18°の三角比

数学Ⅰ三角比・三角関数数学Ⅰ

 30°、45°、60°の三角比の値は教科書で習いますが、今回は18°の三角比について考えてみます。
Ⅰ 18°の三角比の値
Ⅱ 求め方
Ⅲ 近似値



目次
  • 1. Ⅰ 18°の三角比の値
  • 2. Ⅱ 求め方
  • 3. Ⅲ 近似値

Ⅰ 18°の三角比の値

  \(~18^{\circ}~\) の三角比は、次のような値となります。

18°の三角比

\begin{align}
\sin{18^{\circ}}&=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\\
\cos{18^{\circ}}&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \\
\\
\tan{36^{\circ}}&=\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5} \\
\end{align}

 \(~\sin{18^{\circ}}~,~\cos{18^{\circ}}~\)の値は、
\begin{equation}
\cos{36^{\circ}}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}~,~\sin{36^{\circ}}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}
\end{equation}
とそれぞれ形が似ているのが面白いですね。
 
 ちなみに、\(~18^{\circ}~\)の三角比を、斜辺が \(~4~\) の直角三角形で表すと、

という図になります。


Ⅱ 求め方

 黄金比が出てくることで有名な、頂角が \(~36^{\circ}~\) の二等辺三角形から求めます。

求め方

\(~\cos{18^{\circ}}~\) の求め方
 次の図のような \(~AB=AC=1,\angle{A}=36°~\) の \(~\triangle ABC~\) を考える。

  \(~\angle{B}~\) の二等分線と \(~AC~\) の交点を \(~D~\) とする。
 
 このとき、 \(~\triangle BCD~\) や \(~\triangle DAB~\) も二等辺三角形となるので、 \(~BC=BD=AD=1~\)である。
 また、\(~CD=x~\)とすると、

  \(~\triangle ABC~\) ∽ \(~ \triangle BCD~\) より、
\begin{align}
(1+x)1&=1:x \\
x(1+x)&=1 \\
x^2+x-1&=0 \\
x&=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{align}
  \(~x > 0~\) より、 \(~x=\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}~\)
 
  \(~B~\) から \(~AC~\) におろした垂線の足を \(~E~\) とすると、 \(~E~\) は \(~DC~\) の中点であり、\(~\angle CBD=36^{\circ}~\)を二等分する。
 よって、\(~\displaystyle EC=\frac{1}{2}x=\frac{\sqrt{5}-1}{4}~\) となる。

 直角三角形 \(~BEC~\) に注目すれば、
\begin{align}
\sin{18^{\circ}}&=\frac{CE}{1} \\
\\
&=CE \\
\\
&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}
\end{align}
と求まった。


\(~\cos{18^{\circ}}~\) の求め方
  \(~\sin^2{18^{\circ}}+\cos^2{18^{\circ}}=1~\) なので、
\begin{align}
\cos^2{18^{\circ}}&=1-\left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 \\
\\
&=1-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{16} \\
\\
&=\frac{10+2\sqrt{5}}{16}
\end{align}
であり、\(~\cos{18^{\circ}} > 0~\) より、
\begin{equation}
\cos{18^{\circ}}=\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}
\end{equation}
と求まった。


\(~\tan{18^{\circ}}~\) の求め方
  \(~1+\tan^2{18^{\circ}}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2{18^{\circ}}}~\) なので、
\begin{align}
\tan^2{18^{\circ}}&=\left( \frac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}} \right)^2-1 \\
\\
&=\frac{16}{10+2\sqrt{5}}-\frac{10+2\sqrt{5}}{10+2\sqrt{5}} \\
\\
&=\frac{6-2\sqrt{5}}{10+2\sqrt{5}} \\
\\
&=\frac{3-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} \\
\\
&=\frac{(3-\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})} \\
\\
&=\frac{15-3\sqrt{5}-5\sqrt{5}+5}{20} \\
\\
&=\frac{20-8\sqrt{5}}{20} \\
\\
&=\frac{4-2\sqrt{5}}{5} \\
\end{align}
であり、\(~\tan{18^{\circ}} > 0~\) より、
\begin{align}
\tan{18^{\circ}}&=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{20-10\sqrt{5}}}{5} \\
\end{align}
と求まった。

  「36°の三角比」とほぼ同様の過程で、比較的値がきれいな\(~\sin{18^{\circ}}~\) の値から求めていきました。
 
 もちろん、半角の公式を使うことで、
\begin{align}
\sin^2{18^{\circ}}&=\frac{1-\cos{36^{\circ}}}{2} \\
\\
&=\frac{1-\frac{1+\sqrt{5}}{4}}{2} \\
\\
&=\frac{4-(1+\sqrt{5})}{8} \\
\\
&=\frac{3-\sqrt{5}}{8} \\
\end{align}
であり、\(~\sin{18^{\circ}} > 0~\) より、
\begin{align}
sin{18^{\circ}}&=\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}\cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{4} \\
\\
&=\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}{4} \\
\\
&=\frac{|\sqrt{5}-1|}{4} \\
\\
&=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \\
\end{align}
といった求め方でもOKです!!


Ⅲ 近似値

 最後にエクセルを使って、近似値を出してみましょう。

 教科書に載っている「三角比の表」と同じ値が出てくることを確かめられました。


  \(~18^{\circ}~,~36^{\circ}~\) の\(~\sin{}~,~\cos{}~\)の値が、似たような式で表されるところに、黄金比を生み出す図形の持つ神秘的な力を感じます。


 
 

他にもあります! 特殊な角の三角比↓