折り紙で正三角形を作る

 折り紙を使うと、定規やコンパスが無くても正三角形が作れます。
 正三角形の折り方とその理由を解説します。

この記事を読んでわかること
  • 折り紙における正三角形の折り方
  • 正三角形が折れる理由
目次

Ⅰ 正三角形の作り方

 折り紙を1枚用意して、是非実際に折ってみてください。

正三角形の折り方

1.十字の折り目をつける。

十字の折り目
<図1> 十字の折り目

2.頂点が折り目に重なるように2方向から折る。

2方向からの折り目
<図2> 2方向からの折り目

3.下のように折れば、正三角形の出来上がり!

正三角形の完成
<図3> 正三角形の完成

 このようにすぐ正三角形が出来上がります。

 ただ、実際に折ってみると2つめの手順のところが若干折りづらいですね。

Ⅱ 正三角形になる理由

 あの折り方でなぜ正三角形となるのかを考えてみましょう。

正三角形になる理由

 図4のように、1つの頂点を、十字の折り目に向けて折ることを考える。

十字への折り目1
<図4> 十字への折り目1

 図5の$~\triangle FGA~$と$~\triangle FGD~$について、

  • 半分に折っているため、$~AG=DG~$
  • 折り目は$~180^{\circ}~$を二等分しているので、$~\angle FGA=\angle FGD~$
  • 共通なので、$~FG=FG~$

二辺夾角相等から$~\triangle FGA \equiv \triangle FGD~$。

よって、対応する辺から、

\begin{equation*}
FA=FD ~~~\cdots ①
\end{equation*}

である。

十字への折り目2
<図5> 十字への折り目2


 また、もともとは同じ辺であることから、

\begin{equation*}
AB=FA ~~~\cdots ②
\end{equation*}

であり、正方形の辺の長さから、

\begin{equation*}
AB=AD ~~~\cdots ③
\end{equation*}


となる。

 $①$~$③$から、$~FA=FD=AD~$で、$~\triangle FAD~$は正三角形となる。

 そのため、$~\angle FAD=60^{\circ}~$であり、折り目の性質から

\begin{equation*}
\angle BAE=15^{\circ} ~~~\cdots ④
\end{equation*}

が求まる。

十字への折り目3
<図6> 十字への折り目3

 同様に、

\begin{equation*}
\angle DAH=15^{\circ} ~~~\cdots ⑤
\end{equation*}

も求まる。

十字への折り目2
<図7> 十字への折り目2

 よって、$~\triangle AEH~$を考えると、$④$と$⑤$より、$~\angle EAH=60^{\circ}~$を満たす。
 また、$~AE=AH~$となるため、$~\triangle AEH~$は正三角形であることが示された。■

正三角形となる理由
<図8> 正三角形となる理由

 ちなみに、図5で三平方の定理を使えば、合同を使わずに$~\angle FAG=60^{\circ}~$がすぐわかります。

 今回は、中2までの知識でわかる方法で証明を行いました。


これ、きれいに折れなくない?

 折りにくいのは重々承知。
 でも、すべての角が90°の正方形から、正三角形が折れるってすごくない?

よかったらシェアしてね!

コメント

コメントする

CAPTCHA


目次
閉じる