三角比の値 まとめ

三角比・三角関数三角比・三角関数

 三角比の値に関するまとめページです。\(~0^{\circ}\)~\(~90^{\circ}~\)の中で割ときれいな式で表されるものを紹介しています。



三角比の値のまとめ

↓リンク先では、これらの数式の求め方や、Excel で計算した近似値を載せています。

\(~\theta~\) \(~\sin{\theta}~\) \(~\cos{\theta}~\) \(~\tan{\theta}~\)
\(~\displaystyle 0^{\circ}\left( =0 \right)~\) \(~\displaystyle 0~\) \(~\displaystyle 1~\) \(~\displaystyle 0~\)
\(~\displaystyle 15^{\circ}\left(=\frac{\pi}{12}\right)~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}~\) \(~\displaystyle 2-\sqrt{3}~\)
\(~\displaystyle 18^{\circ}\left(=\frac{\pi}{10}\right)~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}~\)
\(~\displaystyle 22.5^{\circ}\left(=\frac{\pi}{8}\right)~\) \(~\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}~\) \(~\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}~\) \(~\displaystyle \sqrt{2}-1~\)
\(~\displaystyle 30^{\circ}\left(=\frac{\pi}{6}\right)~\) \(~\displaystyle \frac{1}{2}~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}~\)
\(~\displaystyle 36^{\circ}\left(=\frac{\pi}{5}\right)~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}~\) \(~\displaystyle \sqrt{5-2\sqrt{5}}~\)
\(~\displaystyle 45^{\circ}\left(=\frac{\pi}{4}\right)~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}~\) \(~\displaystyle 1~\)
\(~\displaystyle 54^{\circ}\left(=\frac{3\pi}{10}\right)~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}~\)
\(~\displaystyle 60^{\circ}\left(=\frac{\pi}{3}\right)~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}~\) \(~\displaystyle \frac{1}{2}~\) \(~\displaystyle \sqrt{3}~\)
\(~\displaystyle 67.5^{\circ}\left(=\frac{3\pi}{8}\right)~\) \(~\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}~\) \(~\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}~\) \(~\displaystyle \sqrt{2}+1~\)
\(~\displaystyle 72^{\circ}\left(=\frac{2\pi}{5}\right)~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}~\) \(~\displaystyle \sqrt{5+2\sqrt{5}}~\)
\(~\displaystyle 75^{\circ}\left(=\frac{5\pi}{12}\right)~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}~\) \(~\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}~\) \(~\displaystyle 2+\sqrt{3}~\)
\(~\displaystyle 90^{\circ}\left( =\frac{\pi}{2} \right)~\) \(~\displaystyle 1~\) \(~\displaystyle 0~\) なし

※全て分母を有理化した形で表しています。
 
※\(~0^{\circ}~,~15^{\circ}~,~30^{\circ}~,~45^{\circ}~,~60^{\circ}~,~90^{\circ}~\)の三角比については、数学Ⅰの教科書に載っています。
 
※\(~54^{\circ},~72^{\circ},~75^{\circ}~\)の三角比の値については、
\begin{align}
\sin{(90^{\circ}-A)}&=\cos{A} \\
\cos{(90^{\circ}-A)}&=\sin{A} \\
\tan{(90^{\circ}-A)}&=\frac{1}{\tan{A}} \\
\end{align}
により、計算しています。(証明は、これまた数学Ⅰに教科書に。)


 他にもキレイな数式で表せる三角比が眠っているかもしれません。