三平方の定理の証明⑥(レオナルド・ダ・ヴィンチの証明)

 三平方の定理は、何百もの証明方法があるといわれています。
 この記事では、「モナ・リザ」で有名なレオナルド・ダ・ヴィンチが考えた簡単な証明方法を解説します。

この記事を読んでわかること
  • レオナルド・ダ・ヴィンチが考えた三平方の定理の証明方法
目次

Ⅱ レオナルド・ダ・ヴィンチの証明

 図をよく見ながら、証明をお読みください。

証明

 $~\angle A=90^{\circ}~$の直角三角形$~ABC~$において、各辺を1辺とする正方形を$~\triangle ABC~$の外側にそれぞれ図1のように作る。

<図1> ダヴィンチの証明1

 ここで、$~I~$と$~G~$を結び、さらに$~\triangle ABC~$と合同な三角形$~JDE~$を図2のように作る。

<図2>  ダヴィンチの証明2 

 図2において、等しい辺の長さ、等しい角の大きさをそれぞれ色で分けると、図3のようになる。

図3 ダヴィンチの証明3

 図3より、$~\triangle ABC~\equiv~\triangle AIG~$が言える。

 次に、四角形ABEJ、四角形JDCA、四角形HBCF、四角形HIGFに注目すると、

<図4> ダヴィンチの証明4 

 図4で、

  • $~AB=JD=HB=HI~$
  • $~∠ABE=∠JDC=∠HBC=∠HIG=90^{\circ}+∠B~$
  • $~BE=DC=BC=IG~$
  • $~∠BEJ=∠DCA=∠BCF=∠IGF=90^{\circ}+∠C~$
  • $~EJ=CA=CF=GF~$

であるため、

四角形$~ABEJ ~\equiv~$四角形$~JDCA ~\equiv~$四角形$~HBCF~\equiv~$四角形$~HIGF$

となる。

<図5> ダヴィンチの証明5

  図6のように、合同な四角形を2つ組み合わせてできる六角形$~ABEJDC~$と六角形$~HBCFGI~$について考える。

 共通している$~\triangle ABC~$と合同な三角形$~\triangle JED~$と $~\triangle AGI~$を引くことで、

正方形BCDE=正方形ACFG+正方形ABHI

がわかる。

<図6> ダヴィンチの証明6

 したがって、$~c^2=a^2+b^2~$が示された。■

 合同な四角形から、六角形の面積が等しいことを言い、被っている三角形を引いていくと、正方形だけが残るという戦法でした。


さすが、芸術家。図形を絵として捉えていたのかな?

うん。補助線を引いてできた六角形に注目するなんて、普通はできないよね。

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