36°の三角比

\(~\cos{36^{\circ}}~\) の求め方
　次の図のような \(~AB=AC=1,\angle{A}=36°~\) の \(~\triangle ABC~\) を考える。

　 \(~\angle{B}~\) の二等分線と \(~AC~\) の交点を \(~D~\) とする。
 
　このとき、 \(~\triangle DAB~\) や \(~\triangle BCD~\) も二等辺三角形となるので、 \(~BC=x~\) とすると、 \(~BD~\) や \(~AD~\) も \(~x~\) となる。

　 \(~\triangle ABC~\) ∽ \(~ \triangle BCD~\) より、
\begin{align}
1:x&=x:(1-x) \\
x^2&=1-x \\
x^2+x-1&=0 \\
\\
x&=\displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{align}
　 \(~x > 0~\) より、 \(~x=\displaystyle \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}~\)
 
　 \(~B~\) から \(~AC~\) におろした垂線の足を \(~E~\) とすると、 \(~E~\) は \(~DC~\) の中点となるので、 \(~\displaystyle DE=\frac{1-x}{2}~\) となる。

　直角三角形 \(~BEA~\) に注目すれば、
　\begin{align}
\cos{36^{\circ}}&=\frac{AE}{1} \\
\\
&=AE \\
\\
&=\displaystyle x+\frac{1-x}{2} \\
\\
&=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \\
\\
&=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}+\frac{1}{2} \\
\\
&=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}
\end{align}
であり、\(~\cos{36^{\circ}} > 0~\) より、
\begin{equation}
\cos{36^{\circ}}=\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}
\end{equation}
と求まった。

\(~\sin{36^{\circ}}~\) の求め方
　 \(~\sin^2{36^{\circ}}+\cos^2{36^{\circ}}=1~\) なので、
\begin{align}
\sin^2{36^{\circ}}&=1-\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)^2 \\
\\
&=1-\frac{1+2\sqrt{5}+5}{16} \\
\\
&=\frac{10-2\sqrt{5}}{16}
\end{align}
であり、\(~\sin{36^{\circ}} > 0~\) より、
\begin{equation}
\sin{36^{\circ}}=\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}
\end{equation}
と求まった。

\(~\tan{36^{\circ}}~\) の求め方
　 \(~1+\tan^2{36^{\circ}}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2{36^{\circ}}}~\) なので、
\begin{align}
\tan^2{36^{\circ}}&=\displaystyle \left( \frac{4}{1+\sqrt{5}} \right)^2-1 \\
\\
&=\frac{16}{6+2\sqrt{5}}-1 \\
\\
&=\frac{16(6-2\sqrt{5})}{(6+2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}-1 \\
\\
&=\frac{16(6-2\sqrt{5})}{16}-1 \\
\\
&=6-2\sqrt{5}-1 \\
\\
&=5-2\sqrt{5}
\end{align}
であり、\(~\tan{36^{\circ}} > 0~\) より、
\begin{equation}
\tan{36^{\circ}}=\displaystyle \sqrt{5-2\sqrt{5}}
\end{equation}
と求まった。