【証明あり】単位分数分解のやり方を解説！すべての分数は無限通りに分解できる！

・$~\displaystyle \frac{1}{4}~$の単位分数分解

(1)　$~\displaystyle \frac{1}{4}~$より小さい最大の単位分数は、$~\displaystyle \frac{1}{5}~$なので、
\begin{align}
\frac{1}{4}-\frac{1}{5}&=\frac{1}{20} \\
\therefore ~~~ \frac{1}{4}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}
\end{align}

(2)　$~\displaystyle \frac{1}{20}~$は単位分数のため、分解終了。

(1)　$~\displaystyle \frac{2}{11}=\frac{1}{5.5}~$より小さい最大の単位分数は、$~\displaystyle \frac{1}{6}~$なので、
\begin{align}
\frac{2}{11}-\frac{1}{6}&=\frac{1}{66} \\
\therefore ~~~ \frac{2}{11}&=\frac{1}{6}+\frac{1}{66}
\end{align}

(2)　$~\displaystyle \frac{1}{66}~$は単位分数のため、分解終了。

(1)　$~\displaystyle \frac{9}{10}=\frac{1}{1.11\cdots}~$より小さい最大の単位分数は、$~\displaystyle \frac{1}{2}~$なので、
\begin{align}
\frac{9}{10}-\frac{1}{2}&=\frac{2}{5} \\
\therefore ~~~ \frac{9}{10}&=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}
\end{align}

(2)　$~\displaystyle \frac{2}{5}~$は単位分数ではなく、$~\displaystyle \frac{2}{5}=\frac{1}{2.5}~$より小さい最大の単位分数は$~\displaystyle \frac{1}{3}~$なので、
\begin{align}
\frac{2}{5}-\frac{1}{3}&=\frac{1}{15} \\
\therefore ~~~ \frac{2}{5}&=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}
\end{align}

(3)　$~\displaystyle \frac{1}{15}~$は単位分数のため、分解終了。(2)で出た式を(1)に代入して、
\begin{equation}
\frac{9}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}
\end{equation}
が得られる。

(1)　$~\displaystyle \frac{97}{99}=\frac{1}{1.02\cdots}~$より小さい最大の単位分数は、$~\displaystyle \frac{1}{2}~$なので、
\begin{align}
\frac{97}{99}-\frac{1}{2}&=\frac{95}{198} \\
\therefore ~~~ \frac{97}{99}&=\frac{1}{2}+\frac{95}{198}
\end{align}

(2)　$~\displaystyle \frac{95}{198}~$は単位分数ではなく、$~\displaystyle \frac{95}{198}=\frac{1}{2.08\cdots}~$より小さい最大の単位分数は$~\displaystyle \frac{1}{3}~$なので、
\begin{align}
\frac{95}{198}-\frac{1}{3}&=\frac{29}{198} \\
\therefore ~~~ \frac{95}{198}&=\frac{1}{3}+\frac{29}{198}
\end{align}

(3)　$~\displaystyle \frac{29}{198}~$は単位分数ではなく、$~\displaystyle \frac{29}{198}=\frac{1}{6.82\cdots}~$より小さい最大の単位分数は$~\displaystyle \frac{1}{7}~$なので、
\begin{align}
\frac{29}{198}-\frac{1}{7}&=\frac{5}{1386} \\
\therefore ~~~ \frac{29}{198}&=\frac{1}{7}+\frac{5}{1386}
\end{align}

(4)　$~\displaystyle \frac{5}{1386}~$は単位分数ではなく、$~\displaystyle \frac{5}{1386}=\frac{1}{277.2}~$より小さい最大の単位分数は$~\displaystyle \frac{1}{278}~$なので、
\begin{align}
\frac{5}{1386}-\frac{1}{278}&=\frac{1}{96327} \\
\therefore ~~~ \frac{5}{1386}&=\frac{1}{278}+\frac{1}{96327}
\end{align}

(5)　$~\displaystyle \frac{1}{96327}~$は単位分数のため、分解終了。(1)～(4)の式をつなげていくことで、
\begin{equation}
\frac{97}{99}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{278}+\frac{1}{96327}
\end{equation}
が得られる。

・$~\displaystyle \frac{1}{4}~$の単位分数分解

(1)　$~\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}~~~( x < y )~$とおく。

(2)　$~x \le 4~$では、$~\displaystyle \frac{1}{x} \ge \frac{1}{4}~$のため、
\begin{equation}
\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{1}{4}+\frac{1}{y}
\end{equation}
となり、$~\displaystyle 0 \ge \frac{1}{y}~$は不適。
 
　また、$~8 \le x~$では、$~\displaystyle \frac{1}{8} \ge \frac{1}{x}~$のため、
\begin{equation}
\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le \frac{1}{8}+\frac{1}{y}
\end{equation}
となり、$~\displaystyle \frac{1}{x} \le \frac{1}{8} \le \frac{1}{y}~$は$~ x > y~$に不適。
 
　よって、$~4 < x < 8~$を満たす自然数は、$~x=5~,~6~,~7~$である。

(3)　それぞれの$~x~$を代入し、$~y~$を求めていく。
 
(ⅰ)$~x=5~$のとき、
\begin{align}
\frac{1}{4}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{1}{4}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{20} \\
\end{align}
より単位分数分解終了。
 
(ⅱ)$~x=6~$のとき、
\begin{align}
\frac{1}{4}&=\frac{1}{6}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{1}{4}&=\frac{1}{6}+\frac{1}{12} \\
\end{align}
より単位分数分解終了。
 
(ⅲ)$~x=7~$のとき、
\begin{align}
\frac{1}{4}&=\frac{1}{7}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{1}{4}&=\frac{1}{7}+\frac{3}{28} \\
\end{align}
より、今度は$~\displaystyle \frac{3}{28}=\frac{1}{9.33\cdots}~$について同じ作業を行っていく。

(1′)　$~\displaystyle \frac{3}{28}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}~~~( a < b )~$とおく。

(2′)　$~a~$にあてはまる自然数は、$~9.33\cdots < a < 18.66\cdots~$より、$~a=10~,~11~,~12~,\cdots,~18~$である。

(3′)　それぞれの$~a~$を代入し、$~b~$を求めていく。
 
(ⅰ’)$~a=10~$のとき、
\begin{align}
\frac{3}{28}&=\frac{1}{10}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{3}{28}&=\frac{1}{10}+\frac{1}{140} \\
\end{align}
より単位分数分解終了で、もとの(3)(ⅲ)に代入すると、
\begin{equation}
\frac{1}{4}=\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\frac{1}{140}
\end{equation}
となる。
 
(ⅱ’)$~a=11~$のとき、
\begin{align}
\frac{3}{28}&=\frac{1}{11}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{3}{28}&=\frac{1}{11}+\frac{5}{308} \\
\end{align}
より、$~\displaystyle \frac{5}{308}~$について同じ作業を行っていく・・・。

以下略