三角形の辺と角の大小

　 \(~AB > AC~\) の \(~\triangle ABC~\) において、 \(~\angle C > \angle B~\) を示す。

　まず、 \(~AD=AC~\) となる点 \(~D~\) を辺 \(~AB~\) 上にとる。

　このとき、外角の性質から
\begin{equation}
\angle ADC=\angle B + \angle BCD
\end{equation}
であるため、
\begin{equation}
\angle ADC > \angle B \cdots\cdots①
\end{equation}

　また、 \(~\triangle ADC~\) は二等辺三角形となるので、
\begin{equation}
\angle ADC=\angle ACD \cdots\cdots②
\end{equation}
であり、①と②より、
\begin{equation}
\angle ACD > \angle B \cdots\cdots③
\end{equation}
がわかる。

　角の位置関係より、
\begin{equation}
\angle C > \angle ACD \cdots\cdots④
\end{equation}
であるため、③と④より、
\begin{equation}
\angle C > \angle B
\end{equation}
が示された。 \(~\blacksquare~\)

　 \(~\angle C > \angle B~\) の \(~\triangle ABC~\) において、 \(~AB > AC~\) を示す。
 
　まず、 \(~\angle ACD = \angle B~\) となる点 \(~D~\) を辺 \(~AB~\) 上にとる。
　さらに、、 \(~\angle DCB~\) の二等分線と辺 \(~AB~\) の交点を \(~E~\) とする。

　このとき、外角の性質から
\begin{equation}
\angle AEC=\angle B + \angle ECB \cdots\cdots①
\end{equation}
となる。

　①を、仮定によって変形していくと、
\begin{align}
\angle AEC&=\angle ACD + \angle ECD \\
&=\angle ACE
\end{align}
となり、 \(~\triangle AEC~\) は二等辺三角形であることがわかるため、
\begin{equation}
AE=AC \cdots\cdots②
\end{equation}
がわかる。また、 \(~E~\) の位置関係より、
\begin{equation}
AB > AE \cdots\cdots③
\end{equation}
であり、②と③を合わせて
\begin{equation}
AB > AC
\end{equation}
が示された。 \(~\blacksquare~\)