Ⅰ ダランベールの収束判定法
18世紀、ジャン・ル・ロン・ダランベール（Jean Le Rond D’Alembert）が発表した、級数が収束するかどうかを判定するための方法を、「ダランベールの収束判定法」と言います。
まずは、どういったものなのかを見てみましょう。
正項級数（すべての$~n~$に対し、$~a_n \ge 0~$となる級数）$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~$において、
\begin{equation}
r=\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
\end{equation}
としたとき、この級数の収束性は次のように判断できる。
\begin{cases}
0 \le r < 1 &のとき、\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~は収束する。 \\
1 < r &のとき、\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~は発散する。 \\
\end{cases}
$~r=1~$のときは、収束することもあれば発散することもあるため、ダランベールの収束判定法では判定できないので注意しましょう。（「コーシーの収束判定法」も同様ですが・・・）
$~r=1~$の場合も含め、実際に例を挙げていきます。
$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{n!}~$の収束性を判定する。
$~a_n=\displaystyle \frac{n^3}{n!}~$として、ダランベールの収束判定法を使うと、
\begin{align}
r&=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(n+1)^3}{(n+1)!}}{\frac{n^3}{n!}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^3\cdot n!}{n^3 \cdot (n+1)!} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\left( \frac{n+1}{n} \right)^3 \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^3 \cdot \frac{1}{n+1} \\
\\
&=\left( 1+0 \right)^3 \cdot 0 \\
\\
&=0~~( < 1 )
\end{align}
となるため、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{n!}~$は収束する。
ちなみに、この級数を計算すると、
\begin{equation}
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{n!}=5e
\end{equation}
となります。
$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}~$の収束性を判定する。
$~a_n=\displaystyle \frac{n^n}{n!}~$として、ダランベールの収束判定法を使うと、
\begin{align}
r&=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{n+1}\cdot n!}{n^n \cdot (n+1)!} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\cdot \frac{n!}{(n+1)!} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)\cdot (n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{1}{n+1} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\left( \frac{n+1}{n} \right)^n \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \\
\\
&=e~~( > 1 )
\end{align}
となるため、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}~$は発散する。
当然ですが、正項級数であるため、正の無限大（$~+\infty~$）に発散します。
$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}~$の収束性を判定する。
$~a_n=\displaystyle \frac{1}{n}~$として、ダランベールの収束判定法を使うと、
\begin{align}
r&=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \\
\\
&=1
\end{align}
となるため、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}~$が収束するかどうかは判定できない。
この級数は、調和級数といい、正の無限大に発散することが知られています。
$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}~$の収束性を判定する。
$~a_n=\displaystyle \frac{1}{n^2}~$として、ダランベールの収束判定法を使うと、
\begin{align}
r&=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} \\
\\
&=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 \\
\\
&=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \right)^2 \\
\\
&=1^2 \\
\\
&=1
\end{align}
となるため、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}~$が収束するかどうかは判定できない。
この級数は、バーゼル問題として有名で、
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
\end{equation}
に収束することが知られています。
例３、例４からもわかる通り、$~r=1~$のときは、収束することもあれば、発散することもあり、判定を行うことができません。
Ⅱ 収束判定できる理由
なぜ、この方法で$~r < 1~$なら収束すると言えるのでしょうか？
式の意味から考えてみましょう。
$~n \to \infty~$を後で考えることにする。
$~\displaystyle r=\frac{a_{n+1}}{a_n}~$より、$~a_{n+1}=a_n\cdot r~$
この漸化式より、$a_n=a_1 \cdot r^{n-1}~$という初項$~a_1~$、公比$~r~$の等比数列を考えていることになる。
この等比数列の和は、
\begin{equation}
S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k= \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}
\end{equation}
であり、$~|r| < 1~$のときに、$~r^n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0~$となるため、
\begin{align}
\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_k&= \frac{a_1(1-0)}{1-r} \\
\\
\sum_{n=1}^{\infty}a_n&=\frac{a_1}{1-r}
\end{align}
と収束する。
よって、$~ n \to \infty~$における公比$~\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=r~$が、
$~|r| < 1~$（正項級数なら$~0 \le r < 1~$）を満たすとき、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~$は収束し、
$~|r| > 1~$（正項級数なら$~1 < r~$）を満たすとき、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~$は発散する。
$~n \to \infty~$としたときの公比から考えているので、厳密な証明とは言い難いですが、ダランベールの主張を掴むためには十分な説明ではないかと思います。
Ⅲ 証明
多少難解にはなりますが、厳密に証明していきます。
\begin{equation}
r=\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1
\end{equation}
を言い換えると、ある自然数$~N~$が存在して、$~n \ge N~$となるすべての自然数$~n~$について、
\begin{equation}
0 < \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1
\end{equation}
が成り立つということである。
ここで、$~0 < \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} < k < 1~$となるような$~k~$をとれば、
\begin{equation}
a_{n+1} < ka_n
\end{equation}
であり、この関係式を繰り返し使うと、
\begin{equation}
a_n < ka_{n-1} < k^2a_{n-2} < \cdots < k^{n-N}a_N
\end{equation}
となるため、
\begin{equation}
\sum_{n=N}^{\infty}a_n < a_N \sum_{n=N}^{\infty}k^{n-N}
\end{equation}
である。
$~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}k^{n-N}~$は、$~0 < k < 1~$より収束するため、$~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}a_n~$も収束する。
よって、
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\underbrace{\sum_{n=1}^{N-1}a_n}_{定数}+\sum_{n=N}^{\infty}a_n
\end{equation}
は収束する。$~~\blacksquare~$
また、$~r=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1~$も同様に考え、
\begin{equation}
\frac{a_{n+1}}{a_n} > k > 1
\end{equation}
から、
\begin{equation}
a_n > k^{n-N}a_N
\end{equation}
と表せ、$~n \to \infty~$のときに$~k^{n-N} \to \infty~$となるため、$~\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty} a_n~$は発散する。
よって、$~\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n~$も発散する。$~~~\blacksquare~$
同じ方法で、「コーシーの収束判定法」の証明もでき、そちらのほうが簡単です。
◇参考文献等
・杉浦光夫・清水英男・金子晃・岡本和夫（2014）『基礎数学７ 解析演習』,pp.51-55,東京大学出版会.
コメント
コメント一覧 （6件）
Fukuさま
ご回答拝見して、私の疑問を汲んでくださっていることがよくわかりました。
実は、そのアイデアについて私も考えておりました。
ところが、例えば、
k(n)=1-1/n
のようにとった場合、max[k(n)]が存在しません。
したがって、これは元の級数が、「max[k(n)]を定義することができるkの選び方」が可能であるか？
という問題に帰着し、あまり進展がないように思ったのです。いかがお考えでしょうか？
しつこく、何度もすみません。決して急ぎではありませんが、どうぞよろしくお願いいたします。
rad様
コメントありがとうございます。
確かに、k(n)の取り方によっては、上から押さえつける方法も通用しなさそうですね。
『基礎数学７ 解析演習』という本のpp51-52に記載されていた証明を、\(~\epsilon~\)を避けつつ、できるだけ噛み砕いて説明したつもりでしたが、
その中で厳密性を欠いてしまったようです。
時間のある時に再考し、記事のリライトをしていきたいと思います。
貴重なご指摘ありがとうございました。
記事の質を上げるべく今後も努力していきたいと思います。
Fukuさま、ご回答ありがとうございます。
自分の疑問点を完全に数学的な言葉で表現することができないのですが、私の気になる点は以下のような点です。ご容赦ください。
特定のnについて、であれば回答にいただいた考え方でkを選ぶことができるのは理解しました。
この関係式をa(n)からa(N)に至るまでの有限な回数使うまでは問題ないと思います。
ここから、N以上の自然数全てで和をとる際に、問題が起きないか？と思っています。
すなわち、最初に選択したkはnとNの選び方に依存していいはずで、k(n,N)となっているのではないか？
有限な範囲で仮定した関係式は、そのまま無限の範囲まで拡張できるのはなぜか？
といった点なのです。うまく伝わっておりますでしょうか？
rad様
コメントありがとうございます。
自分で再度説明することが難しいのですが、なんとなく疑問点が伝わってきました。
\(~k~\)の選び方に違いが出てしまうということですが、もし確実に論を運ぶのであれば、
\(~\displaystyle \max_{n \ge N}k(n,N)=k’ < 1~\)で上から抑えてしまえば問題は起きないかと思います。
この回答でいかがでしょうか？
初めまして。数学を独学しているものです。今回、この記事を参考にさせていただきました。ありがとうございます。
一点質問です。判定法のⅢ厳密な証明において、N以上の任意のnについて、a(n+1)/a(n) < k <1なるkが存在することの根拠はどのように理解したらよいでしょうか？
コメント＆質問ありがとうございます。
質問の内容ですが、実数の稠密性ということで良いのではないかと思います。
\(~a < b~\)である実数\(~a~,~b~\)に対し、\(~a < q < b~\)を満たす有理数\(~q~\)が存在する。
これにより、\(~\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}~\)と\(~1~\)の間に\(~k~\)が存在することが言えます。
以上の回答でいかがでしょうか？