コーシーの収束判定法（コーシーの冪根判定法）

　無限級数$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~$の値を調べるときには、まずその級数が収束するか発散するかの判定をしなければなりません。

　部分和$~S_n~$を求めて、$~\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n~$を計算する方法が一般的ですが、収束するかどうかの判定だけであれば専用の方法でも可能です。

　今回はその収束判定法の１つである「コーシーの収束判定法（冪根判定法）」について、内容と証明を解説します！

　４つの使用例や実際の和の挙動から、コーシーの収束判定法のわかりやすく説明しています。

コーシーの収束判定法の内容と例

　「コーシーの収束判定法」は、19世紀のフランスの数学者オーギュスタン・ルイ・コーシー（Augustin Louis Cauchy , 1789〜1857）が1821年の『解析学教程』で発表した、級数が収束するかどうかを判定するための方法です。

　収束判定法といえばダランベールの収束判定法も有名ですが、ダランベールとコーシーはどちらも18世紀生まれのフランスの数学者です。

　ただ、ダランベールはフランス革命前の17世紀後半に、コーシーはフランス革命後の18世紀前半に活躍しており、２人に直接的な接点はありません。

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コーシーの判定法の内容

　コーシーの判定法では、次のように$~n~$乗根を利用します。

\ell=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}

\begin{cases}0 \le \ell < 1 &のとき、\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~は収束する。 \\ 1 < \ell &のとき、\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~は発散する。 \\ \end{cases}

　$~n~$乗根を利用することから、「コーシーの冪根判定法」と呼ばれることもあります。

　「ダランベールの収束判定法」と同様、$~\ell=1~$のときは、収束することもあれば発散することもあるため、判定できません。

コーシーの判定法の例１

　まずは、$~\ell < 1~$となるときの例です。

\begin{align*}\ell&=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n+1}{2n+3} \right)^n} \\ \\&=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{2n+3} \\ \\&=\lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}} \\ \\ &=\frac{1}{2}~~( < 1 ) \end{align*}

　ちなみに、Excelでこの級数を計算し、$~\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k~$を縦軸、$~n~$を横軸とすると、

となり、$~n=20~$の時点で$~0.755576~$となりました。

コーシーの判定法の例2

　次に、$~\ell > 1~$となるときの例です。

\begin{align*}\ell&=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}} \\ \\ &=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n^2 \cdot \frac{1}{n}} \\ \\ &=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \\ \\ &=e~~( > 1 ) \end{align*}

　Excelで発散の様子をグラフにしてみました。

$~n=10~$あたりから爆発的に大きくなっています。

コーシーの判定法の例3

　　$~\ell = 1~$となってしまう場合の例です。

\begin{align*}\ell&=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n^{\log{n}}}} \\\\&=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n^{-\log{n}}} \\\\&=\lim_{n \to \infty}n^{-\frac{\log{n}}{n}} \\ \end{align*}

\lim_{n \to \infty}\frac{\log{n}}{n}=0

\ell=1

　この級数は、十分大きな$~n~$で、$~\log{n} > 2~$であることを利用すると、

\begin{align*}
n^{\log{n}} &> n^2 \\ \\ 
\frac{1}{n^{\log{n}}} &< \frac{1}{n^2} 
\end{align*}

となるため、ダランベールの収束判定法より$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}~$が収束することから、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\log{n}}}~$も収束します。
 
　実際、グラフにしてみると約$~2.238~$に収束します。

コーシーの判定法の例4

　最後も、$~\ell = 1~$となるときの例です。

\begin{align*}\ell&=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}} \\ \\&=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(n+1)^n}{n^n \cdot n}} \\ \\ &=\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}\cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} \\ \\ &=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{1}\cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} \\ \\ &=1\cdot 1 \\ \\ &=1 \end{align*}

　この級数については、

\begin{align*}
a_n-\frac{1}{n}&=\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}-\frac{1}{n} \\
\\
&=\frac{(n+1)^n-n^n}{n^{n+1}}
\end{align*}

を考えることで、$~(n+1)^n-n^n > 0~$であるため、

\begin{align*} a_n-\frac{1}{n} &> 0 \\ a_n &> \frac{1}{n} \end{align*}

となります。

　ここで、ダランベールの収束判定法によって、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}~$が発散することから、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~$も発散することがわかります。

　実際の発散の様子は、以下の青い曲線の通りです。

　非常に緩やかですが発散します。
　比較として描いたのが、先ほども使用した調和級数$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}~$（オレンジの曲線）です。
 
　例３、例４からもわかる通り、$~\ell=1~$のときは、収束することもあれば発散することもあり、判定を行うことができません。

コーシーの収束判定法の証明

　コーシーの収束判定法の証明は、「ダランベールの収束判定法」の証明と同じ流れで行うことができます。

\ell=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n} < 1

0 < \sqrt[n]{a_n} < 1

0 < a_n < k^n < 1 

\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\underbrace{\sum_{n=1}^{N-1}a_n}_{定数}+\sum_{n=N}^{\infty}a_n

a_n > 1

　級数の収束や発散を調べるうえでは、比較することの大切さを感じさせてくれる証明方法でした。

まとめ

　この記事では、フランスの数学者コーシーが発見した級数の収束判定法について解説してきました。

• $~\ell=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}~$とおき、$~\ell < 1~$なら級数は収束、$~\ell > 1~$なら級数は発散する。
• $~\ell = 1~$なら級数が収束するかが発散するかが判定できないため、別の方法で考える必要がある。
• $~r=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}~$とおくダランベールの収束判定法と似た使い方であり、同様の方法で証明できる。

　$~a_n~$の$~n~$乗根をとる分、限られた級数でしか使えなさそう・・・

ダランベールとの使い分けが必要だね。