三平方の定理の証明⑭（相似を利用した証明３）

　上図のような直角三角形\(~ABC~\)において、直線\(~BA~\)上に、\(~AD=AE=b~\)となる点\(~D~,~E~\)をそれぞれとる。

　この図において、\(~C~,~D~,~E~\)は\(~A~\)を中心とする半径\(~b~\)の円周上にあるため、直径\(~DE~\)に対する円周角より、\(~\angle DCE=90^{\circ}~\)である。

　ここで、
\begin{align}
\angle BCD&=\angle BCA-\angle ACD=90^{\circ}-\angle ACD \\
\angle ECA&=\angle DCE-\angle ACD=90^{\circ}-\angle ACD \\
\end{align}
なので、
\begin{equation}
\angle BCD=\angle ECA ~~~\cdots ①
\end{equation}
である。また、\(~\triangle ACE~\)は二等辺三角形なので、
\begin{equation}
\angle ECA=\angle BEC~~~\cdots ②
\end{equation}
とわかる。\(①,②\)より、
\begin{equation}
\angle BCD=\angle BEC~~~\cdots ③
\end{equation}
である。
 
　そして、共通な角より
\begin{equation}
\angle CBD=\angle EBC~~~\cdots ④
\end{equation}
なので、\(③,④\)より、\(~\triangle BCD~\)∽\(~\triangle BEC~\)（二角相等）。
 
　したがって、
\begin{align}
BC:BE&=BD:BC \\
a:(c+b)&=(c-b):a \\
a^2&=c^2-b^2 \\
a^2+b^2&=c^2
\end{align}
が求まった。 \(~\blacksquare\)