三平方の定理の証明⑮（教科書の証明）

　直角をはさむ二辺の長さが\(~a~,~b~\)、斜辺が\(~c~\)の直角三角形を４つ組み合わせて、一辺が\(~a+b~\)の大きな正方形を下の図のように作る。

　このとき、内側には一辺が\(~c~\)の正方形ができる。
　この正方形の面積\(~c^2~\)は、外側の正方形の面積から、４つの直角三角形の面積を引いても求まるため、
\begin{align}
(a+b)^2-\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot 4 &=c^2 \\
\\
a^2+2ab+b^2-2ab&=c^2 \\
a^2+b^2&=c^2
\end{align}
となり、三平方の定理が示された。 \(~\blacksquare\)

　直角をはさむ二辺の長さが\(~a~,~b~\)、斜辺が\(~c~\)の直角三角形を４つ組み合わせて、一辺が\(~c~\)の正方形を下の図のように作る。

　このとき、内側には一辺が\(~b-a~\)の正方形ができる。
　一辺\(~c~\)の正方形の面積\(~c^2~\)は、一辺\(~b-a~\)の正方形の面積と、４つの直角三角形の面積の和でも求まるため、
\begin{align}
(b-a)^2+\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot 4 &=c^2 \\
\\
b^2-2ab+a^2+2ab&=c^2 \\
a^2+b^2&=c^2
\end{align}
となり、三平方の定理が示された。 \(~\blacksquare\)

　直角をはさむ二辺の長さが\(~a~,~b~\)、斜辺が\(~c~\)の直角三角形を８つ組み合わせて、下の図のような正方形を作る。

　Ⅱ章の証明より、
\begin{equation}
(a+b)^2-\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot 4 =c^2~~~\cdots ①
\end{equation}
であり、Ⅲ章の証明より、
\begin{equation}
(b-a)^2+\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot 4 =c^2~~~\cdots ②
\end{equation}
が成り立つ。
 
　\(①+②\)より、
\begin{align}
(a+b)^2+(b-a)^2&=2c^2 \\
a^2+2ab+b^2+b^2-2ab+a^2&=2c^2 \\
2a^2+2b^2=&=2c^2 \\
a^2+b^2&=c^2
\end{align}
となり、三平方の定理が示された。 \(~\blacksquare\)