【有名問題】√２が無理数であることの証明～３種類の証明方法とは？～

　$~\angle C=90^{\circ}~$の直角三角形$~ABC~$において、

a^2+b^2=c^2

が成り立つ。

1. 結論の否定を仮定する。
2. その仮定から計算や論理を進める。
3. 進める中で矛盾を生じさせる。

「健康的な生活には睡眠が必要である」という主張をしたいとき

1. 「睡眠が不要である」と仮定する。
2. 睡眠をとらないと、寝不足で頭痛が起こる。
3. 頭痛が起こるというのは、健康的な生活に矛盾。よって、睡眠は必要である。

　$~n~$を整数とする。このとき、$~n^2~$が偶数ならば、$~n~$は偶数である。

　この命題の対偶「$~n~$ならば、$~n^2~$は奇数である。」を証明する。

　奇数 $~n~$は、整数$~k~$を用いて$~n=2k+1~$と表されるので、

\begin{align*}
n^2&=(2k+1)^2 \\
&=4k^2+4k+1 \\
&=2(2k^2+2k)+1 \\
\end{align*}

であり、$~2k^2+2k~$は整数なので、$~n^2~$は奇数となる。

　よって、対偶が示されたので、元の命題も示された。■

　背理法で示す。

　$~\sqrt{2}~$は無理数ではない、つまり有理数であると仮定すると、$~\sqrt{2}~$は互いに素な２つの自然数 $~a~,~b~$を用いて、

\sqrt{2}=\frac{a}{b}

と表せる。
　この式を変形していくと、

\begin{align*}
a&=\sqrt{2}b \\
\\
a^2&=2b^2　~~~~\cdots①
\end{align*}

であるため、$~a^2~$は偶数であることがわかる。

　さらに、補題１より、$~a~$も偶数となる。$~~~\cdots ②$

　$②$より、$~c~$を自然数とすると、

a=2c~~~~\cdots ③

であるため、$③$を$①$に代入すると、

\begin{align*}
(2c)^2&=2b^2 \\
4c^2&=2b^2 \\
2c^2&=b^2
\end{align*}

が成り立ち、$~b^2~$は偶数であることがわかる。

　さらに、補題１より、$~b~$も偶数となる。$~~~\cdots ④$

　$②~,~④$より、$~a~,~b~$は共に偶数であることが示されたが、これは$~a~,~b~$ が互いに素であることに矛盾する。

　よって、$~\sqrt{2}~$が無理数であることが示された。■

　$~n~$を整数とする。このとき、$~n^2~$が持つ素因数$~2~$は偶数個である。

• $~4^2=16=2^4~$
• $~5^2=25=2^0\cdot 5^2~$
• $~6^2=36=2^2\cdot 3^2~$
• $~8^2=64=2^6~$

　$~n~$を$~2~$で割ったときの余りで場合分けをする。

(1)　$~n~$が奇数のとき

　整数$~k~$を用いて$~n=2k+1~$と表せる。このとき、

\begin{align*}
n^2&=(2k+1)^2 \\
&=4k^2+4k+1 \\
\end{align*}

となるため、素因数$~2~$は0個（偶数個）である。

(2)　$~n~$が偶数のとき

　$~n~$を素因数分解すると、次のように表せる。

n=2^m \cdot a ~~~~~~~~~(m~は自然数~,~a~は奇数）

　このとき、

\begin{align*}
n^2&=(2^m \cdot a)^2 \\
&=2^{2m} \cdot a^2
\end{align*}

であり、$~2^{2m}~$には素因数$~2~$が偶数個あり、$~a^2~$ には (1) より素因数$~2~$が0個であるため、 $~n^2~$ が持つ素因数$~2~$は偶数個である。

(1)、(2)より題意は示された。　■

　背理法で示す。

　$~\sqrt{2}~$は無理数ではない、つまり有理数であると仮定すると、$~\sqrt{2}~$は互いに素な２つの自然数 $~a~,~b~$を用いて、

\sqrt{2}=\frac{a}{b}

と表せる。
　この式を変形していくと、

\begin{align*}
a&=\sqrt{2}b \\
\\
a^2&=2b^2　~~~~\cdots⑤
\end{align*}

となる。

　補題２より、$⑤$の左辺の$~a^2~$が持つ素因数$~2~$は偶数個である。

　同様に、$~b^2~$が持つ素因数$~2~$は偶数個であるが、そこに$~2~$を1つかけているため、 $①$の右辺の $~2b^2~$が持つ素因数$~2~$は奇数個となる。

　以上から、素因数$~2~$の個数が両辺で異なることに矛盾。

　よって、$~\sqrt{2}~$が無理数であることが示された。■

　背理法で示す。

　$~\sqrt{2}~$は無理数ではない、つまり有理数であると仮定すると、$~\sqrt{2}~$は互いに素な２つの自然数 $~a~,~b~$を用いて、

\sqrt{2}=\frac{a}{b}

と表せる。
　この式を変形していくと、

\begin{align*}
a&=\sqrt{2}b \\
\\
a^2&=2b^2　~~~~\cdots⑥
\end{align*}

となる。

　ここで、$~\sqrt{2}~$は、$~1 < \sqrt{2} < 2~$であるため、$~a~,~b~$に関して、$~\displaystyle 1 < \frac{a}{b}~$から、次の３つの条件がわかる。

 \begin{align*} 
b &< a \cdots ⑦ \\
0 &< a-b \cdots ⑧ \\
2b-a &< a \cdots ⑨
\end{align*}

　また、$~\displaystyle \frac{a}{b} < 2~$から、次の３つの条件がわかる。

 \begin{align*} 
0 &< 2b-a \cdots ⑩ \\ 
a-b &< b \cdots ⑪
\end{align*}

　$⑦$より、１辺$~a~$の正方形に、１辺$~b~$の正方形２つを入れた図４を考える。

　左上と右下の正方形の１辺の長さは$~a-b~$、中央の正方形の１辺の長さは$~a-(a-b)-(a-b)=2b-a~$である。

　ここで、１辺$~a~$の正方形は、１辺$~b~$の正方形２つ分から、１辺$~2b^a~$の正方形を引き、１辺$~a-b~$の正方形を足すことで求まるため、

b^2+b^2-(2b-a)^2+2(a-b)^2=a^2

が成り立つ。

　この等式に$⑥$を代入すれば、

\begin{align*}
2b^2-(2b-a)^2+2(a-b)^2&=2b^2 \\
2(a-b)^2&=(2b-a)^2 \\
2&=\frac{(2b-a)^2}{(a-b)^2} \\
\end{align*}

であり、$⑧$と$⑩$に注意して、両辺正の平方根をとると、

\sqrt{2}=\frac{2b-a}{b-a}

が求まる。

　しかし、$⑨$と$⑪$より、$~\displaystyle \frac{2b-a}{b-a}~$は$~\displaystyle \frac{a}{b}~$を約分した（分母・分子の数が小さくなった）ものであり、 $~a~,~b~$が互いに素であることに矛盾。

　よって、$~\sqrt{2}~$が無理数であることが示された。■