三角形の辺と角の大小～正弦定理でも活用？　証明から使用例まで～

　三角形において、大きい辺に対する角は、小さい辺に対する角より大きい。

　$~30^{\circ}~, ~60^{\circ}~ , ~90^{\circ}~$の直角三角形

・大きい辺（$AB=2$）に対する角（$\angle C=90^{\circ}$）は、その辺より小さい辺（$AC=1$）に対する角（$\angle B=30^{\circ}$）より大きい。

AB > AC \Longrightarrow C > B

・大きい辺（$AB=2$）に対する角（$\angle C=90^{\circ}$）は、その辺より小さい辺（$BC=\sqrt{3}$）に対する角（$\angle B=60^{\circ}$）より大きい。

AB > BC \Longrightarrow C > A

　$~AB > AC~$の$~\triangle ABC~$において、$~\angle C > \angle B~$を示す。

　$~AD=AC~$となる点$~D~$を辺$~AB~$上にとる。

　このとき、外角の性質から

\angle ADC=\angle B + \angle BCD

であるため、

\angle ADC > \angle B~~~~\cdots①

とわかる。

　また、$~\triangle ADC~$は二等辺三角形となるので、

\angle ADC=\angle ACD ~~~~\cdots②

であり、$①$と$②$より、

\angle ACD > \angle B ~~~~\cdots③

がわかる。

　角の位置関係より、

\angle C > \angle ACD ~~~~\cdots④

であるため、$③$と$④$より、

\angle C > \angle B

が示された。■

　三角形において、大きい角に対する辺は、小さい角に対する辺より大きい。

　$~45^{\circ}~, ~45^{\circ}~ , ~90^{\circ}~$の直角三角形

・大きい角（$\angle C=90^{\circ}$）に対する辺（$AB=2$）は、その角より小さい角（$\angle B=45^{\circ}$）に対する辺（$AC=1）より大きい。

C > B  \Longrightarrow AB > AC

　$~\angle C > \angle B~$ の $~\triangle ABC~$ において、 $~AB > AC~$ を示す。

　まず、$~\angle ACD = \angle B~$となる点 $~D~$ を辺 $~AB~$ 上にとる。
　さらに、$~\angle DCB~$の二等分線と辺$~AB~$の交点を$~E~$とする。

　このとき、外角の性質から

\angle AEC=\angle B + \angle ECB ~~~~\cdots⑤

となる。

　$⑤$を仮定によって変形していくと、

\begin{align*}
\angle AEC&=\angle ACD + \angle ECD \\
&=\angle ACE
\end{align*}

となり、$~\triangle AEC~$は二等辺三角形であることがわかるため、

AE=AC ~~~~\cdots⑥

がわかる。

　また、$~E~$の位置関係より、

AB > AE~~~~\cdots⑦

であり、$⑥$と$⑦$を合わせて

AB > AC

が示された。■

　$~\triangle ABC~$において、$~a=\sqrt{6}~,~b=\sqrt{3}-1~,~C=45^{\circ}~$のとき、残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。

　まずは、余弦定理によって、$~c~$を求める。

\begin{align*}
c^2&=(\sqrt{6})^2+(\sqrt{3}-1)^2-2\cdot \sqrt{6} \cdot (\sqrt{3}-1) \cdot \cos{45^{\circ}}  \\
&=6+3-2\sqrt{3}+1-2\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}  \\
&=10-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)  \\
&=10-2\sqrt{3}-6+2\sqrt{3}  \\
&=4
\end{align*}

となるので、$~c > 0~$より、$~c=2~$とわかる。

　余弦定理を変形した式より、

\begin{align*}
\cos{A}&=\frac{2^2+(\sqrt{3}-1)^2-(\sqrt{6})^2}{2\cdot 2 \cdot (\sqrt{3}-1)}  \\
\\
&=\frac{4+3-2\sqrt{3}+1-6}{4(\sqrt{3}-1)}  \\
\\
&=\frac{2-2\sqrt{3}}{4(\sqrt{3}-1)}  \\
\\
&=\frac{-2(\sqrt{3}-1)}{4(\sqrt{3}-1)}  \\
\\
&=-\frac{1}{2}  \\
\end{align*}

なので、$~A=120^{\circ}~$。

　よって、$~C=180^{\circ}- 120^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}~$も求まる。

　正弦定理より

\begin{align*}
\frac{2}{\sin{45^{\circ}}}&=\frac{\sqrt{6}}{\sin{A}}  \\
\\
2\sin{A}&=\sqrt{6}\sin{45^{\circ}}  \\
\\
\sin{A}&=\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}  \\
\\
\sin{A}&=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align*}

なので、$~A=60^{\circ}~,~120^{\circ}~$。

　$~A=60^{\circ}~$のとき、

　$~B=75^{\circ}~$となり、$~B > A > C~$である。

　このとき、$~b > a > c~$となる必要があるが、$~b=\sqrt{3}-1~,~a=\sqrt{6}~,~c=2~$で、$~a > c > b~$となっているため不適。

　$~A=120^{\circ}~$のとき、

　$~B=15^{\circ}~$となり、$~A > C > B~$である。

　このとき、$~a > c > b~$となる必要があり、満たしている。

　以上より、$~A=120^{\circ}~$であり、$~B=15^{\circ}~$となる。