グレゴリー級数

初項 $~1~$ 、公比 $~-t^2(0 \le t <1)~$ の無限等比級数を考えると、|公比|$<1~$ より、次のような関係式が表せる。
\begin{equation}
\displaystyle 1-t^2+t^4-t^6+\cdots=\frac{1}{1-(-t^2)}=\frac{1}{1+t^2}
\end{equation}
ここで、 $~t:0 \to x~$ について、両辺積分をとると、
\begin{equation}
\displaystyle \int_{0}^{x}( 1-t^2+t^4-t^6+\cdots)dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}dt ・・（*）
\end{equation}
であり、左辺と右辺それぞれを計算する。左辺について計算していくと、
\begin{align}
\displaystyle (左辺)&=\int_{0}^{x}( 1-t^2+t^4-t^6+\cdots)dt \\
\\
&=\left[ t-\frac{1}{3}t^3+\frac{1}{5}t^5-\frac{1}{7}t^7+\cdots \right]_{0}^{x} \\
\\
&=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots
\end{align}
となる。右辺に関しては、 $~t=\tan{\theta}~$ と置換することで、
$~ t:0 \to x ~$ が $~\theta :0 \to \tan^{-1}x ~$ となり、 $~ \displaystyle dt=\frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta ~$ となるため、
\begin{align}
\displaystyle (右辺)&=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}dt \\
\\
&=\int_{0}^{\tan^{-1}x}\frac{1}{1+\tan^{2}\theta}\cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta \\
\\
&=\int_{0}^{\tan^{-1}x} \cos^{2}\theta \cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta \\
\\
&=\int_{0}^{\tan^{-1}x}d \theta \\
\\
&=[\theta]_{0}^{\tan^{-1}x} \\
\\
&=\tan^{-1}x
\end{align}
と右辺も求まった。
左辺と右辺の計算結果を元の等式$（*）$に代入することで、
\begin{equation}
\displaystyle x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots=\tan^{-1}x
\end{equation}
となり、グレゴリー級数が示された。 $~\blacksquare$

初項 $~1~$ 、公比 $~-t^2(0 \le t <1)~$ の無限等比級数を考えると、|公比|$<1~$ より、次のような関係式が表せる。
\begin{align}
&\displaystyle 1-t^2+t^4-t^6+\cdots \\
\\
&=\frac{1}{1-(-t^2)} \\
\\
&=\frac{1}{1+t^2}
\end{align}
ここで、 $~t:0 \to x~$ について、両辺積分をとると、
\begin{equation}
\displaystyle \int_{0}^{x}( 1-t^2+t^4-\cdots)dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}dt
\end{equation}
である。・・・・（＊）
（＊）の左辺と右辺それぞれを計算する。
左辺について計算していくと、
\begin{align}
\displaystyle (左辺)&=\int_{0}^{x}( 1-t^2+t^4-t^6+\cdots)dt \\
\\
&=\left[ t-\frac{1}{3}t^3+\frac{1}{5}t^5-\frac{1}{7}t^7+\cdots \right]_{0}^{x} \\
\\
&=x-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x-\frac{1}{7}x+\cdots
\end{align}
となる。右辺に関しては、 $~t=\tan{\theta}~$ と置換することで、
$~ t:0 \to x ~$ が $~\theta :0 \to \tan^{-1}x ~$ となり、 $~ \displaystyle dt=\frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta ~$ となるため、
\begin{align}
\displaystyle (右辺)&=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}dt \\
\\
&=\int_{0}^{\tan^{-1}x}\frac{1}{1+\tan^{2}\theta}\cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta \\
\\
&=\int_{0}^{\tan^{-1}x} \cos^{2}\theta \cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta \\
\\
&=\int_{0}^{\tan^{-1}x}d \theta \\
\\
&=[\theta]_{0}^{\tan^{-1}x} \\
\\
&=\tan^{-1}x
\end{align}
と右辺も求まった。
左辺と右辺の計算結果を元の等式$（*）$に代入することで、
\begin{equation}
\displaystyle x-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x-\frac{1}{7}x+\cdots=\tan^{-1}x
\end{equation}
となり、グレゴリー級数が示された。 $~\blacksquare$