単位分数分解(方法編)

数学雑学式と計算数学雑学

すべての分数は、単位分数(分子が\(~1~\)の分数)の和に分解することができます。この記事では、その分解方法を2通り紹介します。

Ⅰ 単位分数分解とは?

 まず、本記事で扱う「単位分数分解」の定義を確認しておきます。

単位分数分解

 \(~1~\)より小さい分数を、異なる単位分数(分子が\(~1~\)の分数)の和で表すことを単位分数分解という。

 例を2つほど挙げると、
\begin{align}
\frac{5}{6}&=\frac{1}{2}+\frac{1}{3} ~~~~\cdots ① \\
\\
\frac{1}{2}&=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20} ~~~~\cdots ②
\end{align}
というような式変形となります。
 
 ここで、注意点を2つ述べておきます。それは

  • 単位分数分解は1通りではない。
  • 同じ単位分数は使えない。

です。
 
 1つ目の注意点については、先ほどの\(②\)の式を\(①\)に代入することで、
\begin{equation}
\frac{5}{6}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}+\frac{1}{3}
\end{equation}
と2通りで表せてしまうことに気付けるでしょう。
 実を言うと、単位分数分解の方法は無限通りあります。(→「単位分数分解(証明編)」)
 
 2つめの注意点については、例えば\(~\displaystyle \frac{11}{12}~\)を単位分数分解するときに、
\begin{equation}
\frac{11}{12}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}
\end{equation}
としても、結局は
\begin{equation}
\frac{11}{12}=\frac{2}{3}+\frac{1}{4}
\end{equation}
と即時にまとめられてしまうため、単位分数とは言い難いです。※

※もちろん、本記事における「単位分数分解」の定義に従ったことなので、\(~\displaystyle \frac{2}{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}~\)も単位分数分解の1種として定義する場合もあります。


Ⅱ 単位分数分解の方法①

 では、実際に単位分数分解の方法をしていきます。
 
 1つ目は、機械的に分解していく方法です。

単位分数分解の方法①

(1) もとの分数から、それより小さい最大の単位分数をひく。

(2) その結果が単位分数なら終了し、単位分数でないなら、その分数より小さい最大の単位分数をひく。

(3) (2)を繰り返す。

 ↑↑文章だけで説明しようとするとわかりづらいので、例を4つほど見てみましょう。

・\(~\displaystyle \frac{1}{4}~\)の単位分数分解

(1) \(~\displaystyle \frac{1}{4}~\)より小さい最大の単位分数は、\(~\displaystyle \frac{1}{5}~\)なので、
\begin{align}
\frac{1}{4}-\frac{1}{5}&=\frac{1}{20} \\
\therefore ~~~ \frac{1}{4}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}
\end{align}

(2) \(~\displaystyle \frac{1}{20}~\)は単位分数のため、分解終了。


・\(~\displaystyle \frac{2}{11}~\)の単位分数分解

(1) \(~\displaystyle \frac{2}{11}=\frac{1}{5.5}~\)より小さい最大の単位分数は、\(~\displaystyle \frac{1}{6}~\)なので、
\begin{align}
\frac{2}{11}-\frac{1}{6}&=\frac{1}{66} \\
\therefore ~~~ \frac{2}{11}&=\frac{1}{6}+\frac{1}{66}
\end{align}

(2) \(~\displaystyle \frac{1}{66}~\)は単位分数のため、分解終了。


・\(~\displaystyle \frac{9}{10}~\)の単位分数分解

(1) \(~\displaystyle \frac{9}{10}=\frac{1}{1.11\cdots}~\)より小さい最大の単位分数は、\(~\displaystyle \frac{1}{2}~\)なので、
\begin{align}
\frac{9}{10}-\frac{1}{2}&=\frac{2}{5} \\
\therefore ~~~ \frac{9}{10}&=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}
\end{align}

(2) \(~\displaystyle \frac{2}{5}~\)は単位分数ではなく、\(~\displaystyle \frac{2}{5}=\frac{1}{2.5}~\)より小さい最大の単位分数は\(~\displaystyle \frac{1}{3}~\)なので、
\begin{align}
\frac{2}{5}-\frac{1}{3}&=\frac{1}{15} \\
\therefore ~~~ \frac{2}{5}&=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}
\end{align}

(3) \(~\displaystyle \frac{1}{15}~\)は単位分数のため、分解終了。(2)で出た式を(1)に代入して、
\begin{equation}
\frac{9}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}
\end{equation}
が得られる。


・\(~\displaystyle \frac{97}{99}~\)の単位分数分解

(1) \(~\displaystyle \frac{97}{99}=\frac{1}{1.02\cdots}~\)より小さい最大の単位分数は、\(~\displaystyle \frac{1}{2}~\)なので、
\begin{align}
\frac{97}{99}-\frac{1}{2}&=\frac{95}{198} \\
\therefore ~~~ \frac{97}{99}&=\frac{1}{2}+\frac{95}{198}
\end{align}

(2) \(~\displaystyle \frac{95}{198}~\)は単位分数ではなく、\(~\displaystyle \frac{95}{198}=\frac{1}{2.08\cdots}~\)より小さい最大の単位分数は\(~\displaystyle \frac{1}{3}~\)なので、
\begin{align}
\frac{95}{198}-\frac{1}{3}&=\frac{29}{198} \\
\therefore ~~~ \frac{95}{198}&=\frac{1}{3}+\frac{29}{198}
\end{align}

(3) \(~\displaystyle \frac{29}{198}~\)は単位分数ではなく、\(~\displaystyle \frac{29}{198}=\frac{1}{6.82\cdots}~\)より小さい最大の単位分数は\(~\displaystyle \frac{1}{7}~\)なので、
\begin{align}
\frac{29}{198}-\frac{1}{7}&=\frac{5}{1386} \\
\therefore ~~~ \frac{29}{198}&=\frac{1}{7}+\frac{5}{1386}
\end{align}

(4) \(~\displaystyle \frac{5}{1386}~\)は単位分数ではなく、\(~\displaystyle \frac{5}{1386}=\frac{1}{277.2}~\)より小さい最大の単位分数は\(~\displaystyle \frac{1}{278}~\)なので、
\begin{align}
\frac{5}{1386}-\frac{1}{278}&=\frac{1}{96327} \\
\therefore ~~~ \frac{5}{1386}&=\frac{1}{278}+\frac{1}{96327}
\end{align}

(5) \(~\displaystyle \frac{1}{96327}~\)は単位分数のため、分解終了。(1)~(4)の式をつなげていくことで、
\begin{equation}
\frac{97}{99}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{278}+\frac{1}{96327}
\end{equation}
が得られる。

 最後の例は確かめるのも大変ですが、この方法なら機械的に単位分数分解を行うことができますね。


Ⅲ 単位分数分解の方法②

 次は、分解後の単位分数の個数を2個と固定したうえで、不等式から分母の数字をしぼっていく方法です。

単位分数分解の方法②

(1) もとの分数\(~\displaystyle \frac{1}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}~~~( x < y )~\)とおく。

(2) \(~x~\)にあてはまる可能性のある自然数※を求める。

(3) \(~x~\)をそれぞれ代入し、そのときの\(~y~\)の値が自然数(\(~\displaystyle ~\frac{1}{y}~\)が単位分数)なら終了し、そうでなければその分数について(1)から同じ作業を行っていく。

※\(~x~\)にあてはまる可能性のある自然数は、\(~n~\)より大きく、\(~2n~\)より小さい分数となります。(理由は(2)を参照)
 
 こちらの方法は終わりがありません。実際にやってみましょう。

・\(~\displaystyle \frac{1}{4}~\)の単位分数分解

(1) \(~\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}~~~( x < y )~\)とおく。

(2) \(~x \le 4~\)では、\(~\displaystyle \frac{1}{x} \ge \frac{1}{4}~\)のため、
\begin{equation}
\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{1}{4}+\frac{1}{y}
\end{equation}
となり、\(~\displaystyle 0 \ge \frac{1}{y}~\)は不適。
 
 また、\(~8 \le x~\)では、\(~\displaystyle \frac{1}{8} \ge \frac{1}{x}~\)のため、
\begin{equation}
\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le \frac{1}{8}+\frac{1}{y}
\end{equation}
となり、\(~\displaystyle \frac{1}{x} \le \frac{1}{8} \le \frac{1}{y}~\)は\(~ x > y~\)に不適。
 
 よって、\(~4 < x < 8~\)を満たす自然数は、\(~x=5~,~6~,~7~\)である。

(3) それぞれの\(~x~\)を代入し、\(~y~\)を求めていく。
 
(ⅰ)\(~x=5~\)のとき、
\begin{align}
\frac{1}{4}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{1}{4}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{20} \\
\end{align}
より単位分数分解終了。
 
(ⅱ)\(~x=6~\)のとき、
\begin{align}
\frac{1}{4}&=\frac{1}{6}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{1}{4}&=\frac{1}{6}+\frac{1}{12} \\
\end{align}
より単位分数分解終了。
 
(ⅲ)\(~x=7~\)のとき、
\begin{align}
\frac{1}{4}&=\frac{1}{7}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{1}{4}&=\frac{1}{7}+\frac{3}{28} \\
\end{align}
より、今度は\(~\displaystyle \frac{3}{28}=\frac{1}{9.33\cdots}~\)について同じ作業を行っていく。

(1′) \(~\displaystyle \frac{3}{28}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}~~~( a < b )~\)とおく。

(2′) \(~a~\)にあてはまる自然数は、\(~9.33\cdots < a < 18.66\cdots~\)より、\(~a=10~,~11~,~12~,\cdots,~18~\)である。

(3′) それぞれの\(~a~\)を代入し、\(~b~\)を求めていく。
 
(ⅰ’)\(~a=10~\)のとき、
\begin{align}
\frac{3}{28}&=\frac{1}{10}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{3}{28}&=\frac{1}{10}+\frac{1}{140} \\
\end{align}
より単位分数分解終了で、もとの(3)(ⅲ)に代入すると、
\begin{equation}
\frac{1}{4}=\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\frac{1}{140}
\end{equation}
となる。
 
(ⅱ’)\(~a=11~\)のとき、
\begin{align}
\frac{3}{28}&=\frac{1}{11}+\frac{1}{y} \\
\therefore~~~\frac{3}{28}&=\frac{1}{11}+\frac{5}{308} \\
\end{align}
より、\(~\displaystyle \frac{5}{308}~\)について同じ作業を行っていく・・・。

以下略

ということで、無限に続きます。
 
 さらに言えば、(3)(ⅰ),(3)(ⅱ)の\(~\displaystyle \frac{1}{5}~,~\frac{1}{20}~,~\frac{1}{6}~,~\frac{1}{12}~\)についても、単位分数分解できるので、爆発的に表し方が増えていきます。
 
 ちなみに、紀元前のエジプトの「リンド・パピルス」(下図)という巻物には、\(~\displaystyle \frac{2}{m}~\)(\(~m~\)は\(~5~\)から\(~101~\)までの奇数)の単位分数分解の表が載っていて、中には
\begin{equation}
\frac{2}{61}=\frac{1}{40}+\frac{1}{244}+\frac{1}{488}+\frac{1}{601}
\end{equation}
のような分解も載っています。

出典:Paul James Cowie (Pjamescowie) / Public domain

 古代エジプト人も単位分数分解の方法を経験的に知っていたのかもしれませんね。


分数計算、通分するの大変なんだよな~。
ふくすけ笑顔
分数を計算できる電卓があると便利だよ。

◇参考文献等
・志賀浩二(2014)『数学の流れ30講(上)ー16世紀までー』,pp.20-24,朝倉書店.
・中村滋(2019)『ずかん 数字』,pp.48-49,技術評論社.

数学雑学式と計算数学雑学

Posted by Fuku