シンプソンの公式（解明編①）

$~m=\displaystyle \frac{a+b}{2}~$ とする。 $~f(x)~$ は３点$\displaystyle (a,f(a)),(m,f(m)),(b,f(b))~$ を通るので、下のラグランジュの補間公式により、次のように表せる。

\begin{equation}
\displaystyle f(x)=\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}f(a)+\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}f(m)+\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}f(b)
\end{equation}

\begin{align}
\displaystyle &f(x)=\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}f(a) \\
&+\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}f(m) \\
&+\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}f(b)
\end{align}

この $~f(x)~$ を $~a\to b~$ で積分すればよいので、

\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b}f(x)dx \\
\\
&=\int_{a}^{b} \left\{ \frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}f(a) \right. \\
& \left. +\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}f(m) \right. \\
&\left. +\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}f(b) \right\} dx \\
\\
&=\frac{f(a)}{(a-m)(a-b)}\int_{a}^{b} (x-m)(x-b)dx　　\\
&+\frac{f(m)}{(m-a)(m-b)}\int_{a}^{b} (x-a)(x-b)dx \\
&+\frac{f(b)}{(b-a)(b-m)}\int_{a}^{b} (x-a)(x-m)dx \\
\end{align}

\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b}f(x)dx \\
\\
&=\int_{a}^{b} \left\{ \frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}f(a) \right. \\
& \left. +\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}f(m) \right. \\
&\left. +\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}f(b) \right\} dx \\
\\
&=\frac{f(a)}{(a-m)(a-b)}\int_{a}^{b} (x-m)(x-b)dx　　\\
&+\frac{f(m)}{(m-a)(m-b)}\int_{a}^{b} (x-a)(x-b)dx \\
&+\frac{f(b)}{(b-a)(b-m)}\int_{a}^{b} (x-a)(x-m)dx \\
\end{align}

となる。
 
②１項目の積分を求める。
次に１項目の積分を求めていく。

\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b} (x-m)(x-b)dx \\
\\
&=\int_{a}^{b} x^2-(b+m)x+bmdx \\
\\
&=\left[ \frac{1}{3}x^3-\frac{(b+m)}{2}x^2+bmx \right]_{a}^{b} \\
\\
&=\frac{1}{3}(b^3-a^3)-\frac{(b+m)}{2}(b^2-a^2)+bm(b-a) \\
\\
&=\frac{1}{3}(b-a)(b^2+ab+a^2)-\frac{(b+m)}{2}(b-a)(b+a)+bm(b-a) \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{2(b^2+ab+a^2)-3(b+m)(b+a)+6bm \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 2b^2+2ab+2a^2-3b^2-3ab-3bm-3am+6bm \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 3bm-3am-b^2+2a^2-ab \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 3m(b-a)-(b^2-2a^2+ab) \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 3m(b-a)-(b-a)(b+2a) \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a)^2 \left\{ 3m-(b+2a) \right\} \\
\end{align}
ここで、 $~\displaystyle m=\frac{a+b}{2}~$ を代入して、
\begin{align}
&=\displaystyle \frac{1}{6}(b-a)^2 \left\{ 3\cdot \frac{a+b}{2}-b-2a \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a)^2 \cdot \frac{1}{2}\left\{ 3a+3b-2b-4a \right\} \\
\\
&= \frac{1}{6}(b-a)^2 \cdot \frac{1}{2}\left\{ b-a \right\} \\
\\
&= \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\end{align}

\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b} (x-m)(x-b)dx \\
\\
&=\int_{a}^{b} x^2-(b+m)x+bmdx \\
\\
&=\left[ \frac{1}{3}x^3-\frac{(b+m)}{2}x^2+bmx \right]_{a}^{b} \\
\\
&=\frac{1}{3}(b^3-a^3)-\frac{(b+m)}{2}(b^2-a^2) \\
&+bm(b-a) \\
\\
&=\frac{1}{3}(b-a)(b^2+ab+a^2) \\
&-\frac{(b+m)}{2}(b-a)(b+a)+bm(b-a) \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{2(b^2+ab+a^2) \right. \\
&\left. -3(b+m)(b+a)+6bm \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 2b^2+2ab+2a^2 \right. \\
&\left. -3b^2-3ab-3bm-3am+6bm \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 3bm-3am-b^2+2a^2-ab \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 3m(b-a)-(b^2-2a^2+ab) \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 3m(b-a)-(b-a)(b+2a) \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a)^2 \left\{ 3m-(b+2a) \right\} \\
\end{align}
ここで、 $~\displaystyle m=\frac{a+b}{2}~$ を代入して、
\begin{align}
&=\displaystyle \frac{1}{6}(b-a)^2 \left\{ 3\cdot \frac{a+b}{2}-b-2a \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a)^2 \cdot \frac{1}{2}\left\{ 3a+3b-2b-4a \right\} \\
\\
&= \frac{1}{6}(b-a)^2 \cdot \frac{1}{2}\left\{ b-a \right\} \\
\\
&= \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\end{align}

が求まった。
 
③３項目の積分を求める。
先に３項目の積分を求める。まずは次のように式変形をする。
\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b} (x-a)(x-m)dx \\
\\
&=-\int_{b}^{a} (x-m)(x-a)dx \\
\end{align}
これは１項目の積分の $~a~$ と $~b~$ が入れ替わった形なので、
\begin{align}
&=-\frac{1}{12}(a-b)^3 \\
\\
&=\frac{1}{12}(b-a)^3
\end{align}
が求まった。
 
④２項目の積分を求める。
最後に２項目の積分を求める。この積分は $~m~$ がないので、１項目や３項目と同様には求められないが、６分の１公式が使える。よって、
\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b} (x-a)(x-b)dx \\
\\
&=-\frac{1}{6}(b-a)^3
\end{align}
が求まった。
 
⑤元の式に代入する
①で最後に出た式に、②～④の積分結果を代入すると、

\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b}f(x)dx \\
\\
&=\frac{f(a)}{(a-m)(a-b)}\cdot \frac{1}{12}(b-a)^3　　\\
&+\frac{f(m)}{(m-a)(m-b)}\cdot \left\{ -\frac{1}{6}(b-a)^3 \right\} \\
&+\frac{f(b)}{(b-a)(b-m)}\cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\end{align}

\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b}f(x)dx \\
\\
&=\frac{f(a)}{(a-m)(a-b)}\cdot \frac{1}{12}(b-a)^3　　\\
&+\frac{f(m)}{(m-a)(m-b)}\cdot \left\{ -\frac{1}{6}(b-a)^3 \right\} \\
&+\frac{f(b)}{(b-a)(b-m)}\cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\end{align}

となり、ここで $~\displaystyle b-m=m-a=\frac{b-a}{2}~$ を代入して、

\begin{align}
\displaystyle &=\frac{f(a)}{\left\{ -\frac{(b-a)}{2} \right\} \left\{ -(b-a) \right\} } \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3　　\\
&+\frac{f(m)}{\left\{ \frac{(b-a)}{2} \right\} \left\{ -\frac{(b-a)}{2} \right\} } \cdot \left\{ -\frac{1}{6}(b-a)^3 \right\} \\
&+\frac{f(b)}{\left\{ (b-a) \right\} \left\{ \frac{(b-a)}{2} \right\} } \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\\
&=\frac{2f(a)}{(b-a)^2} \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3　　\\
&-\frac{4f(m)}{(b-a)^2} \cdot \left\{ -\frac{1}{6}(b-a)^3 \right\} \\
&+\frac{2f(b)}{(b-a)^2} \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\\
\\
&=\frac{1}{6}f(a)(b-a)+\frac{4}{6}f(m)(b-a)+\frac{1}{6}f(b)(b-a) \\
\\
&=\frac{b-a}{6} \left\{ f(a)+4f(m)+f(b) \right\} \\
\end{align}

\begin{align}
\displaystyle &=\frac{f(a)}{\left\{ -\frac{(b-a)}{2} \right\} \left\{ -(b-a) \right\} } \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3　　\\
&+\frac{f(m)}{\left\{ \frac{(b-a)}{2} \right\} \left\{ -\frac{(b-a)}{2} \right\} } \cdot \left\{ -\frac{1}{6}(b-a)^3 \right\} \\
&+\frac{f(b)}{\left\{ (b-a) \right\} \left\{ \frac{(b-a)}{2} \right\} } \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\\
&=\frac{2f(a)}{(b-a)^2} \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3　　\\
&-\frac{4f(m)}{(b-a)^2} \cdot \left\{ -\frac{1}{6}(b-a)^3 \right\} \\
&+\frac{2f(b)}{(b-a)^2} \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\\
\\
&=\frac{1}{6}f(a)(b-a)+\frac{4}{6}f(m)(b-a) \\
&+\frac{1}{6}f(b)(b-a) \\
\\
&=\frac{b-a}{6} \left\{ f(a)+4f(m)+f(b) \right\} \\
\end{align}

最後に、 $~m=\displaystyle \frac{a+b}{2}~$ に戻せば、

\begin{equation}
\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{b-a}{6} \left\{ f(a)+4f \left( \frac{a+b}{2} \right)+f(b) \right\}
\end{equation}

\begin{align}
&\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx \\
\\
&=\frac{(b-a)}{6} \left\{ f(a)+4f\left( \frac{a+b}{2} \right) +f(b) \right\}
\end{align}

が求まった。 $~\blacksquare$