コーシーの平均値の定理

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 数学Ⅲで、「平均値の定理」を学びますが、本記事の「コーシーの平均値の定理」は、その一般化ともいえる定理となっています。それを例を交えて解説・証明していきます。
Ⅰ コーシーの平均値の定理とイメージ
Ⅱ 証明


目次
  • 1. Ⅰ コーシーの平均値の定理とイメージ
  • 2. Ⅱ 証明

Ⅰ コーシーの平均値の定理とイメージ

 コーシーの平均値の定理は、1823年にコーシーが出版した『エコール・ポリテクニクの無限小解析要論』で、「ラグランジュの平均値の定理」の一般化として述べられています。
 
※詳しい成立背景については、「ラグランジュの平均値の定理」を参照のこと。
※数学Ⅲで習う「平均値の定理」は、「ラグランジュの平均値の定理」のことです。

コーシーの平均値の定理

 閉区間 \(~[a,b]~\) で連続、開区間 \(~(a,b)~\) で微分可能な \(~f(x) , g(x)~\) に関して、\(g(b)-g(a)\neq 0 ~\)ならば、 
\begin{equation}
\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}
\end{equation}
を満たす \(~c \in (a,b)~\) が存在する。(ただし、\(g'(c)\neq 0\))

 先に書いたように、コーシーの平均値の定理は、ラグランジュの平均値の定理の一般化なので、式や条件が酷似しています。

(ラグランジュの)平均値の定理 (参考)

 閉区間 \(~[a,b]~\) で連続、開区間 \(~(a,b)~\) で微分可能な \(~f(x)~\) に関して、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)
\end{equation}
を満たす \(~c \in (a,b)~\) が存在する。

 
 まずは、馴染みのある関数を使って定理の内容を理解してみましょう。

例1

  \(~f(x)=x^2 , g(x)=x+6\)\( (a=-1,b=2)~\) の場合

\(~f(x),g(x)\)はそれぞれ閉区間 \(~[-1,2]~\) で連続、開区間 \(~(-1,2)~\) で微分可能であるため、コーシーの平均値の定理より、

\begin{align}
\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}&=\frac{f(2)-f(-1)}{g(2)-g(-1)} \\
\\
&=\frac{4-1}{8-5} \\
\\
&=1
\end{align}
を満たす \(~c \in (-1,2)~\) が存在する。
 
 実際、 \(~f'(x)=2x , g'(x)=1~\) より、 \(~\displaystyle \frac{2c}{1}=1 ~\) で、\( c=\displaystyle \frac{1}{2}\) は確かに \(~c \in (-1,2)~\) を満たしている。

 ただ、この定理の意味を考えてみると、
\begin{equation}
\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(2)-f(-1)}{g(2)-g(-1)}
\end{equation}
の右辺は、\(f(x)~\)と\(~g(x)~\)上の2点の高さの差の割合ということになります。↓↓

 これが、

\(x=c~\)における\(~f(x)~\)と\(~g(x)~\)の接線の傾きの割合と同じになる

という何とも意味のないものとなってしまいます・・・。
 
 
 実は、コーシーの平均値の定理は、媒介変数で表される関数について重要な意味を持つのです。
 

例2

  \(~f(t)=\sin{t} , g(t)=\cos{t}~\)\(~ \displaystyle \left( a=\frac{1}{6}\pi , b=\frac{5}{6}\pi \right)\)の場合

\( (g(t) , f(t)) ~\)で表される曲線は、次のような扇形の弧となる。

\(~f(t),g(t)\)はそれぞれ閉区間 \(~\displaystyle \left[\frac{1}{6}\pi ,\frac{5}{6}\pi \right] ~\) で連続、開区間 \(~\displaystyle \left(\frac{1}{6}\pi ,\frac{5}{6}\pi \right) ~\) で微分可能であるため、コーシーの平均値の定理より、

\begin{align}
\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)}&=\frac{f\left( \frac{5}{6}\pi \right)-f \left( \frac{1}{6}\pi \right)}{g\left( \frac{5}{6}\pi \right)-g \left( \frac{1}{6}\pi \right)} \\
\\
&=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}} \\
\\
&=0
\end{align}
を満たす \(~c \in \displaystyle \left(\frac{1}{6}\pi ,\frac{5}{6}\pi \right)~\) が存在する。

 実際、 \(~f'(c)=\cos{c} , g'(c)=-\sin{c} ~\) より、 \(~\displaystyle \frac{\cos{c}}{-\sin{c}}=0 ~\) で、\( c=\displaystyle \frac{1}{2}\pi\) は確かに \(~c \in \displaystyle \left(\frac{1}{6}\pi ,\frac{5}{6}\pi \right)~\) を満たしている。

 上の例で、左辺の\(~\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}~\)は、端点を結んだ直線の傾き。
 
 また、右辺についても、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{f'(t)}{g'(t)}=\frac{\frac{df}{dt}}{\frac{df}{dt}}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{dy}{dt}
\end{equation}
より、\(~\displaystyle \frac{f'(c)}{g'(c)}~\)は、\(~ t=c~\)における接線の傾きを表しています。
 
 つまり、コーシーの平均値の定理とは、

 ラグランジュの平均値の定理を、媒介変数表示で使える形にしたもの

と言うことができます。
 
 
 一般的な図にすると、次のようになります。


Ⅱ 証明

 証明は、ラグランジュの平均値の定理と同様の方法で可能です。

証明

\(~F(x)=f(x)+Ag(x)~\)とおき、\(~F(a)=F(b)~\)となりような定数\(~A ~\)をまずは求める。
 
\(~F(a)=f(a)+Ag(a)~\)、\(~F(b)=f(b)+Ag(b)~\)より、
\begin{align}
f(a)+Ag(a)&=f(b)+Ag(b) \\
-Ag(b)+Ag(a)&=f(b)-f(a) \\
-A\{ g(b)-g(a) \}&=f(b)-f(a) \\
A&=-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
\end{align}
が求まった。(ただし、\(~g(b)-g(a) \neq 0~\))
 
 
 この\(~ F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x) ~\)について考える。
 
\(~~ f(x)~\)と\(~g(x)~\)が閉区間 \(~[a,b]~\) で連続、開区間 \(~(a,b)~\) で微分可能であるため、\(~x~\)で両辺を微分することで
\begin{equation}
F'(x)=\displaystyle f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x) \cdots ①
\end{equation}
 となる。
 
 また、\(~A ~\)を求める条件から、\( F(a)=F(b)~\)であり、ロルの定理より\(~ a < c < b ~\)で、 \begin{equation} F'(c)=0 \cdots ② \end{equation} となる\(~ c ~\)が存在する。
 
 ①より、
\begin{equation}
F'(c)=\displaystyle f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)
\end{equation}
で、②を代入することで、
\begin{align}
0&=\displaystyle f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c) \\
\\
-f'(c)&=-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)  \\
\\
f'(c)&=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)  \\
\\
\frac{f'(c)}{g'(c)}&=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
\end{align}
が求まった。(ただし、\(~g'(c) \neq 0~\)) \(~\blacksquare~\)

 ラグランジュ同様、ロルの定理に帰着させて証明できました。


 複雑になったようですが、媒介変数表示として考えればすんなり頭に入りそうです。


 
 


◇参考文献等
・高木貞治(2010)『定本 解析概論』,pp.52-53,岩波書店.
・「Wikipedia」,<https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%A4%E5%AE%9A%E7%90%86> 2020年1月5日アクセス