シンプソンの公式(解明編①)

大学・一般数学微分・積分大学・一般数学

シンプソンの公式の右辺で、 \(~f(a)~\) と \(~\displaystyle f\left( \frac{a+b}{2} \right)~\) と \(~f(b)~\) の係数が \(~1,4,1~\) になる理由を解明していきます。

Ⅰ シンプソンの公式とは
Ⅱ 右辺の導出と証明


目次
  • 1. Ⅰ シンプソンの公式とは(再掲)
  • 2. Ⅱ 右辺の導出と証明

Ⅰ シンプソンの公式とは(再掲)

シンプソンの公式を再掲しておきます。

シンプソンの公式

\(~f(x)~\) が3次以下の関数のとき、次の式が成り立つ。

\begin{equation}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx=\frac{(b-a)}{6} \left\{ f(a)+4f\left( \frac{a+b}{2} \right) +f(b) \right\}
\end{equation}


\begin{align}
&\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx \\
\\
&=\frac{(b-a)}{6} \left\{ f(a)+4f\left( \frac{a+b}{2} \right) +f(b) \right\}
\end{align}

式を見ると、 \(~f(a)~\) と \(~\displaystyle f\left( \frac{a+b}{2} \right)~\) と \(~f(b)~\) の係数が \(~1,4,1~\) となっています。「シンプソンの公式(基本編)」では、与えられた公式に代入していくという証明方法をとりましたが、今回は右辺がこのような形になる含めた証明をします。


Ⅱ 右辺の導出と証明

① \(~f(x)~\) を別の表し方で表す。
ということで、証明していきます。最初に下の「ラグランジュの補間公式」を使います。

ラグランジュの補間公式

3点 \(~(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)~\) を通る2次以下の関数 \(~y=f(x)~\) は次の式で与えられる。

\begin{equation}
\displaystyle f(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1+\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2+\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3
\end{equation}

では、本題の証明に入りましょう。

\begin{align}
\displaystyle f(x)&=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 \\
&+\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 \\
&+\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3
\end{align}

この証明はこちらに

証明2

\(~m=\displaystyle \frac{a+b}{2}~\) とする。 \(~f(x)~\) は3点\(\displaystyle (a,f(a)),(m,f(m)),(b,f(b))~\) を通るので、下のラグランジュの補間公式により、次のように表せる。

\begin{equation}
\displaystyle f(x)=\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}f(a)+\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}f(m)+\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}f(b)
\end{equation}


\begin{align}
\displaystyle &f(x)=\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}f(a) \\
&+\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}f(m) \\
&+\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}f(b)
\end{align}

この \(~f(x)~\) を \(~a\to b~\) で積分すればよいので、

\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b}f(x)dx \\
\\
&=\int_{a}^{b} \left\{ \frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}f(a) \right. \\
& \left. +\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}f(m) \right. \\
&\left. +\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}f(b) \right\} dx \\
\\
&=\frac{f(a)}{(a-m)(a-b)}\int_{a}^{b} (x-m)(x-b)dx  \\
&+\frac{f(m)}{(m-a)(m-b)}\int_{a}^{b} (x-a)(x-b)dx \\
&+\frac{f(b)}{(b-a)(b-m)}\int_{a}^{b} (x-a)(x-m)dx \\
\end{align}


\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b}f(x)dx \\
\\
&=\int_{a}^{b} \left\{ \frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}f(a) \right. \\
& \left. +\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}f(m) \right. \\
&\left. +\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}f(b) \right\} dx \\
\\
&=\frac{f(a)}{(a-m)(a-b)}\int_{a}^{b} (x-m)(x-b)dx  \\
&+\frac{f(m)}{(m-a)(m-b)}\int_{a}^{b} (x-a)(x-b)dx \\
&+\frac{f(b)}{(b-a)(b-m)}\int_{a}^{b} (x-a)(x-m)dx \\
\end{align}

となる。
 
②1項目の積分を求める。
次に1項目の積分を求めていく。

\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b} (x-m)(x-b)dx \\
\\
&=\int_{a}^{b} x^2-(b+m)x+bmdx \\
\\
&=\left[ \frac{1}{3}x^3-\frac{(b+m)}{2}x^2+bmx \right]_{a}^{b} \\
\\
&=\frac{1}{3}(b^3-a^3)-\frac{(b+m)}{2}(b^2-a^2)+bm(b-a) \\
\\
&=\frac{1}{3}(b-a)(b^2+ab+a^2)-\frac{(b+m)}{2}(b-a)(b+a)+bm(b-a) \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{2(b^2+ab+a^2)-3(b+m)(b+a)+6bm \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 2b^2+2ab+2a^2-3b^2-3ab-3bm-3am+6bm \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 3bm-3am-b^2+2a^2-ab \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 3m(b-a)-(b^2-2a^2+ab) \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 3m(b-a)-(b-a)(b+2a) \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a)^2 \left\{ 3m-(b+2a) \right\} \\
\end{align}
ここで、 \(~\displaystyle m=\frac{a+b}{2}~\) を代入して、
\begin{align}
&=\displaystyle \frac{1}{6}(b-a)^2 \left\{ 3\cdot \frac{a+b}{2}-b-2a \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a)^2 \cdot \frac{1}{2}\left\{ 3a+3b-2b-4a \right\} \\
\\
&= \frac{1}{6}(b-a)^2 \cdot \frac{1}{2}\left\{ b-a \right\} \\
\\
&= \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\end{align}


\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b} (x-m)(x-b)dx \\
\\
&=\int_{a}^{b} x^2-(b+m)x+bmdx \\
\\
&=\left[ \frac{1}{3}x^3-\frac{(b+m)}{2}x^2+bmx \right]_{a}^{b} \\
\\
&=\frac{1}{3}(b^3-a^3)-\frac{(b+m)}{2}(b^2-a^2) \\
&+bm(b-a) \\
\\
&=\frac{1}{3}(b-a)(b^2+ab+a^2) \\
&-\frac{(b+m)}{2}(b-a)(b+a)+bm(b-a) \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{2(b^2+ab+a^2) \right. \\
&\left. -3(b+m)(b+a)+6bm \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 2b^2+2ab+2a^2 \right. \\
&\left. -3b^2-3ab-3bm-3am+6bm \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 3bm-3am-b^2+2a^2-ab \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 3m(b-a)-(b^2-2a^2+ab) \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a) \left\{ 3m(b-a)-(b-a)(b+2a) \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a)^2 \left\{ 3m-(b+2a) \right\} \\
\end{align}
ここで、 \(~\displaystyle m=\frac{a+b}{2}~\) を代入して、
\begin{align}
&=\displaystyle \frac{1}{6}(b-a)^2 \left\{ 3\cdot \frac{a+b}{2}-b-2a \right\} \\
\\
&=\frac{1}{6}(b-a)^2 \cdot \frac{1}{2}\left\{ 3a+3b-2b-4a \right\} \\
\\
&= \frac{1}{6}(b-a)^2 \cdot \frac{1}{2}\left\{ b-a \right\} \\
\\
&= \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\end{align}

が求まった。
 
③3項目の積分を求める。
先に3項目の積分を求める。まずは次のように式変形をする。
\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b} (x-a)(x-m)dx \\
\\
&=-\int_{b}^{a} (x-m)(x-a)dx \\
\end{align}
これは1項目の積分の \(~a~\) と \(~b~\) が入れ替わった形なので、
\begin{align}
&=-\frac{1}{12}(a-b)^3 \\
\\
&=\frac{1}{12}(b-a)^3
\end{align}
が求まった。
 
④2項目の積分を求める。
最後に2項目の積分を求める。この積分は \(~m~\) がないので、1項目や3項目と同様には求められないが、6分の1公式が使える。よって、
\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b} (x-a)(x-b)dx \\
\\
&=-\frac{1}{6}(b-a)^3
\end{align}
が求まった。
 
⑤元の式に代入する
で最後に出た式に、の積分結果を代入すると、

\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b}f(x)dx \\
\\
&=\frac{f(a)}{(a-m)(a-b)}\cdot \frac{1}{12}(b-a)^3  \\
&+\frac{f(m)}{(m-a)(m-b)}\cdot \left\{ -\frac{1}{6}(b-a)^3 \right\} \\
&+\frac{f(b)}{(b-a)(b-m)}\cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\end{align}


\begin{align}
\displaystyle &\int_{a}^{b}f(x)dx \\
\\
&=\frac{f(a)}{(a-m)(a-b)}\cdot \frac{1}{12}(b-a)^3  \\
&+\frac{f(m)}{(m-a)(m-b)}\cdot \left\{ -\frac{1}{6}(b-a)^3 \right\} \\
&+\frac{f(b)}{(b-a)(b-m)}\cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\end{align}

となり、ここで \(~\displaystyle b-m=m-a=\frac{b-a}{2}~\) を代入して、

\begin{align}
\displaystyle &=\frac{f(a)}{\left\{ -\frac{(b-a)}{2} \right\} \left\{ -(b-a) \right\} } \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3  \\
&+\frac{f(m)}{\left\{ \frac{(b-a)}{2} \right\} \left\{ -\frac{(b-a)}{2} \right\} } \cdot \left\{ -\frac{1}{6}(b-a)^3 \right\} \\
&+\frac{f(b)}{\left\{ (b-a) \right\} \left\{ \frac{(b-a)}{2} \right\} } \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\\
&=\frac{2f(a)}{(b-a)^2} \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3  \\
&-\frac{4f(m)}{(b-a)^2} \cdot \left\{ -\frac{1}{6}(b-a)^3 \right\} \\
&+\frac{2f(b)}{(b-a)^2} \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\\
\\
&=\frac{1}{6}f(a)(b-a)+\frac{4}{6}f(m)(b-a)+\frac{1}{6}f(b)(b-a) \\
\\
&=\frac{b-a}{6} \left\{ f(a)+4f(m)+f(b) \right\} \\
\end{align}


\begin{align}
\displaystyle &=\frac{f(a)}{\left\{ -\frac{(b-a)}{2} \right\} \left\{ -(b-a) \right\} } \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3  \\
&+\frac{f(m)}{\left\{ \frac{(b-a)}{2} \right\} \left\{ -\frac{(b-a)}{2} \right\} } \cdot \left\{ -\frac{1}{6}(b-a)^3 \right\} \\
&+\frac{f(b)}{\left\{ (b-a) \right\} \left\{ \frac{(b-a)}{2} \right\} } \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\\
&=\frac{2f(a)}{(b-a)^2} \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3  \\
&-\frac{4f(m)}{(b-a)^2} \cdot \left\{ -\frac{1}{6}(b-a)^3 \right\} \\
&+\frac{2f(b)}{(b-a)^2} \cdot \frac{1}{12}(b-a)^3 \\
\\
\\
&=\frac{1}{6}f(a)(b-a)+\frac{4}{6}f(m)(b-a) \\
&+\frac{1}{6}f(b)(b-a) \\
\\
&=\frac{b-a}{6} \left\{ f(a)+4f(m)+f(b) \right\} \\
\end{align}

最後に、 \(~m=\displaystyle \frac{a+b}{2}~\) に戻せば、

\begin{equation}
\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{b-a}{6} \left\{ f(a)+4f \left( \frac{a+b}{2} \right)+f(b) \right\}
\end{equation}


\begin{align}
&\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx \\
\\
&=\frac{(b-a)}{6} \left\{ f(a)+4f\left( \frac{a+b}{2} \right) +f(b) \right\}
\end{align}

が求まった。 \(~\blacksquare\)

計算は面倒であったものの、ラグランジュの補間公式を使うことによって、シンプソンの公式の右辺の形が導かれました。


\(~f(x)~\) の積分の結果が、シンプソンの公式の右辺の形で表されることがわかりましたね。ただ、ラグランジュの補間公式は2次以下の関数 \(~f(x)~\) での話でしたので、次回はこの公式がなぜ3次でも等号成立するのかを考えます。

   
 
 


◇参考文献等
・「Simpsonの公式による数値積分1」,<http://www012.upp.so-net.ne.jp/doi/sas/numerical/Simpson/Simpson1.pdf > 2018年8月14日アクセス