三平方の定理の証明⑭(相似を利用した証明3)

中3数学平面図形中3数学

 三平方の定理には数百もの証明方法があります。今回は相似を利用した3つ目の証明方法について紹介します。


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Ⅰ 三平方の定理とは

 三平方の定理とは、次のような定理です。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)


上のような直角三角形で、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

 直角三角形の2辺がわかれば、残りの1辺も求まるというもので、紀元前から測量等でも使われてきました。日本では中学3年生(義務教育!)で習います。
 長い歴史の中で、様々な人により、様々な証明が生み出されてきました。
 今回は2002年3月発行の『The Mathematical Gazette』というイギリスの数学教育雑誌で J.Barry Suttonが発表した、相似を使った証明方法を紹介します。
 

※相似を利用した証明はこれで3つ目!


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Ⅱ 相似を利用した証明3

では、証明に入りましょう。

証明

証明の図1
 上図のような直角三角形\(~ABC~\)において、直線\(~BA~\)上に、\(~AD=AE=b~\)となる点\(~D~,~E~\)をそれぞれとる。
証明の図2
 この図において、\(~C~,~D~,~E~\)は\(~A~\)を中心とする半径\(~b~\)の円周上にあるため、直径\(~DE~\)に対する円周角より、\(~\angle DCE=90^{\circ}~\)である。
証明の図3
 ここで、
\begin{align}
\angle BCD&=\angle BCA-\angle ACD=90^{\circ}-\angle ACD \\
\angle ECA&=\angle DCE-\angle ACD=90^{\circ}-\angle ACD \\
\end{align}
なので、
\begin{equation}
\angle BCD=\angle ECA ~~~\cdots ①
\end{equation}
である。また、\(~\triangle ACE~\)は二等辺三角形なので、
\begin{equation}
\angle ECA=\angle BEC~~~\cdots ②
\end{equation}
とわかる。\(①,②\)より、
\begin{equation}
\angle BCD=\angle BEC~~~\cdots ③
\end{equation}
である。
 
 そして、共通な角より
\begin{equation}
\angle CBD=\angle EBC~~~\cdots ④
\end{equation}
なので、\(③,④\)より、\(~\triangle BCD~\)∽\(~\triangle BEC~\)(二角相等)。
 
 したがって、
\begin{align}
BC:BE&=BD:BC \\
a:(c+b)&=(c-b):a \\
a^2&=c^2-b^2 \\
a^2+b^2&=c^2
\end{align}
が求まった。 \(~\blacksquare\)

 相似によって生まれた1次の比例式から、いきなり三平方の定理の式が出てくるのが美しいですね。


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Ⅲ その他の証明方法

 数百ある証明の中から有名な証明方法をいくつか紹介します。是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。
~順次作成中~

①ピタゴラスの証明  正方形を4つの図形にうまく分割し、回転させることにより、その面積関係から三平方の定理を導いています。
②ユークリッドの証明 等積変形や合同を使って、複雑な計算をせずに証明をします。
③内接円を利用した証明 内接円を使って、面積を2通りの方法で表して証明をします。
④方べきの定理を利用した証明1 内部で交わるタイプの方べきの定理を使って証明します。
⑤方べきの定理を利用した証明2 接線タイプの方べきの定理を使って証明します。
⑥レオナルド・ダ・ヴィンチの証明 合同な図形をうまく使った証明方法です。
⑦トレミーの定理による証明 円に内接する長方形に、トレミーの定理を適用します。
⑧ジェームズ・A・ガーフィールドの証明 アメリカの大統領が考えた、台形を使った証明方法です。
⑨アン・コンディットの証明  16歳の少女が考えた、補助線を多用する証明方法です。
⑩無限等比級数を利用した証明  垂線によって直角三角形を細かくしていき、最終的には無限等比級数を利用する証明方法です。
⑪相似を利用した証明1  相似を使った最もシンプルな証明方法です。
⑫相似を利用した証明2  合同な直角三角形を重ね、相似な三角形を利用しながら、ある三角形の面積を2通りの方法で表します。
⑬外接円と直角二等辺三角形を利用した証明  外接円に4つの直角二等辺三角形を混ぜた図形から、証明を行います。
⑭相似を利用した証明3  中学3年生レベルの円、相似の知識を使って三平方の定理を導いています。
⑮教科書の証明  中学3年生の教科書によく載っている2つの証明方法と、それらを合わせたバースカラ(インドの数学者)の証明を解説しました。

他にもいろいろあるので、調べてみてください。


\(~90^{\circ}-共通角~\)は、高校入試頻出のテクニックだよね。
ふくすけ笑顔
うん。しかも、円、相似、三平方と中3数学の幾何分野が集結しているのが面白いね。

◇参考文献等
・「Pythagorean Theorem」,<https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#39> 2021年1月6日アクセス
・「Cambridge University Press」,<https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/yet-another-proof-of-pythagoras-theorem/7C3C910448F6C40F2FBBA5DF42D805E3>2021年1月6日アクセス

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Posted by Fuku