折り紙で正三角形を作る

１．十字の折り目をつける。

２．頂点が折り目に重なるように２方向から折る。

３．下のように折れば、正三角形の出来上がり！

　図４のように、１つの頂点を、十字の折り目に向けて折ることを考える。

　図５の$~\triangle FGA~$と$~\triangle FGD~$について、

• 半分に折っているため、$~AG=DG~$
• 折り目は$~180^{\circ}~$を二等分しているので、$~\angle FGA=\angle FGD~$
• 共通なので、$~FG=FG~$

二辺夾角相等から$~\triangle FGA \equiv \triangle FGD~$。

よって、対応する辺から、

\begin{equation*}
FA=FD ~~~\cdots ①
\end{equation*}

である。

　また、もともとは同じ辺であることから、

\begin{equation*}
AB=FA ~~~\cdots ②
\end{equation*}

であり、正方形の辺の長さから、

\begin{equation*}
AB=AD ~~~\cdots ③
\end{equation*}

となる。

　$①$～$③$から、$~FA=FD=AD~$で、$~\triangle FAD~$は正三角形となる。

　そのため、$~\angle FAD=60^{\circ}~$であり、折り目の性質から

\begin{equation*}
\angle BAE=15^{\circ} ~~~\cdots ④
\end{equation*}

が求まる。

　同様に、

\begin{equation*}
\angle DAH=15^{\circ} ~~~\cdots ⑤
\end{equation*}

も求まる。

　よって、$~\triangle AEH~$を考えると、$④$と$⑤$より、$~\angle EAH=60^{\circ}~$を満たす。
　また、$~AE=AH~$となるため、$~\triangle AEH~$は正三角形であることが示された。■