【証明あり】単位分数分解のやり方を解説！単位分数の和は無限通りに表せる！

　分数を、異なる単位分数の和で表すことを単位分数分解という。

(1)　$~\displaystyle \frac{5}{6}~$の単位分数分解

\frac{5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}

(2)　$~\displaystyle \frac{1}{2}~$の単位分数分解

\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}

①　もとの分数から、それより小さい最大の単位分数をひく。

②　その結果が単位分数なら終了。単位分数でないなら、その分数より小さい最大の単位分数をひく。

③　②を繰り返す。

(1)　$~\displaystyle \frac{1}{4}~$の単位分数分解

①　$~\displaystyle \frac{1}{4}~$より小さい最大の単位分数は、$~\displaystyle \frac{1}{5}~$なので、

\begin{align*}
\frac{1}{4}-\frac{1}{5}&=\frac{1}{20} \\
\\
\therefore ~~~ \frac{1}{4}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}
\end{align*}

②　$~\displaystyle \frac{1}{20}~$は単位分数のため、分解終了。

(2)　$~\displaystyle \frac{2}{11}~$の単位分数分解

①　$~\displaystyle \frac{2}{11}=\frac{1}{5.5}~$より小さい最大の単位分数は、$~\displaystyle \frac{1}{6}~$なので、

\begin{align*}
\frac{2}{11}-\frac{1}{6}&=\frac{1}{66} \\
\\
\therefore ~~~ \frac{2}{11}&=\frac{1}{6}+\frac{1}{66}
\end{align*}

②　$~\displaystyle \frac{1}{66}~$は単位分数のため、分解終了。

(3)　$~\displaystyle \frac{9}{10}~$の単位分数分解

①　$~\displaystyle \frac{9}{10}=\frac{1}{1.11\cdots}~$より小さい最大の単位分数は、$~\displaystyle \frac{1}{2}~$なので、

\begin{align*}
\frac{9}{10}-\frac{1}{2}&=\frac{2}{5} \\
\\
\therefore ~~~ \frac{9}{10}&=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}
\end{align*}

②　$~\displaystyle \frac{2}{5}~$は単位分数ではない。

　　$~\displaystyle \frac{2}{5}=\frac{1}{2.5}~$より小さい最大の単位分数は$~\displaystyle \frac{1}{3}~$なので、

\begin{align*}
\frac{2}{5}-\frac{1}{3}&=\frac{1}{15} \\
\\
\therefore ~~~ \frac{2}{5}&=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}
\end{align*}

③　$~\displaystyle \frac{1}{15}~$は単位分数のため、分解終了。
　　②で出た式を①に代入して、

\frac{9}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}

が得られる。

(4)　$~\displaystyle \frac{97}{99}~$の単位分数分解

①　$~\displaystyle \frac{97}{99}=\frac{1}{1.02\cdots}~$より小さい最大の単位分数は、$~\displaystyle \frac{1}{2}~$なので、

\begin{align*}
\frac{97}{99}-\frac{1}{2}&=\frac{95}{198} \\
\\
\therefore ~~~ \frac{97}{99}&=\frac{1}{2}+\frac{95}{198}
\end{align*}

②　$~\displaystyle \frac{95}{198}~$は単位分数ではない。

　　$~\displaystyle \frac{95}{198}=\frac{1}{2.08\cdots}~$より小さい最大の単位分数は$~\displaystyle \frac{1}{3}~$なので、

\begin{align*}
\frac{95}{198}-\frac{1}{3}&=\frac{29}{198} \\
\\
\therefore ~~~ \frac{95}{198}&=\frac{1}{3}+\frac{29}{198}
\end{align*}

③　$~\displaystyle \frac{29}{198}~$は単位分数ではない。

　　$~\displaystyle \frac{29}{198}=\frac{1}{6.82\cdots}~$より小さい最大の単位分数は$~\displaystyle \frac{1}{7}~$なので、

\begin{align*}
\frac{29}{198}-\frac{1}{7}&=\frac{5}{1386} \\
\\
\therefore ~~~ \frac{29}{198}&=\frac{1}{7}+\frac{5}{1386}
\end{align*}

④　$~\displaystyle \frac{5}{1386}~$は単位分数ではなく、$~\displaystyle \frac{5}{1386}=\frac{1}{277.2}~$より小さい最大の単位分数は$~\displaystyle \frac{1}{278}~$なので、

\begin{align*}
\frac{5}{1386}-\frac{1}{278}&=\frac{1}{96327} \\
\\
\therefore ~~~ \frac{5}{1386}&=\frac{1}{278}+\frac{1}{96327}
\end{align*}

⑤　$~\displaystyle \frac{1}{96327}~$は単位分数のため、分解終了。

　　①～④の式をつなげていくことで、

\frac{97}{99}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{278}+\frac{1}{96327}

が得られる。

①　もとの分数$~\displaystyle \frac{1}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}~~~( x < y )~$とおく。

②　$~x~$にあてはまる可能性のある自然数^※を求める。

③　$~x~$をそれぞれ代入し、そのときの$~y~$の値が自然数（$~\displaystyle ~\frac{1}{y}~$が単位分数)なら終了し、そうでなければその分数について(1)から同じ作業を行っていく。

※$~x~$にあてはまる可能性のある自然数は、$~n~$より大きく、$~2n~$より小さい分数となります。（理由は例②を参照）

$~\displaystyle \frac{1}{4}~$の単位分数分解

①　$~\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}~~~( x < y )~$とおく。

②　$~x \le 4~$では、$~\displaystyle \frac{1}{x} \ge \frac{1}{4}~$のため、

\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{1}{4}+\frac{1}{y}

となり、$~\displaystyle 0 \ge \frac{1}{y}~$は不適。
 
　また、$~8 \le x~$では、$~\displaystyle \frac{1}{8} \ge \frac{1}{x}~$のため、

\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le \frac{1}{8}+\frac{1}{y}

となり、$~\displaystyle \frac{1}{x} \le \frac{1}{8} \le \frac{1}{y}~$は$~ x > y~$に不適。
 
　よって、あてはまる$~x~$の条件は$~4 < x < 8~$となるため、$~x=5~,~6~,~7~$である。

③　それぞれの$~x~$を代入し、$~y~$を求めていく。
 
(ⅰ)　$~x=5~$のとき、

\begin{align*}
\frac{1}{4}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{y} \\
\\
\therefore~~~\frac{1}{4}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{20} \\
\end{align*}

より、単位分数分解終了。

 
(ⅱ)　$~x=6~$のとき、

\begin{align*}
\frac{1}{4}&=\frac{1}{6}+\frac{1}{y} \\
\\
\therefore~~~\frac{1}{4}&=\frac{1}{6}+\frac{1}{12} \\
\end{align*}

より、単位分数分解終了。

(ⅲ)　$~x=7~$のとき、

\begin{align*}
\frac{1}{4}&=\frac{1}{7}+\frac{1}{y} \\
\\
\therefore~~~\frac{1}{4}&=\frac{1}{7}+\frac{3}{28} \\
\end{align*}

なので、$~\displaystyle \frac{3}{28}~$の単位分数分解を行っていく。

①　$~\displaystyle \frac{3}{28}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}~~~( a < b )~$とおく。

②　$~a~$にあてはまる自然数は、$~9.33\cdots < a < 18.66\cdots~$より、$~a=10~,~11~,~12~,\cdots,~18~$である。

③　それぞれの$~a~$を代入し、$~b~$を求めていく。
 
(ⅰ)　$~a=10~$のとき、

\begin{align*}
\frac{3}{28}&=\frac{1}{10}+\frac{1}{y} \\
\\
\therefore~~~\frac{3}{28}&=\frac{1}{10}+\frac{1}{140} \\
\end{align*}

より単位分数分解終了で、もとの③(ⅲ)に代入すると、

\frac{1}{4}=\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\frac{1}{140}

となる。

 
(ⅱ) $~a=11~$のとき、

\begin{align*}
\frac{3}{28}&=\frac{1}{11}+\frac{1}{y} \\
\\
\therefore~~~\frac{3}{28}&=\frac{1}{11}+\frac{5}{308} \\
\end{align*}

より、$~\displaystyle \frac{5}{308}~$の単位分数分解を行っていく・・・。

‥‥以下略‥‥

　単位分数分解に関して、以下の2つの命題が成り立つ。

(1)　すべての分数は単位分数分解できる。

(2)　単位分数分解の方法は無限通りある。

　$~m~,~n~$を自然数として、分解したい任意の分数を$~\displaystyle \frac{n}{m}~$とおく。
 
　分母$~m~$を固定し、$~\displaystyle \frac{n}{m}~$が異なる単位分数の和として表されることを数学的帰納法で示す。
 
　$~n=1~$のときを考える。

　$~\displaystyle \frac{1}{m}~$を式変形すると、

\begin{align*}
\frac{1}{m}&=\frac{m+1}{m(m+1)} \\
\\
&=\frac{m}{m(m+1)}+\frac{1}{m(m+1)} \\
\\
&=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}~~~~\cdots ①
\end{align*}

となり、$~m > 1~$で$~m+1 < m(m+1)~$となるため、異なる単位分数の和として表される。

　$~m=1~$のときについては、$①$より

\frac{1}{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}~~~~\cdots ②

となってしまうが、$①$に$~m=2~$を代入すると、

\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}~~~~\cdots ③

であり、$③$を$②$の2つめの$~\displaystyle \frac{1}{2}~$に代入することで、

\frac{1}{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}

となり、異なる単位分数の和として表される。

 
　以上より、$~n=1~$のとき、すなわち、すべての$~m~$について$~\displaystyle \frac{1}{m}~$が異なる単位分数の和として表されることが言えた。

 
$~n=k~$のとき、すなわち、$~\displaystyle \frac{k}{m}~$が異なる単位分数の和として表されることを仮定する。ここで、$~n=k+1~$のときを考える。

\frac{k+1}{m}=\frac{1}{m}+\frac{k}{m}

より、$①$を代入することで、

\frac{k+1}{m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}+\frac{k}{m}~~~~\cdots④

　仮定より、$~\displaystyle \frac{k}{m}~$は異なる単位分数の和として表される。

　その中に$~\displaystyle \frac{1}{m+1}~$や$~\displaystyle \frac{1}{m(m+1)}~$が含まれていなければ、$④$により$~n=k+1~$のときも異なる単位分数の和として表されることが言える。
 
　しかし、$~\displaystyle \frac{k}{m}~$に例えば$~\displaystyle \frac{1}{m+1}~$が含まれている場合、すなわち

\frac{k}{m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell} \\
~\\
(~a_1~,\cdots,a_\ell~は~m+1~以外のそれぞれ異なる自然数）

と表され、この式を$④$に代入して、

\frac{k+1}{m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell}~~~~\cdots⑤

となる。

　ここで、$~\displaystyle \frac{1}{m+1}~$の重複を避けるべく、$①$の$~m~$に$~m+1~$を適用すると、

\begin{align*}
\frac{1}{m+1}&=\frac{1}{(m+1)+1}+\frac{1}{(m+1)(m+1+1)} \\
\\
&=\frac{1}{m+2}+\frac{1}{(m+1)(m+2)}~~~~\cdots ⑥
\end{align*}

なので、$⑥$を$⑤$の2つ目の$~\displaystyle \frac{1}{m+1}~$に代入して、

\frac{k+1}{m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}+\frac{1}{m+2}+\frac{1}{(m+1)(m+2)}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell}~~~~\cdots⑦

と表せる。
 
　$⑦$の右辺に再度重複する単位分数があれば、$⑥$のような式を再度作って代入していくことで、いずれは異なる単位分数の和で右辺を表すことができる。
 
　以上より、$~n=k+1~$のとき、すなわち、$~\displaystyle \frac{k+1}{m}~$が異なる単位分数の和として表されることが言えた。
 
　したがって数学的帰納法より、命題(1)は示された。$~~~\blacksquare~$

　また、異なる単位分数の和で表された後も、$⑥$のような式を作って、$⑦$のような式に代入していけば、単位分数をより細かくした式が無限に生成されるため、命題(2)も示されたことになる。$~~~\blacksquare~$

　$~\displaystyle \frac{n}{3}~$の単位分数分解（$~m=3~$のとき）
 
　$~n=1~$のときを考える。
　$①$より、

\begin{align*}
\frac{1}{3}&=\frac{1}{3+1}+\frac{1}{3 \cdot (3+1)} \\
\\
&=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}~\cdots ⑧
\end{align*}

となるため、異なる単位分数の和として表された。

$~\displaystyle \frac{1}{3}~$が異なる単位分数の和として表されたので、$~\displaystyle \frac{2}{3}~$を考える。

\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}

より、$⑧$を2つ目のの$~\displaystyle \frac{1}{3}~$に代入して、

\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\cdots ⑨

となるため、異なる単位分数の和として表された。
 
$~\displaystyle \frac{2}{3}~$が異なる単位分数の和として表されたので、$~\displaystyle \frac{3}{3}~$を考える。

\frac{3}{3}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}

より、$⑨$を代入すると、

\frac{3}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}

となり、$~\displaystyle \frac{1}{3}~$が重複している。

　そこで、2つめの$~\displaystyle \frac{1}{3}~$に$⑧$を代入すると、

\frac{3}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}~\cdots ⑩

であり、今度は$~\displaystyle \frac{1}{4}~$と$~\displaystyle \frac{1}{12}~$が重複している。

　$①$の$~m~$に$~4~,~12~$をそれぞれ適用すると、

\begin{align*}
\frac{1}{4}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{20} \\
\\
\frac{1}{12}&=\frac{1}{13}+\frac{1}{156}
\end{align*}

なので、これらを$⑩$に代入すると、

\frac{3}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}+\frac{1}{13}+\frac{1}{156}~~~\cdots ⑪

となるため、異なる単位分数の和として表された。
 
　これを$~n=4~,~n=5~,\cdots~$と繰り返していくのが、命題(1)の数学的帰納法による証明の内容である。

　また、$①$の$~m~$に$~5~$を適用すると、

\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}

なので、これを$⑪$に代入すると、

\frac{3}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{13}+\frac{1}{156}

となり、単位分数をより細かくした式が生成された。
 
　これを無限に行えば、無限通りの分解できるというのが、命題(2)の証明の内容である。