【有名問題】√2が無理数であることの証明~背理法を用いた3種類の方法とは?~

 数学Ⅰの教科書で必ず出てくる$~\sqrt{2}~$が無理数であることの証明。
 証明は背理法で行われますが、矛盾に至るまでにいろいろな方法があるんです!

この記事を読んでわかること
  • $~\sqrt{2}~$の誕生と無理数の証明の歴史
  • 教科書に載っている証明方法
  • $~2~$の素因数に着目した証明方法
  • 正方形の面積を利用した証明方法
目次

Ⅰ √2 の歴史は紀元前から

 $~\sqrt{2}~$の存在が知られるようになったのは紀元前6世紀で、ピタゴラスPythagoras , B.C.569頃-B.C.500頃)がピタゴラスの定理の証明をし、直角三角形を研究したことがきっかけでした。

Pythagoras
<図1> ピタゴラス
(出典:The original uploader was Galilea at German Wikipedia., Public domain, via Wikimedia Commons )
ピタゴラスの定理(三平方の定理)

 $~\angle C=90^{\circ}~$の直角三角形$~ABC~$において、

a^2+b^2=c^2

が成り立つ。

直角三角形ABC
<図2> 直角三角形$~ABC~$

 このピタゴラスの定理を、直角二等辺三角形に適用するとある問題が出現します。

 それは、$~\sqrt{2}~$は無理数か? です。

 当時は通約不能とも言われ、$~\sqrt{2}~$が$~\displaystyle \frac{自然数}{自然数}~$で表せない数ではないかというのが議論の的となっていました。

 この問題を解決に導いたのは、ピタゴラス教団の教徒であるヒッパソスHippasus , B.C.5世紀中頃)です。

ヒッパソス
<図3> ヒッパソス
(出典:Boccanera G., Public domain, via Wikimedia Commons)

 彼は幾何学的な方法で、$~\sqrt{2}~$が無理数であることを証明しと言われています。
 しかし、万物の根源を数に求めるピタゴラス教団の信念に背く発見であり、それを口外したヒッパソスは他の教団員に溺死させられました。

 このように、紀元前から$~\sqrt{2}~$が無理数であることは言及されてきましたが、実際どのような方法で証明すればよいのでしょうか?

Ⅱ 証明の共通点は背理法

 無理数であることを証明するにあたって、どの証明方法でも共通しているのは背理法を用いるということです。

 背理法の手順を確認しておきましょう。

背理法の手順
  1. 結論の否定を仮定する。
  2. その仮定から計算や論理を進める。
  3. 進める中で矛盾を生じさせる。

 矛盾が生じることで、結論の否定が間違っていた → 結論は正しい という主張ができます。 

 この考え方は、数学だけでなく日常生活でも2つの選択肢から1つを選ぶときに使えます。

「健康的な生活には睡眠が必要である」という主張をしたいとき

  1. 「睡眠が不要である」と仮定する。
  2. 睡眠をとらないと、寝不足で頭痛が起こる。
  3. 頭痛が起こるというのは、健康的な生活に矛盾。よって、睡眠は必要である。

 「頭痛が起こる」とか、それが「健康的でない」というのは、個人的な経験や考えに基づくため、すべての人にこの証明があてはまるとは一概に言えません。

 ただ、数学であれば、1つ1つの用語がきちんと定義されたうえで論理を進めるため、誰がどう見ても矛盾があると言えるような証明を行うことができます。

Ⅲ 教科書に載っている証明方法

  では、実際に背理法を使って、$~\sqrt{2}~$が無理数であることを証明してみましょう。

証明

背理法で示す。
$~\sqrt{2}~$ は無理数ではない、つまり有理数と仮定すると、
互いに素な2つの自然数 $~a,b~$ を用いて、
\begin{equation}
\displaystyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}
\end{equation}
と表せる。これを変形していくと、
\begin{align}
\displaystyle a&=\sqrt{2}b \\
\\
a^2&=2b^2 ・・・①
\end{align}
となり、 $~a^2~$ は偶数であることがわかる。
 
さらに、下の補題1より、 $~a~$ も偶数であることがわかる。・・・②

補題1

$~n~$ を整数とする。このとき、
$~n^2~$ が偶数ならば、 $~n~$ は偶数である。


証明
対偶を証明する。補題1の対偶は、

$ n~$ ならば、 $~n^2~$ は奇数である。

という命題となるので、これを証明する。

奇数 $~n~$ は、整数 $~k~$ を用いて $~n=2k+1~$ と表されるので、
\begin{align}
n^2&=(2k+1)^2 \\
&=4k^2+4k+1 \\
&=2(2k^2+2k)+1 \\
\end{align}
$~ 2k^2+2k ~$ は整数なので、 $~n^2~$ は奇数となる。

よって、対偶が示されたので、元の命題も示された。 $~\blacksquare$

ゆえに、 $~a~$ はある自然数 $~c~$ を用いて
\begin{equation}
a=2c  ・・・③
\end{equation}
と表せる。
③を①に代入すると、
\begin{align}
(2c)^2&=2b^2 \\
4c^2&=2b^2 \\
2c^2&=b^2
\end{align}
この式より、$ b^2 $が偶数であることがわかり、補題1より、 $~b~$ も偶数であることがわかる。・・・・④
②、④より $~a , b ~$ は共に偶数であることが示されたが、これは $~a,b~$ が互いに素であることに矛盾する。
 
よって、 $~\sqrt{2}~$ が無理数であることが示された。  $~\blacksquare $

非常に論理的ですが、少しまどろこっしい証明方法ですね。


③素因数2の偶奇を利用した証明

こちらは教科書には載っていませんが、「なるほど」と思える証明方法です。

証明

背理法で示す。
$~\sqrt{2}~$ は無理数ではない、つまり有理数と仮定すると、
互いに素な2つの自然数 $~a,b~$ を用いて、
\begin{equation}
\displaystyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}
\end{equation}
と表せる。これを変形していくと、
\begin{align}
\displaystyle a&=\sqrt{2}b \\
\\
a^2&=2b^2 ・・・①
\end{align}
となる。
下の補題2より、

補題2

$~n~$ を整数とする。 $~n^2~$ が持つ素因数2は偶数個である。


証明
(ⅰ) $~n~$ が奇数の時、整数 $~k~$ を用いて $~n=2k+1~$ と表せる。このとき、
\begin{align}
n^2&=(2k+1)^2 \\
&=4k^2+4k+1 \\
\end{align}
となるため、素因数2は0個(偶数個)である。
 
(ⅱ) $~n~$ が偶数の時、 $~n~$ を素因数分解すると、次のように表せる。
\begin{equation}
n=2^m \cdot a (mは自然数 , aは奇数)
\end{equation}
このとき、
\begin{align}
n^2&=(2^m \cdot a)^2 \\
&=2^{2m} \cdot a^2
\end{align}
であり、 $~2^{2m}~$ には素因数2が偶数個あり、 $~a^2~$ には(ⅰ)より素因数2が0個であるため、 $~n^2~$ が持つ素因数2は偶数個である。
 
(ⅰ)、(ⅱ)より題意は示された。  $~\blacksquare $

①の左辺の $~a^2~$ が持つ素因数2は偶数個である。
①の右辺の $~2b^2~$ が持つ素因数2は奇数個となる。
以上から、素因数2の個数が両辺で異なるため矛盾。

よって、 $~\sqrt{2}~$ が無理数であることが示された。  $~\blacksquare $


素因数2の偶奇に着目した証明、初めて知ったときに鳥肌が立ちました。まさに「僕」(数学ガールの)の気分です。


☆参考文献等
・結城浩(2008)『数学ガール/フェルマーの最終定理』,pp.102-105,SB Creative.

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コメント

コメント一覧 (2件)

  • どちらの証明も「√2が有理数であることが示された。」と書いてあります。無理数ですよね?訂正お願いします。

    •  ご指摘ありがとうございます。訂正いたしました。
      結論を間違えるという、元も子もないことをしてしまいましたm(_ _)m

       今後ともどうぞよろしくお願いいたします。

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