単位分数分解（証明編）

　\(~m~,~n~\)を自然数として、任意の分数を\(~\displaystyle \frac{n}{m}~\)とおく。
 
　分母\(~m~\)を固定し、\(~\displaystyle \frac{n}{m}~\)が異なる単位分数の和として表されることを数学的帰納法で示す。
 
　\(~n=1~\)のときを考える。
　\(~\displaystyle \frac{1}{m}~\)を式変形すると、
\begin{align}
\frac{1}{m}&=\frac{m+1}{m(m+1)} \\
\\
&=\frac{m}{m(m+1)}+\frac{1}{m(m+1)} \\
\\
&=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}~~~~\cdots ①
\end{align}
となり、\(~m > 1~\)で\(~m+1 < m(m+1)~\)となるため、異なる単位分数の和として表される。

　\(~m=1~\)のときについては、\(①\)より
\begin{equation}
\frac{1}{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}~~~~\cdots ②
\end{equation}
となってしまうが、\(①\)に\(~m=2~\)を代入すると、
\begin{equation}
\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}~~~~\cdots ③
\end{equation}
であり、\(③\)を\(②\)の２つめの\(~\displaystyle \frac{1}{2}~\)に代入することで、
\begin{equation}
\frac{1}{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}
\end{equation}
となり、異なる単位分数の和として表される。

 
　以上より、\(~n=1~\)のとき、すなわち、すべての\(~m~\)について\(~\displaystyle \frac{1}{m}~\)が異なる単位分数の和として表されることが言えた。
 
\(~n=k~\)のとき、すなわち、\(~\displaystyle \frac{k}{m}~\)が異なる単位分数の和として表されることを仮定する。ここで、\(~n=k+1~\)のときを考える。
\begin{equation}
\frac{k+1}{m}=\frac{1}{m}+\frac{k}{m}
\end{equation}
より、\(①\)を代入することで、
\begin{equation}
\frac{k+1}{m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}+\frac{k}{m}~~~~\cdots④
\end{equation}
となる。
 
　仮定より、\(~\displaystyle \frac{k}{m}~\)は異なる単位分数の和として表されるが、その中に\(~\displaystyle \frac{1}{m+1}~\)や\(~\displaystyle \frac{1}{m(m+1)}~\)が含まれていなければ、\(④\)により\(~n=k+1~\)のときも異なる単位分数の和として表されることが言える。
 
　しかし、\(~\displaystyle \frac{k}{m}~\)に例えば\(~\displaystyle \frac{1}{m+1}~\)が含まれている場合、すなわち

\begin{equation}
\frac{k}{m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell} \\
(~a_1~,\cdots,a_\ell~は~m+1~以外のそれぞれ異なる自然数）
\end{equation}

\begin{align}
\frac{k}{m}&=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell} \\
&(~a_1~,\cdots,a_\ell~は~m+1~以外の\\
&~~~~~~~~~~~~それぞれ異なる自然数）
\end{align}

と表され、この式を\(④\)に代入して、

\begin{equation}
\frac{k+1}{m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell}~~~~\cdots⑤
\end{equation}

\begin{align}
\frac{k+1}{m}&=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)} \\
&~~~~~+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell}~~\cdots⑤
\end{align}

となる。
　ここで、\(~\displaystyle \frac{1}{m+1}~\)の重複を避けるべく、\(①\)の\(~m~\)に\(~m+1~\)を適用すると、

\begin{align}
\frac{1}{m+1}&=\frac{1}{(m+1)+1}+\frac{1}{(m+1)(m+1+1)} \\
\\
&=\frac{1}{m+2}+\frac{1}{(m+1)(m+2)}~~~~\cdots ⑥
\end{align}

\begin{align}
&~~~\frac{1}{m+1} \\
\\
&=\frac{1}{(m+1)+1}+\frac{1}{(m+1)(m+1+1)} \\
\\
&=\frac{1}{m+2}+\frac{1}{(m+1)(m+2)}~~~~\cdots ⑥
\end{align}

なので、\(⑥\)を\(⑤\)に代入して、

\begin{equation}
\frac{k+1}{m}=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}+\frac{1}{m+2}+\frac{1}{(m+1)(m+2)}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell}~~~~\cdots⑦
\end{equation}

\begin{align}
\frac{k+1}{m}&=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m(m+1)}+\frac{1}{m+2} \\
&~~~~~+\frac{1}{(m+1)(m+2)} \\
&~~~~~~~~~~+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_\ell}~~\cdots⑦
\end{align}

と表せる。
 
　\(⑦\)の右辺に再度重複する単位分数があれば、\(⑥\)のような式をまた作って代入していくことで、いずれは異なる単位分数の和で右辺を表すことができる。
 
　以上より、\(~n=k+1~\)のとき、すなわち、\(~\displaystyle \frac{k+1}{m}~\)が異なる単位分数の和として表されることが言えた。
 
　したがって数学的帰納法より、命題(1)は示された。\(~~~\blacksquare~\)

　また、異なる単位分数の和で表された後も、\(⑥\)のような式を作って、\(⑦\)のような式に代入していけば、単位分数をより細かくした式が無限に生成されるため、命題(2)も示されたことになる。\(~~~\blacksquare~\)