ロルの定理

\(~f(a)~\) との比較で場合分けをする。
 
（１）　 \(~f(a)~\) よりも大きくなる点が存在とき

グラフの形は次のようになり、最大値の原理より、 \(~x \in(a,b)~\) で最大値 \(~f(c)(c \in (a,b) )~\) が存在する。

　 \(~c~\) で微分可能であるため、 \(~f'(c)~\) を考える。
　 \(~b~\) 側からの接線の傾きは右下がり（0以下）なので
\begin{equation}
f'(c)=\displaystyle \lim_{h \to +0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \le 0
\end{equation}
また、 \(~a~\) 側から接線の傾きは右上がり（0以上）なので
\begin{equation}
f'(c)=\displaystyle \lim_{h \to -0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \ge 0
\end{equation}
これらより、
\begin{equation}
f'(c)= 0
\end{equation}
が求まる。
 
（２）　 \(~f(a)~\) よりも小さくなる点が存在とき

グラフの形は次のようになり、最小値の原理より、 \(~x \in(a,b)~\) で最小値 \(~f(c)(c \in (a,b) )~\) が存在する。

(1)と同様に考えて、 \(~b~\) 側からの接線の傾きは右上がり（0以上）なので
\begin{equation}
f'(c)=\displaystyle \lim_{h \to +0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \ge 0
\end{equation}
また、 \(~a~\) 側から接線の傾きは右下がり（0以下）なので
\begin{equation}
f'(c)=\displaystyle \lim_{h \to -0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \le 0
\end{equation}
これらより、
\begin{equation}
f'(c)= 0
\end{equation}
が求まる。
 
（３）　 \(~f(x)=t（一定）~\) のとき

　 \(~f(a)~\) よりも大きくなる点や小さくなる点が存在しないとき、グラフの形は次のようになる。

\(~x\in(a,b)~\) で、 \(~f'(x)=t’=0~\) となるため、
\begin{equation}
f'(c)= 0
\end{equation}
である。
 
（１）～（３）より、題意は示された。 \(~\blacksquare \)