三平方の定理の証明⑥(レオナルド・ダ・ヴィンチの証明)

中3数学平面図形中3数学

三平方の定理には数百もの証明方法があります。今回はかの有名な芸術家、レオナルド・ダ・ヴィンチが考えた証明方法について紹介します。
Ⅰ 三平方の定理とは
Ⅱ レオナルド・ダ・ヴィンチの証明
Ⅲ その他の証明方法


目次
  • 1. Ⅰ 三平方の定理とは
  • 2. Ⅱ レオナルド・ダ・ヴィンチの証明
  • 3. Ⅲ その他の証明方法

Ⅰ 三平方の定理とは

 三平方の定理とは、次のような定理です。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)


上のような直角三角形で、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

 直角三角形の2辺がわかれば、残りの1辺も求まるというもので、紀元前から測量等でも使われてきました。日本では中学3年生(義務教育!)で習います。長い歴史の中で、様々な人により、様々な証明が生み出されてきましたが、今回は「最後の晩餐」や「モナ・リザ」で有名なレオナルド・ダ・ヴィンチが発見した、合同をうまく使った証明を紹介します。


Ⅱ レオナルド・ダ・ヴィンチの証明

 図をよ~く見ながら、証明を読んでいってください。

証明

  \(~\angle A=90°~\) の直角三角形ABCにおいて、各辺を1辺とする正方形を△ABCの逆側にそれぞれ下図のように作る。

 また、IとGを結ぶ。さらに、△ABCと合同な三角形JDEを下図のように作る。

 すると、等しい辺の長さ、等しい角の大きさをそれぞれ色で分けると、下図のようになる。

 ここで、AJとHFをそれぞれ結ぶ。このとき、△ABCと△AIGは線対称な図形となっているため、Aは線分HF上にある。

 ここで、四角形ABEJ、四角形JDCA、四角形HBCF、四角形HIGFに注目すると、

 AB=JD=HB=HI

 ∠ABE=∠JDC=∠HBC=∠HIG=90°+∠B

 BE=DC=BC=IG

 ∠BEJ=∠DCA=∠BCF=∠IGF=90°+∠C

 EJ=CA=CF=GF

より、

四角形ABEJ四角形JDCA 四角形HBCF四角形HIGF

となる。

 この合同な四角形2つを有する六角形として、六角形ABEJDCと六角形HBCFGIの面積が等しいことがわかる。

 この六角形に共通する△ABC、合同な△DEJ△IGAをそれぞれ引くと、

残った図形から

 正方形BCDE=正方形ACFG+正方形ABHI

がわかる。
 したがって、
\begin{equation}
a^2=b^2+c^2
\end{equation}
が示された。 \(~\blacksquare\)

 合同な四角形から、六角形の面積が等しいことを言い、被っている三角形を引いていくと、正方形だけが残るという戦法でした。


Ⅲ その他の証明方法

 是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。
~順次作成中~

①ピタゴラスの証明  正方形を4つの図形にうまく分割し、回転させることにより、その面積関係から三平方の定理を導いています。
②ユークリッドの証明 等積変形や合同を使って、複雑な計算をせずに証明をします。
③内接円を利用した証明 内接円を使って、面積を2通りの方法で表して証明をします。
④方べきの定理を利用した証明1 内部で交わるタイプの方べきの定理を使って証明します。
⑤方べきの定理を利用した証明2 接線タイプの方べきの定理を使って証明します。
⑥レオナルド・ダ・ヴィンチの証明 合同な図形をうまく使った証明方法です。
⑦トレミーの定理による証明 円に内接する長方形に、トレミーの定理を適用します。
⑧ジェームズ・A・ガーフィールドの証明 アメリカの大統領が考えた、台形を使った証明方法です。
⑨アン・コンディットの証明  16歳の少女が考えた、補助線を多用する証明方法です。
⑩無限等比級数を利用した証明  垂線によって直角三角形を細かくしていき、最終的には無限等比級数を利用する証明方法です。
⑪相似を利用した証明1  相似を使った最もシンプルな証明方法です。
⑫相似を利用した証明2  合同な直角三角形を重ね、相似な三角形を利用しながら、ある三角形の面積を2通りの方法で表します。

他にもいろいろありますよ~('ω’)ノ


 さすが芸術家とも言える幾何的な証明でした。昔の天才はいろいろな分野に精通している人が多かったんですなぁ。

   
 
 


◇参考文献等
・E・マオール(2008)『ピタゴラスの定理-4000年の歴史』,pp.146-147,伊理由美訳,岩波書店.

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Posted by Fuku