三角比の値 まとめ

 三角比の値に関するまとめページです。$~0^{\circ}$~$~90^{\circ}~$の中で割ときれいな式で表されるものを紹介しています。



三角比の値のまとめ

↓リンク先では、これらの数式の求め方や、Excel で計算した近似値を載せています。

$~\theta~$ $~\sin{\theta}~$ $~\cos{\theta}~$ $~\tan{\theta}~$
$~\displaystyle 0^{\circ}\left( =0 \right)~$ $~\displaystyle 0~$ $~\displaystyle 1~$ $~\displaystyle 0~$
$~\displaystyle 15^{\circ}\left(=\frac{\pi}{12}\right)~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}~$ $~\displaystyle 2-\sqrt{3}~$
$~\displaystyle 18^{\circ}\left(=\frac{\pi}{10}\right)~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}~$
$~\displaystyle 22.5^{\circ}\left(=\frac{\pi}{8}\right)~$ $~\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}~$ $~\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}~$ $~\displaystyle \sqrt{2}-1~$
$~\displaystyle 30^{\circ}\left(=\frac{\pi}{6}\right)~$ $~\displaystyle \frac{1}{2}~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}~$
$~\displaystyle 36^{\circ}\left(=\frac{\pi}{5}\right)~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}~$ $~\displaystyle \sqrt{5-2\sqrt{5}}~$
$~\displaystyle 45^{\circ}\left(=\frac{\pi}{4}\right)~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}~$ $~\displaystyle 1~$
$~\displaystyle 54^{\circ}\left(=\frac{3\pi}{10}\right)~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}~$
$~\displaystyle 60^{\circ}\left(=\frac{\pi}{3}\right)~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}~$ $~\displaystyle \frac{1}{2}~$ $~\displaystyle \sqrt{3}~$
$~\displaystyle 67.5^{\circ}\left(=\frac{3\pi}{8}\right)~$ $~\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}~$ $~\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}~$ $~\displaystyle \sqrt{2}+1~$
$~\displaystyle 72^{\circ}\left(=\frac{2\pi}{5}\right)~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}~$ $~\displaystyle \sqrt{5+2\sqrt{5}}~$
$~\displaystyle 75^{\circ}\left(=\frac{5\pi}{12}\right)~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}~$ $~\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}~$ $~\displaystyle 2+\sqrt{3}~$
$~\displaystyle 90^{\circ}\left( =\frac{\pi}{2} \right)~$ $~\displaystyle 1~$ $~\displaystyle 0~$ なし

※全て分母を有理化した形で表しています。
 
※$~0^{\circ}~,~15^{\circ}~,~30^{\circ}~,~45^{\circ}~,~60^{\circ}~,~90^{\circ}~$の三角比については、数学Ⅰの教科書に載っています。
 
※$~54^{\circ},~72^{\circ},~75^{\circ}~$の三角比の値については、
\begin{align}
\sin{(90^{\circ}-A)}&=\cos{A} \\
\cos{(90^{\circ}-A)}&=\sin{A} \\
\tan{(90^{\circ}-A)}&=\frac{1}{\tan{A}} \\
\end{align}
により、計算しています。(証明は、これまた数学Ⅰに教科書に。)


 他にもキレイな数式で表せる三角比が眠っているかもしれません。

   
 
 

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