36°の三角比

$~\cos{36^{\circ}}~$ の求め方
　次の図のような $~AB=AC=1,\angle{A}=36°~$ の $~\triangle ABC~$ を考える。

　 $~\angle{B}~$ の二等分線と $~AC~$ の交点を $~D~$ とする。
 
　このとき、 $~\triangle DAB~$ や $~\triangle BCD~$ も二等辺三角形となるので、 $~BC=x~$ とすると、 $~BD~$ や $~AD~$ も $~x~$ となる。

　 $~\triangle ABC~$ ∽ $~ \triangle BCD~$ より、
\begin{align}
1:x&=x:(1-x) \\
x^2&=1-x \\
x^2+x-1&=0 \\
\\
x&=\displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{align}
　 $~x > 0~$ より、 $~x=\displaystyle \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}~$
 
　 $~B~$ から $~AC~$ におろした垂線の足を $~E~$ とすると、 $~E~$ は $~DC~$ の中点となるので、 $~\displaystyle DE=\frac{1-x}{2}~$ となる。

　直角三角形 $~BEA~$ に注目すれば、
　\begin{align}
\cos{36^{\circ}}&=\frac{AE}{1} \\
\\
&=AE \\
\\
&=\displaystyle x+\frac{1-x}{2} \\
\\
&=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \\
\\
&=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}+\frac{1}{2} \\
\\
&=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}
\end{align}
であり、$~\cos{36^{\circ}} > 0~$ より、
\begin{equation}
\cos{36^{\circ}}=\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}
\end{equation}
と求まった。

$~\sin{36^{\circ}}~$ の求め方
　 $~\sin^2{36^{\circ}}+\cos^2{36^{\circ}}=1~$ なので、
\begin{align}
\sin^2{36^{\circ}}&=1-\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)^2 \\
\\
&=1-\frac{1+2\sqrt{5}+5}{16} \\
\\
&=\frac{10-2\sqrt{5}}{16}
\end{align}
であり、$~\sin{36^{\circ}} > 0~$ より、
\begin{equation}
\sin{36^{\circ}}=\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}
\end{equation}
と求まった。

$~\tan{36^{\circ}}~$ の求め方
　 $~1+\tan^2{36^{\circ}}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2{36^{\circ}}}~$ なので、
\begin{align}
\tan^2{36^{\circ}}&=\displaystyle \left( \frac{4}{1+\sqrt{5}} \right)^2-1 \\
\\
&=\frac{16}{6+2\sqrt{5}}-1 \\
\\
&=\frac{16(6-2\sqrt{5})}{(6+2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}-1 \\
\\
&=\frac{16(6-2\sqrt{5})}{16}-1 \\
\\
&=6-2\sqrt{5}-1 \\
\\
&=5-2\sqrt{5}
\end{align}
であり、$~\tan{36^{\circ}} > 0~$ より、
\begin{equation}
\tan{36^{\circ}}=\displaystyle \sqrt{5-2\sqrt{5}}
\end{equation}
と求まった。