単位分数分解（証明編）

　$~m~,~n~$を自然数として、任意の分数を$~\displaystyle \frac{n}{m}~$とおく。
 
　分母$~m~$を固定し、$~\displaystyle \frac{n}{m}~$が異なる単位分数の和として表されることを数学的帰納法で示す。
 
　$~n=1~$のときを考える。
　$~\displaystyle \frac{1}{m}~$を式変形すると、
\begin{align}
\frac{1}{m}&=\frac{m+1}{m(m+1)} \\
\\
&=\frac{m}{m(m+1)}+\frac{1}{m(m+1)} \\
\\
&=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}~~~~\cdots ①
\end{align}
となり、$~m > 1~$で$~m+1 < m(m+1)~$となるため、異なる単位分数の和として表される。

　$~m=1~$のときについては、$①$より
\begin{equation}
\frac{1}{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}~~~~\cdots ②
\end{equation}
となってしまうが、$①$に$~m=2~$を代入すると、
\begin{equation}
\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}~~~~\cdots ③
\end{equation}
であり、$③$を$②$の２つめの$~\displaystyle \frac{1}{2}~$に代入することで、
\begin{equation}
\frac{1}{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}
\end{equation}
となり、異なる単位分数の和として表される。

 
　以上より、$~n=1~$のとき、すなわち、すべての$~m~$について$~\displaystyle \frac{1}{m}~$が異なる単位分数の和として表されることが言えた。
 
$~n=k~$のとき、すなわち、$~\displaystyle \frac{k}{m}~$が異なる単位分数の和として表されることを仮定する。ここで、$~n=k+1~$のときを考える。
\begin{equation}
\frac{k+1}{m}=\frac{1}{m}+\frac{k}{m}
\end{equation}
より、$①$を代入することで、
\begin{equation}
\frac{k+1}{m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}+\frac{k}{m}~~~~\cdots④
\end{equation}
となる。
 
　仮定より、$~\displaystyle \frac{k}{m}~$は異なる単位分数の和として表されるが、その中に$~\displaystyle \frac{1}{m+1}~$や$~\displaystyle \frac{1}{m(m+1)}~$が含まれていなければ、$④$により$~n=k+1~$のときも異なる単位分数の和として表されることが言える。
 
　しかし、$~\displaystyle \frac{k}{m}~$に例えば$~\displaystyle \frac{1}{m+1}~$が含まれている場合、すなわち

\begin{equation}
\frac{k}{m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell} \\
(~a_1~,\cdots,a_\ell~は~m+1~以外のそれぞれ異なる自然数）
\end{equation}

\begin{align}
\frac{k}{m}&=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell} \\
&(~a_1~,\cdots,a_\ell~は~m+1~以外の\\
&~~~~~~~~~~~~それぞれ異なる自然数）
\end{align}

と表され、この式を$④$に代入して、

\begin{equation}
\frac{k+1}{m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell}~~~~\cdots⑤
\end{equation}

\begin{align}
\frac{k+1}{m}&=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)} \\
&~~~~~+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell}~~\cdots⑤
\end{align}

となる。
　ここで、$~\displaystyle \frac{1}{m+1}~$の重複を避けるべく、$①$の$~m~$に$~m+1~$を適用すると、

\begin{align}
\frac{1}{m+1}&=\frac{1}{(m+1)+1}+\frac{1}{(m+1)(m+1+1)} \\
\\
&=\frac{1}{m+2}+\frac{1}{(m+1)(m+2)}~~~~\cdots ⑥
\end{align}

\begin{align}
&~~~\frac{1}{m+1} \\
\\
&=\frac{1}{(m+1)+1}+\frac{1}{(m+1)(m+1+1)} \\
\\
&=\frac{1}{m+2}+\frac{1}{(m+1)(m+2)}~~~~\cdots ⑥
\end{align}

なので、$⑥$を$⑤$に代入して、

\begin{equation}
\frac{k+1}{m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}+\frac{1}{m+2}+\frac{1}{(m+1)(m+2)}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell}~~~~\cdots⑦
\end{equation}

\begin{align}
\frac{k+1}{m}&=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}+\frac{1}{m+2} \\
&~~~~~+\frac{1}{(m+1)(m+2)} \\
&~~~~~~~~~~+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell}~~\cdots⑦
\end{align}

と表せる。
 
　$⑦$の右辺に再度重複する単位分数があれば、$⑥$のような式をまた作って代入していくことで、いずれは異なる単位分数の和で右辺を表すことができる。
 
　以上より、$~n=k+1~$のとき、すなわち、$~\displaystyle \frac{k+1}{m}~$が異なる単位分数の和として表されることが言えた。
 
　したがって数学的帰納法より、命題(1)は示された。$~~~\blacksquare~$

　また、異なる単位分数の和で表された後も、$⑥$のような式を作って、$⑦$のような式に代入していけば、単位分数をより細かくした式が無限に生成されるため、命題(2)も示されたことになる。$~~~\blacksquare~$