【まとめ】三角比の値～マイナーな角度の三角比まで表形式で紹介～

　数学Ⅰの三角比では、$~\displaystyle \sin{30^{\circ}}=\frac{1}{2}~$や$~\displaystyle \cos{45^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{2}}~$のような三角定規に登場する角（有名角）を扱います。
　では有名角以外で、近似値を使わずに値が出る角はあるのでしょうか？

　実は、$~36^{\circ}~$や$~22.5^{\circ}~$などの三角比も値を正確に出すことができます。

　この記事では、それらのマイナーな角度の三角比を含めた三角比の表を掲載。

　個別ページでは、マイナーな角度の三角比の値の求め方をそれぞれ解説しているので、値だけでなく導出過程まで理解することができます。

 この記事を書いた人 

Fukusuke（ふくすけ）
数学史の先生

1. 現役の中学・高校数学教員
2. 著書2冊重刷、ブログ累計200万PV達成
3. ブログでは、式変形をとにかくていねいに記述

 この記事を書いた人 

Fukusuke（ふくすけ）
数学史の先生

• 現役の中学・高校数学教員
• 著書2冊重刷、ブログ累計200万PV達成
• ブログでは、式変形をとにかくていねいに記述
• 作図や文章校正、Texの打ち込みは文系妻が担当

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0°～45°の三角比

いろいろな角度の三角比の値を出すにあたって、必要なのは0°以上45°未満の角度のみです。
　というのも、三角比には様々な変換公式があるため、0°～45°の三角比さえわかっていれば、45°～360°は計算により求めることができます。（後述）

　0°～45°の中で、近似値を使わずに三角比の値が出せるものは、下の表１の通りです。

　$~0^{\circ}~,~30^{\circ}~,~45^{\circ}~$に関しては、数学Ⅰで学びますが、他の角度については通常学ぶことはありません。

　しかし、$~15^{\circ}~,~18^{\circ}~,~22.5^{\circ}~,~36^{\circ}~$のいずれも、数学Ⅰまでの知識で求めることができます。

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45°～360°の三角比

　0°～45°の三角比の値がわかれば、数学Ⅰや数学Ⅱで登場する公式を使って、残りの角度は変換することができます。

45°～90°の三角比

　使う公式は、数学Ⅰで学ぶ以下の公式。

\begin{align*}
\sin{(90^{\circ}-\theta)}&=\cos{\theta}  \\
\cos{(90^{\circ}-\theta)}&=\sin{\theta}  \\
\tan{(90^{\circ}-\theta)}&=\frac{1}{\tan{\theta}}  \\
\end{align*}

この$~90^{\circ}-\theta~$の三角比を使うことで、

\sin{54^{\circ}}=\sin{(90^{\circ}-36^{\circ})}=\cos{36^{\circ}}  

のように、45°～90°の三角比を求めることができます。

　実際に変換したのが、次の表２です。

90°～180°の三角比

　これで 0°～90° の三角比の値がわかったため、次は180°まで拡張します。

\begin{align*}
\sin{(180^{\circ}-\theta)}&=\sin{\theta}  \\
\cos{(180^{\circ}-\theta)}&=-\cos{\theta}  \\
\tan{(180^{\circ}-\theta)}&=-\tan{\theta}  \\
\end{align*}

この$~180^{\circ}-\theta~$の三角比を使うことで、

\sin{112.5^{\circ}}=\sin{(180^{\circ}-67.5^{\circ})}=\sin{67.5^{\circ}}  

のように、90°～180°の三角比を求めることができます。

　実際に変換したのが、次の表３です。

180°～360°の三角比

　最後は、数学Ⅱで出てくる公式を使います。

\begin{align*}
\sin{(180^{\circ}+\theta)}&=-\sin{\theta}  \\
\cos{(180^{\circ}+\theta)}&=-\cos{\theta}  \\
\tan{(180^{\circ}+\theta)}&=\tan{\theta}  \\
\end{align*}

この$~180^{\circ}+\theta~$の三角比を使うことで、

\sin{285^{\circ}}=\sin{(180^{\circ}+105^{\circ})}=-\sin{105^{\circ}}  

のように、180°～360°の三角比を求めることができます。

　実際に変換したのが、次の表４です。

3の倍数の角度であれば、三角比の値は出せる

　ここからはオマケになりますが、これまでに出てきた三角比の値を組み合わせることで、3の倍数の角度の三角比の値を求めることができます。

3°の三角比の値

　例として、$~15^{\circ}~$と$~18^{\circ}~$の三角比の値を、三角関数の加法定理で組み合わせることで、$~3^{\circ}~$の三角比の値を求めることができます。

\begin{align*}
\sin{3^{\circ}}&=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})-\sqrt{10+2\sqrt{5}}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{16}  \\
\\
\cos{3^{\circ}}&=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{6}-\sqrt{2})-\sqrt{10+2\sqrt{5}}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{16}  \\
\\
\tan{3^{\circ}}&=\frac{2(2\sqrt{5-2\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1)(2-\sqrt{3})}{\sqrt{5}-(\sqrt{5}-2)(7-4\sqrt{3})}
\end{align*}

　本当に値が正しいのかを検証するために、Excelで計算をしてみると、以下の＜図５＞のようになります。

　求め方の概要は以下の通り。

\sin{3^{\circ}}=\sin{(18^{\circ}-15^{\circ})}=\sin{18^\circ}\cos{15^{\circ}}+\cos{18^\circ}\sin{15^{\circ}}

　三角関数の加法定理を使うことで、3°の三角比を求めることができます。

3の倍数の角度の作り方

　実際、以下のような組み合わせ方で、値を求めることができます。

\begin{align*}
3^{\circ}&=18^{\circ}-15^{\circ}\\
6^{\circ}&=36^{\circ}-30^{\circ}\\
9^{\circ}&=45^{\circ}-36^{\circ}\\
12^{\circ}&=30^{\circ}-18^{\circ}\\
15^{\circ}& \cdots既知\\
18^{\circ}& \cdots既知\\
21^{\circ}&=36^{\circ}-15^{\circ}\\
24^{\circ}&=54^{\circ}-30^{\circ}\\
27^{\circ}&=45^{\circ}-18^{\circ}\\
30^{\circ}& \cdots既知\\
33^{\circ}&=15^{\circ}+18^{\circ}\\
36^{\circ}& \cdots既知\\
39^{\circ}&=54^{\circ}-15^{\circ}\\
42^{\circ}&=60^{\circ}-18^{\circ}\\
45^{\circ}& \cdots既知\\
\end{align*}

　もちろん、他の組み合わせ方もありますし、2倍角や3倍角の公式を使っても求まります。
　また、$~90^{\circ}-\theta~$の三角比などの公式を使えば、3の倍数の角度すべてについて、三角比の値を求めることができます。

ただ、3°の三角比を見てわかるように、複雑な式が出てくるので、覚悟して計算しましょう。

もし、$~22.5^{\circ}~$の三角比まで利用すれば、$~22.5^{\circ}-18^{\circ}=4.5^{\circ}~$の三角比の値とかも求まるってこと？

うん。そういうことになるね。計算したくはないけど‥‥。