \cdot \frac{1}{n}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \\
\\
&=e~~( > 1 )
\end{align}
となるため、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}~\)は発散する。
Excelで発散の様子をグラフにしてみました。
\(~n=10~\)あたりから爆発的に大きくなっています。
\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\log{n}}}~\)の収束性を判定する。
\(~a_n=\displaystyle \frac{1}{n^{\log{n}}}~\)として、コーシーの収束判定法を使うと、
\begin{align}
\ell&=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n^{\log{n}}}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n^{-\log{n}}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}n^{-\frac{\log{n}}{n}} \\
\end{align}
となる。
ここで、指数に注目すると、発散の速さから
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}\frac{\log{n}}{n}=0
\end{equation}
であるため、
\begin{equation}
\ell=1
\end{equation}
となり、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\log{n}}}~\)が収束するかどうかは判定できない。
この級数は、十分大きな\(~n~\)で、\(~\log{n} > 2~\)であることを利用すると、
\begin{align}
n^{\log{n}} &< n^2 \\
\frac{1}{n^{\log{n}}} &> \frac{1}{n^2} \\
\end{align}
となるため、「ダランベールの収束判定法」より\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}~\)が収束することから、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\log{n}}}~\)も収束します。
実際、グラフにしてみると約\(~2.238~\)に収束します。
\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}~\)の収束性を判定する。
\(~a_n=\displaystyle \frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}~\)として、コーシーの収束判定法を使うと、
\begin{align}
\ell&=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(n+1)^n}{n^n \cdot n}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}\cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{1}\cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} \\
\\
&=1\cdot 1 \\
\\
&=1
\end{align}
となるため、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}~\)が収束するかどうかは判定できない。
この級数については、
\begin{align}
a_n-\frac{1}{n}&=\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}-\frac{1}{n} \\
\\
&=\frac{(n+1)^n-n^n}{n^{n+1}}
\end{align}
を考えることで、\(~(n+1)^n-n^n > 0~\)であるため、
\begin{align}
a_n-\frac{1}{n} &> 0 \\
\\
a_n &> \frac{1}{n}
\end{align}
とわかります。
「ダランベールの収束判定法」によって、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}~\)が発散することから、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~\)も発散することがわかります。
実際の発散の様子は以下の通りです。
非常に緩やかですが発散します。
\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}~\)と比べることで、自分を納得させましょう。（笑）
例３、例４からもわかる通り、\(~\ell=1~\)のときは、収束することもあれば、発散することもあり、判定を行うことができません。
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Ⅱ 証明
コーシーの収束判定法の証明は、「ダランベールの収束判定法」の証明と同じ流れで行えます。
\begin{equation}
\ell=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n} < 1
\end{equation}
を言い換えると、ある自然数\(~N~\)が存在して、\(~n \ge N~\)となるすべての自然数\(~n~\)について、
\begin{equation}
0 < \sqrt[n]{a_n} < 1
\end{equation}
が成り立つということである。
ここで、\(~0 < \sqrt[n]{a_n} < k < 1~\)となるような\(~k~\)をとれば、
\begin{equation}
0 < a_n < k^n < 1
\end{equation}
であり、\(~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty} k^n~\)は収束するため、\(~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}a_n~\)も収束する。
よって、
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\underbrace{\sum_{n=1}^{N-1}a_n}_{定数}+\sum_{n=N}^{\infty}a_n
\end{equation}
は収束する。\(~~~\blacksquare~\)
また、\(~\displaystyle \ell=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n} > 1~\)も同様に考え、
\begin{equation}
a_n > 1
\end{equation}
となり、\(~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty} 1~\)は発散するため、\(~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}a_n~\)も発散する。
よって、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~\)も発散する。\(~~~\blacksquare~\)
◇参考文献等
・杉浦光夫・清水英男・金子晃・岡本和夫（2014）『基礎数学７ 解析演習』,pp.51-55,東京大学出版会.
・「数学ノート」,＜https://math-note.com/dalembert-ratio-test/＞ 2020年11月8日アクセス