正五角形の作図

黄金比が潜んでいる美しい正五角形。
学校では学ばないものの、実はコンパスと定規だけで作図する方法があるんです!

この記事を読んでわかること
  • 正五角形の作図方法
  • 作図の本質
  • 正五角形を紀元前から作図していた人物
目次

Ⅰ 正五角形の作図方法

 正五角形は、1つの内角が$~72^{\circ}~$という中途半端な角であり、一辺と対角線の長さの比が黄金比($~\displaystyle 1:\frac{1+\sqrt{5}}{2}~$)であることから、作図は難しそうに思えます。

 しかし、この黄金比を巧みに作図することで、一辺の長さが与えられている正五角形は、次の方法で作図をすることができます。

正五角形の作図方法
STEP
$~AB~$の垂直二等分線

 与えられた線分$~AB~$の垂直二等分線$~\ell~$を書く。

正五角形の作図1
<図1> 正五角形の作図1

 $~AB~$と$~\ell~$の交点を$~L~$とする。

STEP
$~AB=LM~$を満たす$~M~$の作図

 $~AB~$の長さをコンパスでとり、$~L~$からの距離が$~AB~$と同じになる点$~M~$を$~\ell~$上にとる。

正五角形の作図2
<図2>  正五角形の作図2

 $~M~$は$~AB~$の上側と下側のどちらでもよい。

STEP
$~BM=BN~$を満たす$~N~$の作図

 $~B~$を中心とし、半径$~BM~$の円と半直線$~AB~$の交点$~N~$をとる。

正五角形の作図3
<図3>  正五角形の作図3
STEP
正五角形の頂点$~D~$の作図

  $~LN~$の長さをコンパスでとり、 $~A~$を中心とした半径$~LN~$の円$~P~$と、$~B~$を中心とした半径$~LN~$の円$~Q~$を書く。

<図4>  正五角形の作図4
<図4>  正五角形の作図4

 このとき、円$~P~$と円$~Q~$の交点が、正五角形$~ABCDE~$の頂点$~D~$となる。

STEP
正五角形の頂点$~C~$と $~E~$ の作図

  $~AB~$の長さをコンパスでとり、 $~A~$を中心とした半径$~AB~$の円$~R~$と、$~B~$を中心とした半径$~AB~$の円$~s~$を書く。

<図5>  正五角形の作図5

 このとき、円$~P~$と円$~R~$の交点が、正五角形$~ABCDE~$の頂点$~C~$となり、円$~Q~$と円$~S~$の交点が、正五角形$~ABCDE~$の頂点$~E~$となるため、$~ABCDE~$を結べば正五角形が出来上がる。

 正三角形や正四角形、正六角形と比べて作図方法が複雑ですが、実際に書いてみると確かに正五角形っぽい図形が出来上がります。

Ⅱ 作図できる理由

 理由を細かく解説する前に、正五角形の辺と対角線の関係について知っておく必要があります。

正五角形の辺と対角線

 正五角形の辺と対角線の比は、$~1~:~\phi~$となる。
 ただし、$~\phi=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}~$で、黄金数という。

正五角形の辺と対角線
<図6> 正五角形の辺と対角線

 証明については、正五角形と黄金比 で解説しています。

 この図からもわかる通り、 $~\phi=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}~$の作図さえできれば、頂点$~C~,~D~,~E~$が以下の関係から求めることができます。

作図できる理由の本質
<図7> 作図できる理由の本質

 では、 $~\phi=\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}~$ がどのように作図されるのかという点に着目しながら、先ほどの作図方法を分析してみましょう。

作図方法の解説
STEP
$~AB~$の垂直二等分線

 垂直二等分線により、$~L~$は$~AB~$の中点なので、$~AL=BL=\displaystyle \frac{1}{2}~$となる。

作図の解説1
<図8> 作図の解説1
STEP
$~AB=LM~$を満たす$~M~$の作図

 $~AB=1~$であるため、$~LM=1~$となる。

<図9> 作図の解説2
STEP
$~BM=BN~$を満たす$~N~$の作図

 半径となる$~BM~$の長さは、三平方の定理より、

\begin{align*}
BM&=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1^2}  \\
\\
&=\sqrt{\frac{5}{4}}  \\
\\
&=\frac{\sqrt{5}}{2}
\end{align*}

なので、$~BN=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}~$となる。

作図の解説3
<図10> 作図の解説3

 よって、

LN=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

黄金数を長さに持つ線分$~LN~$が作られた。

STEP
正五角形の頂点$~D~$の作図

 $~A~,~B~$を中心として、半径の長さが$~LN= \displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}~$の円$~P~,~Q~$を書いているため、正五角形の対角線から、それらの交点は$~D~$となる。

作図の解説4
<図11> 作図の解説4
STEP
正五角形の頂点$~C~$と $~E~$ の作図

 $~A~,~B~$を中心として、半径の長さが$~AB=1~$の円$~R~,~S~$を書いているため、正五角形の対角線との交点が$~C~,~E~$となる。

作図の解説5
<図12> 作図の解説5

   $~\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}~$の作図となると難しく感じますが、 $~\displaystyle \frac{\sqrt{1}}{2} +\frac{\sqrt{5}}{2}~$と捉えれば、中学校の知識だけで作図をすることができます。

Ⅲ ピタゴラスと正五角形の作図

 ちなみに、紀元前の数学者ピタゴラス(Pythagoras , B.C.569頃-B.C.500頃)は、自分が作った宗教団体のシンボルマークに正五角形を採用し、その作図ができたことを誇示しています。

Pythagoras
<図13> ピタゴラス
ピタゴラス教団マーク
<図14> ピタゴラス教団のシンボルマーク

 どのように作図をしたかまでは謎ですが、三平方の定理の証明をできた彼だからこそ、正五角形の作図もできたのでしょう。


こういう複雑なことまで考えてあげれば、どんな正多角形も作図できそうな気がするにゃ。

いや、正七角形や正九角形は作図不可能であることが証明されているんだ。

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