数学史3-6 ~バビロニアの数学(二次方程式)~

 バビロニアでは、二次方程式は3つの型に分けられました。この記事ではそれぞれの型の解き方について、現在の解き方と比較しながら解説します。

←前回
数学史3-5 ~バビロニアの数学(一次方程式)~
次回→
数学史3-7 ~バビロニアの数学(三平方の定理)~
目次

Ⅰ 二次方程式の3つの型

 紀元前のバビロニアには$~0~$や負の数が無かったため、二次方程式を次の3つの型に分けていました。
\begin{cases}
(1)~&x^2=px+q \\
(2)~&x^2+px=q ~~~~~~~(p,q~は正の定数) \\
(3)~&x^2+q=px
\end{cases}
 右辺を$~0~$に統一すると、
\begin{cases}
(1)’~&x^2-px-q=0 \\
(2)’~&x^2+px-q=0 ~~~~~~~(p,q~は正の定数) \\
(3)’~&x^2-px+q=0
\end{cases}
となります。
 $~x~$の係数と定数項の符号で分類していることがわかります。
 
 ちなみに$~x^2+px+q=0~$については、$~x~$が正の解を持たないため、当時は考えられていませんでした。
 
 $(1)$~$(3)$の3つの型のそれぞれについて、バビロニア特有の解の出し方を見ていきましょう。


Ⅱ $x^2=px+q~$の解法

 大英博物館にある粘土板(BM:British Museum)13901-2にある問題とその解法を見てみましょう。(数字や記号、式の書き方は現在の表記に直しています)

BM13901-2の問題

 正方形の面積から一辺を引いて$~870~$ならば、その正方形の一辺はどれだけか。

 正方形の一辺の長さを$~x~$にすると、
\begin{equation}
x^2-x=870
\end{equation}
であり、移項すると、(バビロニア人も移項の考え方を知っていた)
\begin{equation}
x^2=x+870~~~~(p=1~,q=870)
\end{equation}
と変形できるので、$(1)$の型の二次方程式とわかります。
 
 この粘土板では、次のような解法で解かれています。

BM13901-2の解法

① $~1~$の半分をとり、$~0.5~$
② $~0.5~$に$~0.5~$をかけて、$~0.25~$
③ これに$~870~$をたすと、$~870.25~$
④ これは、$~29.5~$の平方
⑤ ここで、$~0.5~$を$~29.5~$をにたして、$~30~$

これが求める正方形の一辺の値である。

 実際に現在の解法を使って、二次方程式を解くと、
\begin{align}
x^2-x-1870&=0 \\
(x-30)(x+29)&=0 \\
x&=30~,~-29
\end{align}
であり、当時は負の数を扱っていなかったので、$~30~$という答えが出せれば十分でした。
 
 バビロニアの解法を、$~p~,~q~$に置き換えて文字で計算してみましょう。

① $~p~$の半分をとり、$~\displaystyle \frac{p}{2}~$
② $~\displaystyle \frac{p}{2}~$に$~\displaystyle \frac{p}{2}~$をかけて、$~\displaystyle \frac{p^2}{4}~$
③ これに$~q~$をたすと、$~\displaystyle \frac{p^2}{4}+q~$
④ これは、$~\displaystyle \sqrt{\frac{p^2}{4}+q}~$の平方
⑤ ここで、$~\displaystyle \frac{p}{2}~$を$~\displaystyle \sqrt{\frac{p^2}{4}+q}~$をにたして、$~\displaystyle \sqrt{\frac{p^2}{4}+q}+\frac{p}{2}$

 最後の⑤で出てきた式は、今で言う解の公式にあたるものです。
 なぜなら、$(1)’~x^2-px-q=0~$に解の公式を使うと、
\begin{align}
x&=\frac{-(-p) \pm \sqrt{(-p)^2-4\cdot 1 \cdot (-q)}}{2\cdot 1} \\
\\
&=\frac{p \pm \sqrt{p^2+4q}}{2} \\
\\
&=\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4}+q}
\end{align}
であり、解が必ず正になることを考えれば、⑤と一致していることがわかります。
 
 また、平方根をとる際には、平方根表があったため、難なく$~\sqrt{~}~$の値を求めることができ、二次方程式を解くことができました。


Ⅲ $x^2+px=q~$の解法

 $(2)$の型である$x^2+px=q~$は、$(1)$と同様の方法で解くことができます。
 BM13901-6の問題を例として見てみましょう。

BM13901-6の問題

 正方形の面積に辺の3分の2を加えて、$~\displaystyle \frac{7}{12}~$ならば、その正方形の一辺はどれだけか。

 BM13901-2と同様に、正方形の一辺の長さを$~x~$にすると、
\begin{equation}
x^2+\frac{2}{3}x=\frac{7}{12}
\end{equation}
となります。まさに$(2)$の型通りであり、次のような解法が残っています。

BM13901-6の解法

① $~\displaystyle \frac{2}{3}~$の半分をとり、$~\displaystyle \frac{1}{3}~$
② $~\displaystyle \frac{1}{3}~$に$~\displaystyle \frac{1}{3}~$をかけて、$~\displaystyle \frac{1}{9}~$
③ これに$~\displaystyle \frac{7}{12}~$をたすと、$~\displaystyle \frac{25}{36}~$
④ これは、$~\displaystyle \frac{5}{6}~$の平方
⑤ ここで、$~\displaystyle \frac{1}{3}~$を$~\displaystyle \frac{5}{6}~$からひいて、$~\displaystyle \frac{1}{2}~$

これが求める正方形の一辺の値である。

 $(1)$の型の解き方とほぼ同じでした。
 $~p~,~q~$に置き換えて考えると、
\begin{equation}
x=\sqrt{\frac{p^2}{4}+q}-\frac{p}{2}
\end{equation}
という式に基づいていることがわかります。
 
 $(1)$の型とは$~p~$の符号が異なるため、$~\displaystyle \frac{p}{2}~$をたすかひくかの違いがあるものの、解き方に大きな違いはありません。


Ⅳ $x^2+q=px~$の解法

 この$(3)$の型だけは、上の2つとは全く異なる解法で解かれていました。
 というのも、この型の二次方程式$~2x^2+15=13x~$を現代の方法で解くことを考えると、
\begin{align}
2x^2-13x+15&=0 \\
(x-5)(2x-3)&=0 \\
x&=5~,~\frac{3}{2}
\end{align}
となりますが、バビロニア人にとって難しかったのは、解が2つ出てくるかもしれないことです。
 
 そこでバビロニア人は、$~(3)’~~x^2-px+q=0~$を
\begin{cases}
&a+b=p \\
&ab=q
\end{cases}
と置き換えることにより、2つの解$~a,b~$を計算しました。
 現代で言うところの解と係数の関係を利用しているのです。
 
 この解と係数の関係を利用する問題が、イェール大学にある粘土板(YBC:Yale Babylonian Collection)4663に載っています。

YBC4663の問題

 縦横の辺の長さの和が$~6.5~$、面積が$~7.5~$の長方形の縦横はどれだけか。

 縦を$~a~$、横を$~b~$とすれば、
\begin{cases}
&a+b=6.5 \\
&ab=7.5
\end{cases}
となり、二次方程式に直すと、先ほどの$~2x^2-13x+15=0~$と同義です。
 バビロニア人は次のように解を求めました。

YBC4663の解法

① $~6.5~$の半分をとり、$~3.25~$
② $~3.25~$に$~3.25~$をかけて、$~10.5625~$
③ これから$~7.5~$をひいて、$~3.0625~$
④ これは、$~1.75~$の平方
⑤ $~a~$は$~3.25~$に$~1.75~$をたして$~5~$
⑥ $~b~$は$~3.25~$から$~1.75~$をひいて$~1.5~$

 見事、正の解を2つとも求めることができました。
 この解法を$~a+b=p~,~ab=q~$で置き換えて考えてみましょう。

① $~p~$の半分をとり、$~\displaystyle \frac{p}{2}~$
② $~\displaystyle \frac{p}{2}~$に$~\displaystyle \frac{p}{2}~$をかけて、$~\displaystyle \frac{p^2}{4}~$
③ これから$~q~$をひいて、$~\displaystyle \frac{p^2}{4}-q~$
④ これは、$~\displaystyle \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}~$の平方

 ここで、$~a \ge b~$としたうえで、$~\displaystyle \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}~$を式変形すると、
\begin{align}
\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}&=\sqrt{\frac{(a+b)^2}{4}-ab} \\
\\
&=\sqrt{\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{a^2-2ab+b^2}{4}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{(a-b)^2}{4}} \\
\\
&=\frac{a-b}{2} \\
\end{align}
であるため、④の式は$~\displaystyle \frac{a-b}{2}~$と同値である。
 
 また、①の式は、$~\displaystyle \frac{a+b}{2}~$と同値であるため、

⑤ $~\displaystyle \frac{a+b}{2}~$に$~\displaystyle \frac{a-b}{2}~$をたして$~a~$
⑥ $~\displaystyle \frac{a+b}{2}~$から$~\displaystyle \frac{a-b}{2}~$をひいて$~b~$

 負の平方根という概念がなかったこの時代、それを補うべく考え出された方法なのかもしれません。
 また、この$(3)$のパターンは様々な粘土板に登場したため、$(1)$や$(2)$の解法が特殊なものとして捉えられていたという見方もあります。
 
 いずれにせよ、紀元前から二次方程式を解くことができていたという点で、バビロニア代数のレベルの高さが窺えるでしょう。


 解の公式って、こんなに昔からあるんだね。
ふくすけ笑顔
負の数は扱えなかったものの、数表を駆使して計算していたのがすごいよね。
←前回
数学史3-5 ~バビロニアの数学(一次方程式)~
次回→
数学史3-7 ~バビロニアの数学(三平方の定理)~

◇参考文献等
・ヴィクターJカッツ著,上野健爾・三浦信夫監訳,中根美知代・高橋秀裕・林知宏・大谷卓史・佐藤賢一・東慎一郎・中澤聡訳(2009)『カッツ 数学の歴史』,pp.41-45,共立出版.
・中村滋・室井和男(2015)『数学史ーー数学5000年の歩み』,pp.55-56,共立出版.
・志賀浩二(2014)『数学の流れ30講(上)ー16世紀までー』,pp.7-13,朝倉書店.
・三浦伸夫・三宅克哉監訳,久村典子訳(2018)『メルツバッハ&ボイヤー 数学の歴史Ⅰー数学の萌芽から17世紀前期までー』,pp.29-31,朝倉書店.
・中村滋(2019)『ずかん 数字』,pp.52-57,技術評論社.
・アダム・ハート=デイヴィス(2020)『フィボナッチの兎 偉大な発見でたどる数学の歴史』,pp.18-20,創元社.

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

数学の歴史 [ ヴィクター・J.カッツ ]
価格:20900円(税込、送料無料) (2020/12/13時点)

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

数学史 数学5000年の歩み [ 中村滋 ]
価格:2200円(税込、送料無料) (2020/12/13時点)

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

数学の流れ30講(上(16世紀まで)) [ 志賀浩二 ]
価格:3190円(税込、送料無料) (2020/12/13時点)

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

数字 [ 中村滋=監修 ]
価格:2948円(税込、送料無料) (2020/12/13時点)

よかったらシェアしてね!

コメント

コメントする

CAPTCHA


目次
閉じる