22.5°の三角比

 30°、45°、60°の三角比の値は教科書で習いますが、今回は22.5°の三角比について考えてみます。
Ⅰ 22.5°の三角比の値
Ⅱ 求め方
Ⅲ 近似値


https://mathsuke.jp/trigonometric-ratio/

目次

Ⅰ 22.5°の三角比の値

 これまでの記事で、$~15^{\circ}=\displaystyle \frac{\pi}{6}~,~18^{\circ}= \frac{\pi}{5}~,36^{\circ}= \frac{2}{5}\pi~$の三角比を扱ってきましたが、最後は$~22.5^{\circ}=\displaystyle \frac{\pi}{8}~$について考えます。
 
 まずはその値から。

22.5°の三角比

\begin{align}
\sin{22.5^{\circ}}&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \\
\\
\cos{22.5^{\circ}}&=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \\
\\
\tan{22.5^{\circ}}&=\sqrt{2}-1 \\
\end{align}

 二重根号ではあるものの、$~\sin~$と$~\cos~$は似た式となり、ほとんどの式が”$2$”で表されているのが面白いですね。
 
 ちなみに、$~22.5^{\circ}~$の三角比を、斜辺が $~2~$ の直角三角形で表すと、
22.5°の三角比の基本図
という図になります。


Ⅱ 求め方

 $~22.5^{\circ}~,~67.5^{\circ}~,~90^{\circ}~$の直角三角形の中に、直角二等辺三角形を作ることで求めることができます。

求め方

 $~22.5^{\circ}~,~67.5^{\circ}~,~90^{\circ}~$からなる直角三角形$~ABC~$を考える。
 $~BC~$上に$~\angle DAC=45^{\circ}~$となるように点$~D~$をとる。
22.5°の三角比の求め方1
 $~AC=1~$とするとき、直角二等辺三角形$~ADC~$と二等辺三角形$~DBA~$により、次のように長さがわかる。

 ここで、$~\triangle ABC~$で三平方の定理を使うと、
\begin{align}
AB^2&=1^2+(\sqrt{2}+1)^2 \\
&=1+2\sqrt{2}+1 \\
&=4+\sqrt{2}
\end{align}
であり、$~AB > 0~$なので、
\begin{equation}
AB=\sqrt{4+2\sqrt{2}}
\end{equation}
と求まる。
22.5°の三角比の求め方3
 よって、上の図からそれぞれの三角比を求めると、
\begin{align}
\sin{22.5^{\circ}}&=\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}} \\
\\
&=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}} \\
\\
&=\frac{1 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\sqrt{4-2}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \\
\end{align}
\begin{align}
\cos{22.5^{\circ}}&=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}} \\
\\
&=\frac{(\sqrt{2}+1)\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2(2-\sqrt{2})}}{\sqrt{2}\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{(3+2\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}}{\sqrt{2}\sqrt{4-2}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{6-3\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \\
\end{align}
\begin{align}
\tan{22.5^{\circ}}&=\frac{1}{\sqrt{2}+1} \\
\\
&=\frac{1\cdot (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} \\
\\
&=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1} \\
\\
&=\sqrt{2}-1
\end{align}
と計算できる。

 直角三角形の各辺の長さを求めること自体は、そんなに難しくはないのですが、二重根号を分母に持つ分数の式変形が大変でした。
 
 もちろん、半角の公式を使うことで、
\begin{align}
\sin^2{22.5^{\circ}}&=\frac{1-\cos{45^{\circ}}}{2} \\
\\
&=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2} \\
\\
&=\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{(\sqrt{2}-1)\cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{2-\sqrt{2}}{4} \\
\end{align}
であり、$~\sin{22.5^{\circ}} > 0~$ より、
\begin{align}
\sin{22.5^{\circ}}&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
\end{align}
といった求め方でもOKです!!(というか、コッチの方が楽ですね)


Ⅲ 近似値

 最後にエクセルを使って、近似値を出してみましょう。
22.5°のエクセル上の値
 教科書に載っている「三角比の表」を見ると、
\begin{equation}
\sin{22^{\circ}}=0.3746~,~\sin{23^{\circ}}=0.3907
\end{equation}
なので、少しアバウトですが、確かめることができました。


 さすがにこれ以上細かい角である $~11.25^{\circ}=\displaystyle \frac{\pi}{16}~$を求める気は起きなかったので、このシリーズはこれで完結です!


 
 

他にもあります! 特殊な角の三角比↓
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