折り紙で正三角形を作る

数学雑学平面図形数学雑学

 正方形の折り紙を使って正三角形を作る方法を紹介します。もちろん証明もしています。
Ⅰ 正三角形の作り方
Ⅱ 正三角形になる証明


目次
  • 1. Ⅰ 正三角形の作り方
  • 2. Ⅱ 正三角形になる証明

Ⅰ 正三角形の作り方

 正方形から正三角形をどう作るのか、折り紙を1枚用意して実際に折ってみてください。

作り方

① 十字の折り目をつける。

 半分に折って、開く。これを2回繰り返せばできます。
 
② 頂点が折り目に重なるように2方向から折る。

 ここは折るのが少し難しいです・・・。
 
③ 三角形ができるように下のように折る。

 表から見るとこんな感じ。確かに正三角形っぽい(赤線)のが出来上がりました。
 
 ウラ返せばきれいな青い三角形になります!!

 いかがでしょう?
 特殊な折り方ではありますが、確かに正三角形っぽいです。
 
 本当に正三角形となっているのかを数学的に確認しましょう!!


Ⅱ 正三角形になる証明

 三平方の定理を使えば、長さを出すことで証明が簡単にできますが、ここでは中学2年生までの図形の知識で証明します。

証明

 1つの頂点を、十字の折り目に向けて折ったときの図をまず考える。
 下のように\(~A~\)~\(~G~\)をつける。

 このとき、下の\(~\triangle FGA~\)と\(~\triangle FGD~\)について、考える。

 \(~\triangle FGA~\)と\(~\triangle FGD~\)において、

 半分に折っているので\(~AG=DG~\)
 共通なので\(~FG=FG~\)
 正方形を折っているので\(~\angle FGA=\angle FGD=90^{\circ}~\)

よって、\(~\triangle FGA~\equiv~\triangle FGD~\)(二辺夾角相等)。
 対応する辺より、\(~FA=FD~\)・・・①.
 
 また、もともと同じ辺なので、\(~BA=FA~\)・・・②
 正方形より、\(~AD=BA~\)・・・③
 
 ①~③より、\(~AD=FA=FD~\)で、\(~\triangle FAD~\)は正三角形とわかる。
 そのため、\(~\angle FAD=60^{\circ}~\)とわかり、\(~\angle BAE=\angle FAE=15^{\circ}~\)も求まる。

 同様に逆側も求めると、下のように角度が求まる。

 \(~\triangle AEH~\)において、\(~\angle EAH=60^{\circ}~\)で、同じ折り方をしているため\(~AE=AH~\)。

 よって、\(~\triangle AEH~\)は正三角形であることが示された。\(~~~\blacksquare~\)

 複雑ですが、合同と二等辺三角形の知識だけで証明ができました。
 
 ちなみに、三平方の定理を学んだ後なら、\(~AG:AF=1:2~\)であることから、すぐに\(~\angle FAG=60^{\circ}~\)がわかります。ちょっと味気ない・・・。


 中Ⅱの教科書に載っていたので、三平方の定理を使えず証明に悩みました。


 
 


◇参考文献等
・(2016)『未来へひろがる 数学2』,p.127,啓林館.

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Posted by Fuku