三平方の定理の証明③(内接円の利用)

中3数学平面図形中3数学

三平方の定理には数百もの証明方法があります。今回は内接円を利用した証明方法について紹介します。
Ⅰ 三平方の定理とは
Ⅱ 内接円を利用した証明
Ⅲ その他の証明方法


目次
  • 1. Ⅰ 三平方の定理とは
  • 2. Ⅱ 内接円を利用した証明
  • 3. Ⅲ その他の証明方法

Ⅰ 三平方の定理とは

 三平方の定理とは、次のような定理です。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)


上のような直角三角形で、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

 直角三角形の2辺がわかれば、残りの1辺も求まるというもので、紀元前から測量等でも使われてきました。日本では中学3年生(義務教育!)で習います。長い歴史の中で、様々な人により、様々な証明が生み出されてきましたが、今回は内接円と三角形の面積を使った方法について紹介します。


Ⅱ 内接円を利用した証明

では、証明に入りましょう。

証明

直角三角形ABCに、半径 \(~r~\) の円を内接させる。

このとき、△ABCの面積 \(~S~\) は2通りの方法で表せる。
まず、底辺と高さに注目して、
\begin{align}
\displaystyle S&=b \cdot a \cdot \frac{1}{2}=\frac{ab}{2}
\end{align}
次に、内接円の半径と各辺の長さを利用して、
\begin{align}
\displaystyle S&=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2} \\
\\
&=\frac{r}{2}(a+b+c)
\end{align}
よって、次の等式が成り立つ。
\begin{align}
\displaystyle \frac{ab}{2}&=\frac{r}{2}(a+b+c) \\
\\
ab&=r(a+b+c)\cdots ①
\end{align}
 
ここで、 \(~r~\) を \(~a,b,c~\) を使って表すことを考える。

上の図で斜辺BAに注目すると、
\begin{equation}
(a-r)+(b-r)=c
\end{equation}
これを式変形していくことで、
\begin{align}
-2r&=c-a-b \\
\\
\displaystyle r&=\frac{a+b-c}{2} \cdots ②
\end{align}
となる。
 
②を①に代入することにより、
\begin{align}
\displaystyle ab&=\frac{a+b-c}{2}\cdot (a+b+c) \\
\\
2ab&=a^2+2ab+b^2-c^2 \\
\\
c^2&=a^2+b^2
\end{align}
が求まる。 \(~\blacksquare\)

内接円により、面積を2通りの方法で表すことを利用した証明でした。


Ⅲ その他の証明方法

 数百ある証明の中から有名な証明方法をいくつか紹介します。是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。
~順次作成中~

①ピタゴラスの証明  正方形を4つの図形にうまく分割し、回転させることにより、その面積関係から三平方の定理を導いています。
②ユークリッドの証明 等積変形や合同を使って、複雑な計算をせずに証明をします。
③内接円を利用した証明 内接円を使って、面積を2通りの方法で表して証明をします。
④方べきの定理を利用した証明1 内部で交わるタイプの方べきの定理を使って証明します。
⑤方べきの定理を利用した証明2 接線タイプの方べきの定理を使って証明します。
⑥レオナルド・ダ・ヴィンチの証明 合同な図形をうまく使った証明方法です。
⑦トレミーの定理による証明 円に内接する長方形に、トレミーの定理を適用します。
⑧ジェームズ・A・ガーフィールドの証明 アメリカの大統領が考えた、台形を使った証明方法です。
⑨アン・コンディットの証明  16歳の少女が考えた、補助線を多用する証明方法です。
⑩無限等比級数を利用した証明  垂線によって直角三角形を細かくしていき、最終的には無限等比級数を利用する証明方法です。
⑪相似を利用した証明1  相似を使った最もシンプルな証明方法です。
⑫相似を利用した証明2  合同な直角三角形を重ね、相似な三角形を利用しながら、ある三角形の面積を2通りの方法で表します。

他にもいろいろあるので、調べてみてください。


割と単純な証明でした。次も円に関する証明方法を書こうと思います。

   
 
 


◇参考文献等
・E・マオール(2008)『ピタゴラスの定理-4000年の歴史』,pp.153-154,伊理由美訳,岩波書店.

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Posted by Fuku