数学史３－６　～バビロニアの数学（二次方程式）～

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Ⅰ　二次方程式の３つの型

　紀元前のバビロニアには$~0~$や負の数が無かったため、二次方程式を次の３つの型に分けていました。
\begin{cases}
(1)~&x^2=px+q \\
(2)~&x^2+px=q ~~~~~~~(p,q~は正の定数) \\
(3)~&x^2+q=px
\end{cases}
　右辺を$~0~$に統一すると、
\begin{cases}
(1)’~&x^2-px-q=0 \\
(2)’~&x^2+px-q=0 ~~~~~~~(p,q~は正の定数) \\
(3)’~&x^2-px+q=0
\end{cases}
となります。
　$~x~$の係数と定数項の符号で分類していることがわかります。
 
　ちなみに$~x^2+px+q=0~$については、$~x~$が正の解を持たないため、当時は考えられていませんでした。
 
　$(1)$～$(3)$の３つの型のそれぞれについて、バビロニア特有の解の出し方を見ていきましょう。

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Ⅱ　$x^2=px+q~$の解法

　大英博物館にある粘土板（BM:British Museum）13901-2にある問題とその解法を見てみましょう。（数字や記号、式の書き方は現在の表記に直しています）

　正方形の一辺の長さを$~x~$にすると、
\begin{equation}
x^2-x=870
\end{equation}
であり、移項すると、（バビロニア人も移項の考え方を知っていた）
\begin{equation}
x^2=x+870~~~~(p=1~,q=870)
\end{equation}
と変形できるので、$(1)$の型の二次方程式とわかります。
 
　この粘土板では、次のような解法で解かれています。

　実際に現在の解法を使って、二次方程式を解くと、
\begin{align}
x^2-x-1870&=0 \\
(x-30)(x+29)&=0 \\
x&=30~,~-29
\end{align}
であり、当時は負の数を扱っていなかったので、$~30~$という答えが出せれば十分でした。
 
　バビロニアの解法を、$~p~,~q~$に置き換えて文字で計算してみましょう。

①　$~p~$の半分をとり、$~\displaystyle \frac{p}{2}~$
②　$~\displaystyle \frac{p}{2}~$に$~\displaystyle \frac{p}{2}~$をかけて、$~\displaystyle \frac{p^2}{4}~$
③　これに$~q~$をたすと、$~\displaystyle \frac{p^2}{4}+q~$
④　これは、$~\displaystyle \sqrt{\frac{p^2}{4}+q}~$の平方
⑤　ここで、$~\displaystyle \frac{p}{2}~$を$~\displaystyle \sqrt{\frac{p^2}{4}+q}~$をにたして、$~\displaystyle \sqrt{\frac{p^2}{4}+q}+\frac{p}{2}$

　最後の⑤で出てきた式は、今で言う解の公式にあたるものです。
　なぜなら、$(1)’~x^2-px-q=0~$に解の公式を使うと、
\begin{align}
x&=\frac{-(-p) \pm \sqrt{(-p)^2-4\cdot 1 \cdot (-q)}}{2\cdot 1} \\
\\
&=\frac{p \pm \sqrt{p^2+4q}}{2} \\
\\
&=\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4}+q}
\end{align}
であり、解が必ず正になることを考えれば、⑤と一致していることがわかります。
 
　また、平方根をとる際には、平方根表があったため、難なく$~\sqrt{~}~$の値を求めることができ、二次方程式を解くことができました。

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Ⅲ　$x^2+px=q~$の解法

　$(2)$の型である$x^2+px=q~$は、$(1)$と同様の方法で解くことができます。
　BM13901-6の問題を例として見てみましょう。

　BM13901-2と同様に、正方形の一辺の長さを$~x~$にすると、
\begin{equation}
x^2+\frac{2}{3}x=\frac{7}{12}
\end{equation}
となります。まさに$(2)$の型通りであり、次のような解法が残っています。

　$(1)$の型の解き方とほぼ同じでした。
　$~p~,~q~$に置き換えて考えると、
\begin{equation}
x=\sqrt{\frac{p^2}{4}+q}-\frac{p}{2}
\end{equation}
という式に基づいていることがわかります。
 
　$(1)$の型とは$~p~$の符号が異なるため、$~\displaystyle \frac{p}{2}~$をたすかひくかの違いがあるものの、解き方に大きな違いはありません。

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Ⅳ　$x^2+q=px~$の解法

　この$(3)$の型だけは、上の２つとは全く異なる解法で解かれていました。
　というのも、この型の二次方程式$~2x^2+15=13x~$を現代の方法で解くことを考えると、
\begin{align}
2x^2-13x+15&=0 \\
(x-5)(2x-3)&=0 \\
x&=5~,~\frac{3}{2}
\end{align}
となりますが、バビロニア人にとって難しかったのは、解が２つ出てくるかもしれないことです。
 
　そこでバビロニア人は、$~(3)’~~x^2-px+q=0~$を
\begin{cases}
&a+b=p \\
&ab=q
\end{cases}
と置き換えることにより、２つの解$~a,b~$を計算しました。
　現代で言うところの解と係数の関係を利用しているのです。
 
　この解と係数の関係を利用する問題が、イェール大学にある粘土板（YBC:Yale Babylonian Collection）4663に載っています。

　縦を$~a~$、横を$~b~$とすれば、
\begin{cases}
&a+b=6.5 \\
&ab=7.5
\end{cases}
となり、二次方程式に直すと、先ほどの$~2x^2-13x+15=0~$と同義です。
　バビロニア人は次のように解を求めました。

　見事、正の解を２つとも求めることができました。
　この解法を$~a+b=p~,~ab=q~$で置き換えて考えてみましょう。

①　$~p~$の半分をとり、$~\displaystyle \frac{p}{2}~$
②　$~\displaystyle \frac{p}{2}~$に$~\displaystyle \frac{p}{2}~$をかけて、$~\displaystyle \frac{p^2}{4}~$
③　これから$~q~$をひいて、$~\displaystyle \frac{p^2}{4}-q~$
④　これは、$~\displaystyle \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}~$の平方

　ここで、$~a \ge b~$としたうえで、$~\displaystyle \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}~$を式変形すると、
\begin{align}
\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}&=\sqrt{\frac{(a+b)^2}{4}-ab} \\
\\
&=\sqrt{\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{a^2-2ab+b^2}{4}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{(a-b)^2}{4}} \\
\\
&=\frac{a-b}{2} \\
\end{align}
であるため、④の式は$~\displaystyle \frac{a-b}{2}~$と同値である。
 
　また、①の式は、$~\displaystyle \frac{a+b}{2}~$と同値であるため、

⑤　$~\displaystyle \frac{a+b}{2}~$に$~\displaystyle \frac{a-b}{2}~$をたして$~a~$
⑥　$~\displaystyle \frac{a+b}{2}~$から$~\displaystyle \frac{a-b}{2}~$をひいて$~b~$

　負の平方根という概念がなかったこの時代、それを補うべく考え出された方法なのかもしれません。
　また、この$(3)$のパターンは様々な粘土板に登場したため、$(1)$や$(2)$の解法が特殊なものとして捉えられていたという見方もあります。
 
　いずれにせよ、紀元前から二次方程式を解くことができていたという点で、バビロニア代数のレベルの高さが窺えるでしょう。

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◇参考文献等
・ヴィクターJカッツ著,上野健爾・三浦信夫監訳,中根美知代・高橋秀裕・林知宏・大谷卓史・佐藤賢一・東慎一郎・中澤聡訳（2009）『カッツ　数学の歴史』,pp.41-45,共立出版.
・中村滋・室井和男（2015）『数学史ーー数学5000年の歩み』,pp.55-56,共立出版.
・志賀浩二（2014）『数学の流れ30講（上）ー16世紀までー』,pp.7-13,朝倉書店.
・三浦伸夫・三宅克哉監訳,久村典子訳（2018）『メルツバッハ＆ボイヤー　数学の歴史Ⅰー数学の萌芽から17世紀前期までー』,pp.29-31,朝倉書店.
・中村滋（2019）『ずかん　数字』,pp.52-57,技術評論社.
・アダム・ハート＝デイヴィス（2020）『フィボナッチの兎　偉大な発見でたどる数学の歴史』,pp.18-20,創元社.