ライプニッツ級数

初項 $~1~$ 、公比 $~-x^2(0 \le x <1)~$ の無限等比級数を考えると、|公比|$<1~$ より、次のような関係式が表せる。 \begin{equation} \displaystyle 1-x^2+x^4-x^6+\cdots=\frac{1}{1-(-x^2)}=\frac{1}{1+x^2} \end{equation} ここで、 $~x:0 \to 1~$ について、両辺積分をとると、 \begin{equation} \displaystyle \int_{0}^{1}( 1-x^2+x^4-x^6+\cdots)dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx ・・（*） \end{equation} であり、左辺と右辺それぞれを計算する。
左辺について計算していくと、
\begin{align}
\displaystyle (左辺)&=\int_{0}^{1}( 1-x^2+x^4-x^6+\cdots)dx \\
\\
&=\left[ x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots \right]_{0}^{1} \\
\\
&=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots
\end{align}
となる。
右辺に関しては、 $~x=\tan{\theta}~$ と置換することで、
$~ x:0 \to 1 ~$ が $~\theta :0 \to \displaystyle \frac{\pi}{4} ~$ となり、 $~ \displaystyle dx=\frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta ~$ となるため、
\begin{align}
\displaystyle (右辺)&=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx \\
\\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{1+\tan^{2}\theta}\cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta \\
\\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^{2}\theta \cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta \\
\\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d \theta \\
\\
&=[\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\
\\
&=\frac{\pi}{4}
\end{align}
と右辺も求まった。
左辺と右辺の計算結果を元の等式$（*）$に代入することで、
\begin{equation}
\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots = \frac{\pi}{4}
\end{equation}
となり、ライプニッツ級数の値が求まった。 $~\blacksquare$

初項 $~1~$ 、公比 $~-x^2(0 \le x <1)~$ の無限等比級数を考えると、|公比|$<1~$ より、次のような関係式が表せる。 \begin{align} &\displaystyle 1-x^2+x^4-x^6+\cdots \\ \\ &=\frac{1}{1-(-x^2)} \\ \\ &=\frac{1}{1+x^2} \end{align} ここで、 $~x:0 \to 1~$ について、両辺積分をとると、 \begin{equation} \displaystyle \int_{0}^{1}( 1-x^2+x^4-\cdots)dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx \end{equation} となる。・・・（＊）   （＊）の左辺と右辺それぞれを計算する。
左辺について計算していくと、
\begin{align}
\displaystyle (左辺)&=\int_{0}^{1}( 1-x^2+x^4-x^6+\cdots)dx \\
\\
&=\left[ x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots \right]_{0}^{1} \\
\\
&=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots
\end{align}
となる。
 
右辺に関しては、 $~x=\tan{\theta}~$ と置換することで、
$~ x:0 \to 1 ~$ が $~\theta :0 \to \displaystyle \frac{\pi}{4} ~$ となり、 $~ \displaystyle dx=\frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta ~$ となるため、
\begin{align}
\displaystyle (右辺)&=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx \\
\\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{1+\tan^{2}\theta}\cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta \\
\\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^{2}\theta \cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta \\
\\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d \theta \\
\\
&=[\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\
\\
&=\frac{\pi}{4}
\end{align}
となる。
 
左辺と右辺の計算結果を元の等式(＊）に代入することで、
\begin{equation}
\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots = \frac{\pi}{4}
\end{equation}
となり、ライプニッツ級数の値が求まった。 $~\blacksquare$