単位分数分解（方法編）

・\(~\displaystyle \frac{1}{4}~\)の単位分数分解

(1)　\(~\displaystyle \frac{1}{4}~\)より小さい最大の単位分数は、\(~\displaystyle \frac{1}{5}~\)なので、
\begin{align}
\frac{1}{4}-\frac{1}{5}&=\frac{1}{20} \\
\therefore ~~~ \frac{1}{4}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}
\end{align}

(2)　\(~\displaystyle \frac{1}{20}~\)は単位分数のため、分解終了。

・\(~\displaystyle \frac{2}{11}~\)の単位分数分解

(1)　\(~\displaystyle \frac{2}{11}=\frac{1}{5.5}~\)より小さい最大の単位分数は、\(~\displaystyle \frac{1}{6}~\)なので、
\begin{align}
\frac{2}{11}-\frac{1}{6}&=\frac{1}{66} \\
\therefore ~~~ \frac{2}{11}&=\frac{1}{6}+\frac{1}{66}
\end{align}

(2)　\(~\displaystyle \frac{1}{66}~\)は単位分数のため、分解終了。

・\(~\displaystyle \frac{9}{10}~\)の単位分数分解

(1)　\(~\displaystyle \frac{9}{10}=\frac{1}{1.11\cdots}~\)より小さい最大の単位分数は、\(~\displaystyle \frac{1}{2}~\)なので、
\begin{align}
\frac{9}{10}-\frac{1}{2}&=\frac{2}{5} \\
\therefore ~~~ \frac{9}{10}&=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}
\end{align}

(2)　\(~\displaystyle \frac{2}{5}~\)は単位分数ではなく、\(~\displaystyle \frac{2}{5}=\frac{1}{2.5}~\)より小さい最大の単位分数は\(~\displaystyle \frac{1}{3}~\)なので、
\begin{align}
\frac{2}{5}-\frac{1}{3}&=\frac{1}{15} \\
\therefore ~~~ \frac{2}{5}&=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}
\end{align}

(3)　\(~\displaystyle \frac{1}{15}~\)は単位分数のため、分解終了。(2)で出た式を(1)に代入して、
\begin{equation}
\frac{9}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}
\end{equation}
が得られる。

・\(~\displaystyle \frac{97}{99}~\)の単位分数分解

(1)　\(~\displaystyle \frac{97}{99}=\frac{1}{1.02\cdots}~\)より小さい最大の単位分数は、\(~\displaystyle \frac{1}{2}~\)なので、
\begin{align}
\frac{97}{99}-\frac{1}{2}&=\frac{95}{198} \\
\therefore ~~~ \frac{97}{99}&=\frac{1}{2}+\frac{95}{198}
\end{align}

(2)　\(~\displaystyle \frac{95}{198}~\)は単位分数ではなく、\(~\displaystyle \frac{95}{198}=\frac{1}{2.08\cdots}~\)より小さい最大の単位分数は\(~\displaystyle \frac{1}{3}~\)なので、
\begin{align}
\frac{95}{198}-\frac{1}{3}&=\frac{29}{198} \\
\therefore ~~~ \frac{95}{198}&=\frac{1}{3}+\frac{29}{198}
\end{align}

(3)　\(~\displaystyle \frac{29}{198}~\)は単位分数ではなく、\(~\displaystyle \frac{29}{198}=\frac{1}{6.82\cdots}~\)より小さい最大の単位分数は\(~\displaystyle \frac{1}{7}~\)なので、
\begin{align}
\frac{29}{198}-\frac{1}{7}&=\frac{5}{1386} \\
\therefore ~~~ \frac{29}{198}&=\frac{1}{7}+\frac{5}{1386}
\end{align}

(4)　\(~\displaystyle \frac{5}{1386}~\)は単位分数ではなく、\(~\displaystyle \frac{5}{1386}=\frac{1}{277.2}~\)より小さい最大の単位分数は\(~\displaystyle \frac{1}{278}~\)なので、
\begin{align}
\frac{5}{1386}-\frac{1}{278}&=\frac{1}{96327} \\
\therefore ~~~ \frac{5}{1386}&=\frac{1}{278}+\frac{1}{96327}
\end{align}

(5)　\(~\displaystyle \frac{1}{96327}~\)は単位分数のため、分解終了。(1)～(4)の式をつなげていくことで、
\begin{equation}
\frac{97}{99}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{278}+\frac{1}{96327}
\end{equation}
が得られる。

・\(~\displaystyle \frac{1}{4}~\)の単位分数分解

(1)　\(~\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}~~~( x < y )~\)とおく。

(2)　\(~x \le 4~\)では、\(~\displaystyle \frac{1}{x} \ge \frac{1}{4}~\)のため、
\begin{equation}
\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{1}{4}+\frac{1}{y}
\end{equation}
となり、\(~\displaystyle 0 \ge \frac{1}{y}~\)は不適。
 
　また、\(~8 \le x~\)では、\(~\displaystyle \frac{1}{8} \ge \frac{1}{x}~\)のため、
\begin{equation}
\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le \frac{1}{8}+\frac{1}{y}
\end{equation}
となり、\(~\displaystyle \frac{1}{x} \le \frac{1}{8} \le \frac{1}{y}~\)は\(~ x > y~\)に不適。
 
　よって、\(~4 < x < 8~\)を満たす自然数は、\(~x=5~,~6~,~7~\)である。

(3)　それぞれの\(~x~\)を代入し、\(~y~\)を求めていく。
 
(ⅰ)\(~x=5~\)のとき、
\begin{align}
\frac{1}{4}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{1}{4}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{20} \\
\end{align}
より単位分数分解終了。
 
(ⅱ)\(~x=6~\)のとき、
\begin{align}
\frac{1}{4}&=\frac{1}{6}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{1}{4}&=\frac{1}{6}+\frac{1}{12} \\
\end{align}
より単位分数分解終了。
 
(ⅲ)\(~x=7~\)のとき、
\begin{align}
\frac{1}{4}&=\frac{1}{7}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{1}{4}&=\frac{1}{7}+\frac{3}{28} \\
\end{align}
より、今度は\(~\displaystyle \frac{3}{28}=\frac{1}{9.33\cdots}~\)について同じ作業を行っていく。

(1′)　\(~\displaystyle \frac{3}{28}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}~~~( a < b )~\)とおく。

(2′)　\(~a~\)にあてはまる自然数は、\(~9.33\cdots < a < 18.66\cdots~\)より、\(~a=10~,~11~,~12~,\cdots,~18~\)である。

(3′)　それぞれの\(~a~\)を代入し、\(~b~\)を求めていく。
 
(ⅰ’)\(~a=10~\)のとき、
\begin{align}
\frac{3}{28}&=\frac{1}{10}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{3}{28}&=\frac{1}{10}+\frac{1}{140} \\
\end{align}
より単位分数分解終了で、もとの(3)(ⅲ)に代入すると、
\begin{equation}
\frac{1}{4}=\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\frac{1}{140}
\end{equation}
となる。
 
(ⅱ’)\(~a=11~\)のとき、
\begin{align}
\frac{3}{28}&=\frac{1}{11}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{3}{28}&=\frac{1}{11}+\frac{5}{308} \\
\end{align}
より、\(~\displaystyle \frac{5}{308}~\)について同じ作業を行っていく・・・。

以下略