36°の三角比

 30°、45°、60°の三角比の値は教科書で習いますが、今回は36°の三角比について考えてみます。
Ⅰ 36°の三角比の値
Ⅱ 求め方
Ⅲ 近似値


https://mathsuke.jp/trigonometric-ratio/


目次

Ⅰ 36°の三角比の値

  $~36^{\circ}~$ の三角比は、次のような値となります。

36°の三角比

\begin{align}
\sin{36^{\circ}}&= \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \\
\\
\cos{36^{\circ}}&=\frac{\sqrt{5}+1}{4} \\
\\
\tan{36^{\circ}}&=\sqrt{5-2\sqrt{5}} \\
\end{align}

 つまり、斜辺が $~4~$ の直角三角形で表すと、

という図になります。
 
 二重根号になってしまっているのが、ちょっと残念ですね・・・。


Ⅱ 求め方

 頂角が $~36^{\circ}~$ の二等辺三角形から求めます。

求め方

$~\cos{36^{\circ}}~$ の求め方
 次の図のような $~AB=AC=1,\angle{A}=36°~$ の $~\triangle ABC~$ を考える。

  $~\angle{B}~$ の二等分線と $~AC~$ の交点を $~D~$ とする。
 
 このとき、 $~\triangle DAB~$ や $~\triangle BCD~$ も二等辺三角形となるので、 $~BC=x~$ とすると、 $~BD~$ や $~AD~$ も $~x~$ となる。

  $~\triangle ABC~$ ∽ $~ \triangle BCD~$ より、
\begin{align}
1:x&=x:(1-x) \\
x^2&=1-x \\
x^2+x-1&=0 \\
\\
x&=\displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{align}
  $~x > 0~$ より、 $~x=\displaystyle \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}~$
 
  $~B~$ から $~AC~$ におろした垂線の足を $~E~$ とすると、 $~E~$ は $~DC~$ の中点となるので、 $~\displaystyle DE=\frac{1-x}{2}~$ となる。

 直角三角形 $~BEA~$ に注目すれば、
 \begin{align}
\cos{36^{\circ}}&=\frac{AE}{1} \\
\\
&=AE \\
\\
&=\displaystyle x+\frac{1-x}{2} \\
\\
&=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \\
\\
&=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}+\frac{1}{2} \\
\\
&=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}
\end{align}
であり、$~\cos{36^{\circ}} > 0~$ より、
\begin{equation}
\cos{36^{\circ}}=\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}
\end{equation}
と求まった。


$~\sin{36^{\circ}}~$ の求め方
  $~\sin^2{36^{\circ}}+\cos^2{36^{\circ}}=1~$ なので、
\begin{align}
\sin^2{36^{\circ}}&=1-\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)^2 \\
\\
&=1-\frac{1+2\sqrt{5}+5}{16} \\
\\
&=\frac{10-2\sqrt{5}}{16}
\end{align}
であり、$~\sin{36^{\circ}} > 0~$ より、
\begin{equation}
\sin{36^{\circ}}=\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}
\end{equation}
と求まった。


$~\tan{36^{\circ}}~$ の求め方
  $~1+\tan^2{36^{\circ}}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2{36^{\circ}}}~$ なので、
\begin{align}
\tan^2{36^{\circ}}&=\displaystyle \left( \frac{4}{1+\sqrt{5}} \right)^2-1 \\
\\
&=\frac{16}{6+2\sqrt{5}}-1 \\
\\
&=\frac{16(6-2\sqrt{5})}{(6+2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}-1 \\
\\
&=\frac{16(6-2\sqrt{5})}{16}-1 \\
\\
&=6-2\sqrt{5}-1 \\
\\
&=5-2\sqrt{5}
\end{align}
であり、$~\tan{36^{\circ}} > 0~$ より、
\begin{equation}
\tan{36^{\circ}}=\displaystyle \sqrt{5-2\sqrt{5}}
\end{equation}
と求まった。

  $~\cos{36^{\circ}}~$ の値がきれいだったため、それを使って $~\sin{36^{\circ}},\sin{36^{\circ}}~$ を求めました。
 
 ちなみに、今回使用した二等辺三角形は、黄金比で有名な正五角形の中の星形に出てきます。


Ⅲ 近似値

 最後にエクセルを使って、近似値を出してみましょう。

 確かに、教科書に載っている「三角比の表」と同じ値が出てきました。


 私学適性検査では、「 $~\cos{36^{\circ}}~$ の値を求めなさい。」という問題が出題されたことがあります。


 
 

他にもあります! 特殊な角の三角比↓
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