コラッツの予想

大学・一般数学関数・グラフ大学・一般数学

コラッツの予想とは、単純な定義の計算を繰り返すとどんな自然数も1にたどり着くというもので、未解決問題の1つです。このページでは、その予想の紹介と、javascriptで実際に計算してみます。
①コラッツ予想とは
②コラッツ予想を確かめてみる



目次
  • 1. ①コラッツ予想とは
  • 2. ②コラッツ予想を確かめてみる

①コラッツ予想とは

コラッツ予想とは、ドイツの数学者 Lothar Collatz が1937年に公表した予想です。彼の友人ハッセが1950年にこの予想をアメリカのシラキューズ大学で広めたことをきっかけに、多くの数学者が興味を持つようになりました。
別名「\(3n+1\)問題」「ウラムの問題」「シラキューズの問題」「角谷の問題」等と呼ばれています。
 
では、どのような予想なのでしょうか。本題に入っていきます。

コラッツ予想

自然数 \(~n~\) に対して、関数 \(~f(n)~\) を次のように定義する。

\(~f(n)=\begin{cases}
3n+1 &(nが奇数のとき) ・・・(\bullet) \\
\\
\displaystyle \frac{n}{2} &(nが偶数のとき)・・・(\star)
\end{cases}
\)
この \(~f(n)~\) を繰り返していくことで、どんな自然数 \(~n~\) を最初に選んだとしても、1にたどり着く。

関数自体は簡単ですね。少し例を見てみましょう。

・5の場合、
\(~5\xrightarrow[(\bullet)]{}16\xrightarrow[(\star)]{}8\xrightarrow[(\star)]{}4\xrightarrow[(\star)]{}2\xrightarrow[(\star)]{}1 ~\)
 
・14の場合、

\(~14\xrightarrow[(\star)]{}7\xrightarrow[(\bullet)]{}22\xrightarrow[(\star)]{}11\xrightarrow[(\bullet)]{}34\xrightarrow[(\star)]{}17\xrightarrow[(\bullet)]{}52\xrightarrow[(\star)]{}26\xrightarrow[(\star)]{}13\xrightarrow[(\bullet)]{}40\)


\(~14\xrightarrow[(\star)]{}7\xrightarrow[(\bullet)]{}22\xrightarrow[(\star)]{}11\xrightarrow[(\bullet)]{}34\xrightarrow[(\star)]{}17 \)
\(~\)
\( \xrightarrow[(\bullet)]{}52\xrightarrow[(\star)]{}26\xrightarrow[(\star)]{}13\xrightarrow[(\bullet)]{}40\)


\( \xrightarrow[(\star)]{}20\xrightarrow[(\star)]{}10\xrightarrow[(\star)]{}5\xrightarrow[(\bullet)]{}16\xrightarrow[(\star)]{}8\xrightarrow[(\star)]{}4\xrightarrow[(\star)]{}2\xrightarrow[(\star)]{}1 ~\)


\( \xrightarrow[(\star)]{}20\xrightarrow[(\star)]{}10\xrightarrow[(\star)]{}5\xrightarrow[(\bullet)]{}16\xrightarrow[(\star)]{}8 \)
\(~\)
\( \xrightarrow[(\star)]{}4\xrightarrow[(\star)]{}2\xrightarrow[(\star)]{}1 ~\)

確かに1にたどり着いていますね。
現在、約\( 5.48 \times 10^{18} ~\) までの自然数で確かめられています。


②コラッツ予想を確かめてみる

\( 5.48 \times 10^{18} ~\) とまではいきませんが、ある程度大きい自然数がコラッツ予想を満たすかどうかをプログラムで確かめてみましょう。


~計算結果~


関数自体はとても単純。内容も単純。しかし、証明はできない。フェルマーの最終定理のようなロマンがここには詰まっていますね。エレガントな証明が出てくることを望みます。

   
 
 


☆参考文献等
・Bertrand Hauchecorne , Daniel Suratteau(2015)『世界数学者事典』,pp.176-177,熊原啓作訳,日本評論社.