三角形の辺と角の大小

　 $~AB > AC~$ の $~\triangle ABC~$ において、 $~\angle C > \angle B~$ を示す。

　まず、 $~AD=AC~$ となる点 $~D~$ を辺 $~AB~$ 上にとる。

　このとき、外角の性質から
\begin{equation}
\angle ADC=\angle B + \angle BCD
\end{equation}
であるため、
\begin{equation}
\angle ADC > \angle B \cdots\cdots①
\end{equation}

　また、 $~\triangle ADC~$ は二等辺三角形となるので、
\begin{equation}
\angle ADC=\angle ACD \cdots\cdots②
\end{equation}
であり、①と②より、
\begin{equation}
\angle ACD > \angle B \cdots\cdots③
\end{equation}
がわかる。

　角の位置関係より、
\begin{equation}
\angle C > \angle ACD \cdots\cdots④
\end{equation}
であるため、③と④より、
\begin{equation}
\angle C > \angle B
\end{equation}
が示された。 $~\blacksquare~$

　 $~\angle C > \angle B~$ の $~\triangle ABC~$ において、 $~AB > AC~$ を示す。
 
　まず、 $~\angle ACD = \angle B~$ となる点 $~D~$ を辺 $~AB~$ 上にとる。
　さらに、、 $~\angle DCB~$ の二等分線と辺 $~AB~$ の交点を $~E~$ とする。

　このとき、外角の性質から
\begin{equation}
\angle AEC=\angle B + \angle ECB \cdots\cdots①
\end{equation}
となる。

　①を、仮定によって変形していくと、
\begin{align}
\angle AEC&=\angle ACD + \angle ECD \\
&=\angle ACE
\end{align}
となり、 $~\triangle AEC~$ は二等辺三角形であることがわかるため、
\begin{equation}
AE=AC \cdots\cdots②
\end{equation}
がわかる。また、 $~E~$ の位置関係より、
\begin{equation}
AB > AE \cdots\cdots③
\end{equation}
であり、②と③を合わせて
\begin{equation}
AB > AC
\end{equation}
が示された。 $~\blacksquare~$