グレゴリー級数

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1671年、スコットランドのジェームス・グレゴリーが発見した \(~\tan^{-1}x~\) に関する級数です。この級数によって、円周率の近似値の研究が格段に進みました。グレゴリー級数の値の算出から、円周率の近似の方法について紹介します。
①グレゴリー級数
②証明
③\( \displaystyle x=1 \)のとき(ライプニッツ級数)
④\( x=\frac{1}{\sqrt{3}} \)のとき(シャープの計算)
⑤\( \displaystyle x=\sqrt{3} \)のとき(おまけ)

※このサイトでは、ライプニッツ級数を一般化したものをグレゴリー級数としていますが、まとめて「グレゴリー・ライプニッツ級数」と呼んだり、諸説あるようです。


目次
  • 1. ①グレゴリー級数
  • 2. ②証明
  • 3. ③\( \displaystyle x=1 \)のとき(ライプニッツ級数)
  • 4. ④\( x=\frac{1}{\sqrt{3}} \)のとき(シャープの計算)
  • 5. ⑤\( \displaystyle x=\sqrt{3} \)のとき(おまけ)

①グレゴリー級数

グレゴリー級数は、1671年にスコットランドのジェームス・グレゴリーが発見した級数であり、その後の円周率の近似で大変重要な役割を果たしました。まずは、グレゴリー級数とはどのようなものかを見てみましょう。

グレゴリー級数

次のような級数をグレゴリー級数という。
\begin{equation}
\displaystyle \tan^{-1}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}
\end{equation}

右辺が \(~\sum~\) 記号でわかりにくいので、見やすくすると・・
\begin{equation}
\displaystyle x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots
\end{equation}
となります。

以前の紹介したライプニッツ級数と形が非常に似ていますね。

実は、グレゴリー級数に \(~x=1~\) を代入すると、ライプニッツ級数になります。そのため、「グレゴリー・ライプニッツ級数」と呼ばれることもあります。(詳しくは③\( \displaystyle x=1 \)のとき(ライプニッツ級数)へ)


②証明

ライプニッツ級数とほぼ同じ流れで証明をすることができます。

証明


初項 \(~1~\) 、公比 \(~-t^2(0 \le t <1)~\) の無限等比級数を考えると、|公比|\(<1~\) より、次のような関係式が表せる。
\begin{equation}
\displaystyle 1-t^2+t^4-t^6+\cdots=\frac{1}{1-(-t^2)}=\frac{1}{1+t^2}
\end{equation}
ここで、 \(~t:0 \to x~\) について、両辺積分をとると、
\begin{equation}
\displaystyle \int_{0}^{x}( 1-t^2+t^4-t^6+\cdots)dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}dt ・・(*)
\end{equation}
であり、左辺と右辺それぞれを計算する。左辺について計算していくと、
\begin{align}
\displaystyle (左辺)&=\int_{0}^{x}( 1-t^2+t^4-t^6+\cdots)dt \\
\\
&=\left[ t-\frac{1}{3}t^3+\frac{1}{5}t^5-\frac{1}{7}t^7+\cdots \right]_{0}^{x} \\
\\
&=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots
\end{align}
となる。右辺に関しては、 \(~t=\tan{\theta}~\) と置換することで、
\(~ t:0 \to x ~\) が \(~\theta :0 \to \tan^{-1}x ~\) となり、 \(~ \displaystyle dt=\frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta ~\) となるため、
\begin{align}
\displaystyle (右辺)&=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}dt \\
\\
&=\int_{0}^{\tan^{-1}x}\frac{1}{1+\tan^{2}\theta}\cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta \\
\\
&=\int_{0}^{\tan^{-1}x} \cos^{2}\theta \cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta \\
\\
&=\int_{0}^{\tan^{-1}x}d \theta \\
\\
&=[\theta]_{0}^{\tan^{-1}x} \\
\\
&=\tan^{-1}x
\end{align}
と右辺も求まった。
左辺と右辺の計算結果を元の等式\((*)\)に代入することで、
\begin{equation}
\displaystyle x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots=\tan^{-1}x
\end{equation}
となり、グレゴリー級数が示された。 \(~\blacksquare\)


初項 \(~1~\) 、公比 \(~-t^2(0 \le t <1)~\) の無限等比級数を考えると、|公比|\(<1~\) より、次のような関係式が表せる。
\begin{align}
&\displaystyle 1-t^2+t^4-t^6+\cdots \\
\\
&=\frac{1}{1-(-t^2)} \\
\\
&=\frac{1}{1+t^2}
\end{align}
ここで、 \(~t:0 \to x~\) について、両辺積分をとると、
\begin{equation}
\displaystyle \int_{0}^{x}( 1-t^2+t^4-\cdots)dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}dt
\end{equation}
である。・・・・(*)
(*)の左辺と右辺それぞれを計算する。
左辺について計算していくと、
\begin{align}
\displaystyle (左辺)&=\int_{0}^{x}( 1-t^2+t^4-t^6+\cdots)dt \\
\\
&=\left[ t-\frac{1}{3}t^3+\frac{1}{5}t^5-\frac{1}{7}t^7+\cdots \right]_{0}^{x} \\
\\
&=x-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x-\frac{1}{7}x+\cdots
\end{align}
となる。右辺に関しては、 \(~t=\tan{\theta}~\) と置換することで、
\(~ t:0 \to x ~\) が \(~\theta :0 \to \tan^{-1}x ~\) となり、 \(~ \displaystyle dt=\frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta ~\) となるため、
\begin{align}
\displaystyle (右辺)&=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}dt \\
\\
&=\int_{0}^{\tan^{-1}x}\frac{1}{1+\tan^{2}\theta}\cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta \\
\\
&=\int_{0}^{\tan^{-1}x} \cos^{2}\theta \cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d \theta \\
\\
&=\int_{0}^{\tan^{-1}x}d \theta \\
\\
&=[\theta]_{0}^{\tan^{-1}x} \\
\\
&=\tan^{-1}x
\end{align}
と右辺も求まった。
左辺と右辺の計算結果を元の等式\((*)\)に代入することで、
\begin{equation}
\displaystyle x-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x-\frac{1}{7}x+\cdots=\tan^{-1}x
\end{equation}
となり、グレゴリー級数が示された。 \(~\blacksquare\)

逆三角関数を使って一般化しているため、証明の難易度はライプニッツ級数より上がります・・。


③\( \displaystyle x=1 \)のとき(ライプニッツ級数)

グレゴリー級数の \(~x~\) に、ある値を代入することで円周率の近似計算を行うことができます。例えば、 \(~x=1~\) を代入すると、
\begin{align}
(左辺)&=\tan^{-1}1 \\
&=\displaystyle \frac{\pi}{4}\\
\\
(右辺)&=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots
\end{align}
となり、まとめると先ほどから登場しているライプニッツ級数となります。

定理・定義名

次のような級数をライプニッツ級数という。
\begin{align}
\displaystyle \frac{\pi}{4}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} \\
\\
&=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots
\end{align}

この式を使って、計算する右辺の項を増やしながら円周率を算出すると、次のように円周率の値が近似されていきます。

計算した右辺の項の数 円周率の近似値
1\(\left(\displaystyle \frac{\pi}{4}=1\right) \) 4
2\( \left(\displaystyle \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}\right)\) 2.66666666
3\( \left(\displaystyle \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)\) 3.46666666
4\( \left(\displaystyle -\frac{1}{7} \text{の項まで} \right)\) 2.89523809
5\( \left(\displaystyle +\frac{1}{9} \text{の項まで} \right)\) 3.33968254
\begin{equation}\vdots \end{equation} \begin{equation}\vdots \end{equation}
10\( \left(\displaystyle -\frac{1}{19} \text{の項まで} \right)\) 3.04183961
\begin{equation}\vdots \end{equation} \begin{equation}\vdots \end{equation}
100\( \left(\displaystyle -\frac{1}{199} \text{の項まで} \right)\) 3.13159290

実際の円周率の値への近づき方をグラフにすると、次のようになります。


④\( x=\frac{1}{\sqrt{3}} \)のとき(シャープの計算)

グレゴリー級数から円周率を近似するには、 \(~x=1~\) 以外でもできます。\( \displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}} \)を代入してみましょう。
\begin{align}
\displaystyle(左辺)&=\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}} \\
&=\displaystyle \frac{\pi}{6} \\
\\
(右辺)&=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} +\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{9\sqrt{3}}-\cdots \\
\\
&=\frac{\sqrt{3}}{3} \left( 1-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{9}-\cdots \right)
\end{align}
となり、円周率を求めることができそうです。

実際、1699年にイギリス人のエイブラハム・シャープがこの式で小数第72位まで円周率を計算しました。さらに、1719年にはフランスのトーマス・ラグニーが同様の式で小数第127位まで円周率を計算しています。

先ほどと同様に右辺の項の数を順々に増やして、円周率の近似値を求めていきます。

計算した右辺の項の数 円周率の近似値
1\(\left(\displaystyle \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left( 1 \right) \right) \) 3.46410161
2\( \left(\displaystyle \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left( 1-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} \right) \right) \) 3.07920143
3\( \left(\displaystyle \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left( 1-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{9} \right) \right) \) 3.15618147
4\( \left(\displaystyle -\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{27} \text{の項まで} \right)\) 3.13785289
5\( \left(\displaystyle +\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{81} \text{の項まで} \right)\) 3.14260474
\begin{equation}\vdots \end{equation} \begin{equation}\vdots \end{equation}
10\( \left(\displaystyle -\frac{1}{19}\cdot \frac{1}{3^9} \text{の項まで} \right)\) 3.14159051
\begin{equation}\vdots \end{equation} \begin{equation}\vdots \end{equation}
100\( \left(\displaystyle -\frac{1}{199}\cdot \frac{1}{3^{99}} \text{の項まで} \right)\) 3.14159265

100項目まで計算すると、エクセルでは誤差が表れないほど正確になってきました。グラフにすると、次のようになります。

ライプニッツ級数やウォリスの公式に比べ、収束速度が非常に速いことがわかります。すなわち、少ない計算でより細かいケタまで、円周率が計算できるということです。


⑤\( \displaystyle x=\sqrt{3} \)のとき(おまけ)

今まで \(~\tan^{-1}x~\) の値がわかりやすくなるように、 \(~x~\) の値を決めて計算してきました。では、グレゴリー級数に\( \displaystyle x=\sqrt{3} \)を代入したらどうなるのでしょうか?

実は、級数が収束しないため、値が求まりません。

グレゴリー級数の右辺に\( x=\sqrt{3} \)を代入すると、
\begin{align}
(右辺)\displaystyle &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\sqrt{3}^{2n+1}
\end{align}
となります。ここで、ダランベールの収束判定法を使うと、
\begin{align}
\displaystyle \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right|&=\left| \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{2n+3}\sqrt{3}^{2n+3}}{\frac{(-1)^n}{2n+1}\sqrt{3}^{2n+1}} \right|\\
\\
&=\left| (-1)\cdot \frac{2n+1}{2n+3}\cdot 3 \right| \\
\\
&=\left| (-1)\cdot \frac{6n+3}{2n+3} \right| \\
\\
&>1
\end{align}
であるため、この場合のグレゴリー級数は発散します。注意してください。


ライプニッツ級数の一般化させたグレゴリー級数の話でした。それにしてもシャープの方法は収束速度が速いですね・・・。

   
 
 


☆参考文献等
・「Wikipedia 円周率の歴史」,<https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2 > 2017年3月24日アクセス
・「Wikipedia ジェームス・グレゴリー」,<https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%AC%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC > 2017年3月24日アクセス