三角形の辺と角の大小

数学A平面図形数学A

 すべての三角形において、辺の長さとそれに対する角の大きさの大小関係には関係があります。その関係を例も交えつつ紹介し、証明も行いました。
Ⅰ 辺に対する角の大小
Ⅱ 角に対する辺の大小


目次
  • 1. Ⅰ 辺に対する角の大小
  • 2. Ⅱ 角に対する辺の大小

Ⅰ 辺に対する角の大小

 この記事で紹介するのは、すべての三角形で成り立つ、次のような性質です。

辺に対する角の大小

 三角形において、大きい辺に対する角は、小さい辺に対する角より大きい。

 角の大きさの大小関係は、その角の向かいにある辺の大きさの大小関係と同じであることを示しています。
 
 具体例で確かめてみましょう。

・30°,60°,90°の直角三角形

 大きい辺(\(AB=2\))に対する角(\(\angle C=90°\))は、小さい辺(\(AC=1\))に対する角(\(\angle B=30°\))より大きい。
 

 大きい辺(\(AB=2\))に対する角(\(\angle C=90°\))は、小さい辺(\(BC=\sqrt{3}\))に対する角(\(\angle A=60°\))より大きい。

 要するに、

辺の長さが大きいほど、それに対する角も大きくなる

という、図を考えれば当たり前のようなことを言っています。
 
 ただ、これを証明するとなると手が付きにくいと思われます。
 ということで、頑張って証明してみました。

証明

  \(~AB > AC~\) の \(~\triangle ABC~\) において、 \(~\angle C > \angle B~\) を示す。

 まず、 \(~AD=AC~\) となる点 \(~D~\) を辺 \(~AB~\) 上にとる。

 このとき、外角の性質から
\begin{equation}
\angle ADC=\angle B + \angle BCD
\end{equation}
であるため、
\begin{equation}
\angle ADC > \angle B \cdots\cdots①
\end{equation}

 また、 \(~\triangle ADC~\) は二等辺三角形となるので、
\begin{equation}
\angle ADC=\angle ACD \cdots\cdots②
\end{equation}
であり、①と②より、
\begin{equation}
\angle ACD > \angle B \cdots\cdots③
\end{equation}
がわかる。

 角の位置関係より、
\begin{equation}
\angle C > \angle ACD \cdots\cdots④
\end{equation}
であるため、③と④より、
\begin{equation}
\angle C > \angle B
\end{equation}
が示された。 \(~\blacksquare~\)

 補助線の引き方を知らないと思いつきにくい証明ですね・・・。


Ⅱ 角に対する辺の大小

 先ほどの命題の逆についても、実は成り立つことが知られています。

角に対する辺の大小

 三角形において、大きい角に対する辺は、小さい角に対する辺より大きい。

 今度は、角から辺です。似たような例で確かめてみましょう。

・45°,45°,90°の直角三角形

 大きい角(\(\angle C=90°\))に対する辺(\(AB=\sqrt{2}\))は、小さい角(\(\angle B=45°\))に対する辺(\(AC=1\))より大きい。
 

 大きい辺(\(AB=2\))に対する角(\(\angle C=90°\))は、小さい辺(\(BC=\sqrt{3}\))に対する角(\(\angle A=60°\))より大きい。

 先ほどとほぼ同様ではありますが、

角の大きさが大きいほど、それに対する辺も大きくなる

ということですね。証明も同じような図が登場します。

証明

  \(~\angle C > \angle B~\) の \(~\triangle ABC~\) において、 \(~AB > AC~\) を示す。
 
 まず、 \(~\angle ACD = \angle B~\) となる点 \(~D~\) を辺 \(~AB~\) 上にとる。
 さらに、、 \(~\angle DCB~\) の二等分線と辺 \(~AB~\) の交点を \(~E~\) とする。

 このとき、外角の性質から
\begin{equation}
\angle AEC=\angle B + \angle ECB \cdots\cdots①
\end{equation}
となる。

 ①を、仮定によって変形していくと、
\begin{align}
\angle AEC&=\angle ACD + \angle ECD \\
&=\angle ACE
\end{align}
となり、 \(~\triangle AEC~\) は二等辺三角形であることがわかるため、
\begin{equation}
AE=AC \cdots\cdots②
\end{equation}
がわかる。また、 \(~E~\) の位置関係より、
\begin{equation}
AB > AE \cdots\cdots③
\end{equation}
であり、②と③を合わせて
\begin{equation}
AB > AC
\end{equation}
が示された。 \(~\blacksquare~\)

 これで逆も示されたため、三角形の辺と角の大小には相互の関係があることがわかりました。
 
 ちなみに、逆の証明は「三角不等式」を使うと簡単に証明ができますが、三角不等式を証明するのに今回の命題を使うため、循環論法となってしまいます。気を付けないといけませんね・・・。


 図を書いてみると当たり前の性質ですが、きちんと不等式で証明できるところが感動ポイントです!

 
 
 
 


◇参考文献等
・(2015)『四訂版 体系数学1 幾何編』,pp.128-130,数研出版.

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Posted by Fuku