ダランベールの収束判定法

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級数が収束するかどうかを計算から判定することができる方法です。いくつかの例はもちろん、なぜこの方法で判定できるのかを証明してみましょう。

Ⅰ ダランベールの収束判定法

 18世紀、ジャン・ル・ロン・ダランベール(Jean Le Rond D’Alembert)が発表した、級数が収束するかどうかを判定するための方法を、「ダランベールの収束判定法」と言います。
 
 まずは、どういったものなのかを見てみましょう。

ダランベールの収束判定法

 正項級数(すべての\(~n~\)に対し、\(~a_n \ge 0~\)となる級数)\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~\)において、
\begin{equation}
r=\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
\end{equation}
としたとき、この級数の収束性は次のように判断できる。
\begin{cases}
0 \le r < 1 &のとき、\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~は収束する。 \\ 1 < r &のとき、\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~は発散する。 \\ \end{cases}

 \(~r=1~\)のときは、収束することもあれば発散することもあるため、ダランベールの収束判定法では判定できないので注意しましょう。(「コーシーの収束判定法」も同様ですが・・・)
 
 \(~r=1~\)の場合も含め、実際に例を挙げていきます。

例1

 \(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{n!}~\)の収束性を判定する。
 
 \(~a_n=\displaystyle \frac{n^3}{n!}~\)として、ダランベールの収束判定法を使うと、
\begin{align}
r&=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(n+1)^3}{(n+1)!}}{\frac{n^3}{n!}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^3\cdot n!}{n^3 \cdot (n+1)!} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\left( \frac{n+1}{n} \right)^3 \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^3 \cdot \frac{1}{n+1} \\
\\
&=\left( 1+0 \right)^3 \cdot 0 \\
\\
&=0~~( < 1 ) \end{align} となるため、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{n!}~\)は収束する。

 ちなみに、この級数を計算すると、
\begin{equation}
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{n!}=5e
\end{equation}
となります。

例2

 \(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}~\)の収束性を判定する。
 
 \(~a_n=\displaystyle \frac{n^n}{n!}~\)として、ダランベールの収束判定法を使うと、
\begin{align}
r&=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{n+1}\cdot n!}{n^n \cdot (n+1)!} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\cdot \frac{n!}{(n+1)!} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)\cdot (n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{1}{n+1} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\left( \frac{n+1}{n} \right)^n \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \\
\\
&=e~~( > 1 )
\end{align}
となるため、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}~\)は発散する。

 当然ですが、正項級数であるため、正の無限大(\(~+\infty~\))に発散します。

例3

 \(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}~\)の収束性を判定する。
 
 \(~a_n=\displaystyle \frac{1}{n}~\)として、ダランベールの収束判定法を使うと、
\begin{align}
r&=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \\
\\
&=1
\end{align}
となるため、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}~\)が収束するかどうかは判定できない。

 この級数は、調和級数といい、正の無限大に発散することが知られています。

例4

 \(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}~\)の収束性を判定する。
 
 \(~a_n=\displaystyle \frac{1}{n^2}~\)として、ダランベールの収束判定法を使うと、
\begin{align}
r&=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 \\
\\
&=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \right)^2 \\
\\
&=1^2 \\
\\
&=1
\end{align}
となるため、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}~\)が収束するかどうかは判定できない。

 この級数は、バーゼル問題として有名で、
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
\end{equation}
に収束することが知られています。
 
 例3例4からもわかる通り、\(~r=1~\)のときは、収束することもあれば、発散することもあり、判定を行うことができません。


Ⅱ 収束判定できる理由

 なぜ、この方法で\(~r < 1~\)なら収束すると言えるのでしょうか?
 式の意味から考えてみましょう。

直感的な説明

 \(~n \to \infty~\)を後で考えることにする。
 
 \(~\displaystyle r=\frac{a_{n+1}}{a_n}~\)より、\(~a_{n+1}=a_n\cdot r~\)
 
 この漸化式より、\(a_n=a_1 \cdot r^{n-1}~\)という初項\(~a_1~\)、公比\(~r~\)の等比数列を考えていることになる。
 
 この等比数列の和は、
\begin{equation}
S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k= \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}
\end{equation}
であり、\(~|r| < 1~\)のときに、\(~r^n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0~\)となるため、
\begin{align}
\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_k&= \frac{a_1(1-0)}{1-r} \\
\\
\sum_{n=1}^{\infty}a_n&=\frac{a_1}{1-r}
\end{align}
と収束する。
 
 よって、\(~ n \to \infty~\)における公比\(~\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=r~\)が、
\(~|r| < 1~\)(正項級数なら\(~0 \le r < 1~\))を満たすとき、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~\)は収束し、
\(~|r| > 1~\)(正項級数なら\(~1 < r~\))を満たすとき、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~\)は発散する。

 \(~n \to \infty~\)としたときの公比から考えているので、厳密な証明とは言い難いですが、ダランベールの主張を掴むためには十分な説明ではないかと思います。


Ⅲ 証明

 多少難解にはなりますが、厳密に証明していきます。

厳密な証明

\begin{equation}
r=\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 \end{equation} を言い換えると、ある自然数\(~N~\)が存在して、\(~n \ge N~\)となるすべての自然数\(~n~\)について、 \begin{equation} 0 < \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 \end{equation} が成り立つということである。
 
 ここで、\(~0 < \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} < k < 1~\)となるような\(~k~\)をとれば、 \begin{equation} a_{n+1} < ka_n \end{equation} であり、この関係式を繰り返し使うと、 \begin{equation} a_n < ka_{n-1} < k^2a_{n-2} < \cdots < k^{n-N}a_N \end{equation} となるため、 \begin{equation} \sum_{n=N}^{\infty}a_n < a_N \sum_{n=N}^{\infty}k^{n-N} \end{equation} である。
 
 \(~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}k^{n-N}~\)は、\(~0 < k < 1~\)より収束するため、\(~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}a_n~\)も収束する。
 よって、
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\underbrace{\sum_{n=1}^{N-1}a_n}_{定数}+\sum_{n=N}^{\infty}a_n
\end{equation}
は収束する。\(~~\blacksquare~\)
 
 また、\(~r=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1~\)も同様に考え、
\begin{equation}
\frac{a_{n+1}}{a_n} > k > 1
\end{equation}
から、
\begin{equation}
a_n > k^{n-N}a_N
\end{equation}
と表せ、\(~n \to \infty~\)のときに\(~k^{n-N} \to \infty~\)となるため、\(~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty} a_n~\)は発散する。
 よって、\(~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~\)も発散する。\(~~~\blacksquare~\)

 同じ方法で、「コーシーの収束判定法」の証明もでき、そちらのほうが簡単です。


ダランベールの判定法便利だね。
ふくすけ汗
\(~r=1~\)の時だけは個別審議が必要だけど、素早く収束するかどうかがわかるところがいいよね。

◇参考文献等
・杉浦光夫・清水英男・金子晃・岡本和夫(2014)『基礎数学7 解析演習』,pp.51-55,東京大学出版会.