数学者のヒッピアスは円以外の曲線の発明者！円積線で三大作図問題が解ける！【数学史6－12】

2024年3月15日2024年5月25日

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　三大作図問題がブームになっていた紀元前5世紀頃のギリシャ。

　ヒッピアスは円積線（円積曲線）と呼ばれる曲線を使って、三大作図問題の1つである角の三等分問題に解法を与えました。

　この記事では、ヒッピアスが考案した円積線の内容を中心に、ヒッピアスの人生年表や活動場所などを解説。

　円積線を使えば角の三等分が簡単にできるんです！

この記事で主に扱っている時代と場所

時代	紀元前460年頃～紀元前390年頃
場所	ギリシャ

ヒッピアスの生涯

　ヒッピアス（Hippias , B.C.460頃～没年不明）は、古代ギリシャのソフィスト（哲学者）であり、数学や詩、歴史学、天文学、建築学などのあらゆる学問に精通していました。

ヒッピアスの年譜

　ヒッピアスが生きていた時代の歴史は、紀元前4世紀頃まで口頭で後世へと伝わっていたため、情報力が少なく、細かいことまでわかっていません。

　数学史上、ヒッピアスの年譜として表せるのは以下の通りです。

ヒッピアスの年譜

B.C.460年頃

ペロポネソス半島のエリスで生まれる

B.C.430頃

アテネで円積線（クアドラトリックス）を発明した

　円積線を使うことで、角の三等分線の作図が可能であることまで研究をした。

B.C.399頃以降

　ソクラテスの没年（B.C.399）よりも後に死亡

　ソクラテスは晩年、ヒッピアスを「男前で学はあるが高慢で浅薄」と評した。

ヒッピアスの活動場所

　ヒッピアスはペロポネソス半島のエリス（現イリア）で生まれたため、「エリスのヒッピアス」とも呼ばれています。（同時代に「ヒッピアス」という名の人物は大勢いました）

　ヒッピアスはその後アテネに住み、そこで様々な学問の研究を行い、数学としては円積線を発明・研究しました。

　没年や最期の場所は定かではありません。

ヒッピアスの功績：円積線の導入

　数学におけるヒッピアスの功績は、円積線という曲線を導入し、三大作図問題に大きな影響を与えたことです。

円積線は初の円以外の曲線

　ヒッピアスが発明した円積線は、数学史上初めての円以外の曲線として有名です。

　その円積線は次のように描かれます。

円積線のかき方

　正方形$~OACB~$の内部に、$~O~$を中心とする扇形$~OAB~$を作る。

　点$~P~$は$~A~$を出発し、辺$~AO~$上を$~O~$まで一定の速さで動く。
　点$~Q~$は$~A~$を出発し、弧$~AB~$上を$~B~$まで一定の速さで動く。

　点$~P~$と点$~Q~$は$~A~$を同時に出発し、$~O~,~B~$に同時にたどりつく。

　このとき、$~P~$を通り$~OB~$と平行な線分$~PP^{\prime}~$と、線分$~OQ~$の交点$~R~$の軌跡を円積線という。

　点$~P~$と点$~Q~$はどちらも一定の速さで動きますが、弧$~AB~$のほうが線分$~AO~$よりも長いため、$~Q~$のほうが速いです。

　等速で図を動かさなければならないため、手作業で作図をすることは不可能な曲線となります。

　コンピュータ（Geogebra）でかいてみると、以下のように作図できます。

＜図4＞　円積線のアニメーション
（左のスライダーを動かすと、円積線が赤で描けます）

円積線は三角関数で表せる

　円積線を構成する点を、$~OB~$と$~OQ~$のなす角$~\theta~$により、表してみましょう。

円積線上の点を式で表す

　$~O~$を原点とする$~xy~$平面上で考える。　　

　$~OA=OB=a~$、$~OB~$と$~OQ~$のなす角を$~\theta~$、$~P~$の$~y~$座標を$~h~$とする。

　このとき、$~Q~$は$~(a\cos{\theta}~,~a\sin{\theta})~$と表せる。

　同じ時間をかけて、$~h~$は$~0~$から$~a~$まで、$~\theta~$は$~0~$から$~\displaystyle \frac{\pi}{2}~$まで増えるため、

\begin{align*} h:a&=\theta:\frac{\pi}{2} \\ \\ \frac{\pi}{2}h&=a\theta \\ \\ h&=\frac{2a\theta}{\pi} \end{align*}

　円積線は直線$~\displaystyle PP^{\prime}~:~y=\frac{2a\theta}{\pi}~$と、直線$~\displaystyle OQ~:~y=\frac{a\sin{theta}}{a\cos{\theta}}=(\tan{\theta})x~$の交点$~R~$の軌跡なので、$~R~$の$~x~$座標は、

\begin{align*} \frac{2a\theta}{\pi}&=(\tan{\theta})x \\ \\ x&=\frac{2a\theta}{\pi\tan{\theta}} \end{align*}

と表せる。

　よって、円積線は

R\left( \frac{2a\theta}{\pi\tan{\theta}}~ ,~ \frac{2a\theta}{\pi} \right)~~~~~~\displaystyle \left(0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)

軌跡であるとわかった。

　ちなみに、$~\theta \to 0~$や$~\displaystyle \theta \to \frac{\pi}{2}~$の極限を考えると、円積線の両端の座標は以下のように求まります。

　また、媒介変数$~\theta~$を除去すると、

x=\frac{y}{\tan{\left(\frac{\pi y}{2a} \right)}}

と表せます。

　定義だけでなく、式からも作図が不可能であることがわかりました。

円積線から角の三等分問題を考えた

　円積線が作図可能と仮定すると、角の三等分問題は解決します。

　円積線を用いた角の三等分線の作図方法は以下の通りです。

円積線による角の三等分の方法

STEP

円積線と三等分したい直線を用意する

　三等分したい角を$~\angle SOB~$とし、半直線$~OS~$と円積線の交点を$~S_1~$とする。

STEP

垂線をひく

　$~S_1~$から$~OA~$に垂線をおろし、その足を$~T_1~$とする。

STEP

線分を三等分する

　線分$~OT_1~$を三等分する点$~T_2~,~T_3~$を作図する。
（線分の三等分については、相似と平行線を利用することでできる）

STEP

平行な直線を2本引く

　$~T_2~,~T_3~$を通り、$~T_1S_1~$と平行な直線と円積線との交点をそれぞれ$~S_2~,~S_3~$とする。

STEP

原点と結んで完成

　半直線$~OS_2~,~OS_3~$を引くと、それらの半直線が$~\angle SOB~$の三等分線となる。

　円積線の定義から、円積線上の点の高さ$~y~$と$~\theta~$は比例関係にあります。

　この作図方法は、円積線上の$~S_1~$の高さを$~\displaystyle \frac{2}{3}~,~\frac{1}{3}~$した$~S_2~,~S_3~$を作ってあげることで、角も$~\displaystyle \frac{2}{3}~,~\frac{1}{3}~$となることを利用しています。

　一見すると、角の三等分問題が解決したように思えますが、実際は円積線自体の作図が困難であったため、結果的には机上の空論です。

　しかし、ヒッピアスが提案した円積線さえ作図できればよいため、角の三等分線の作図そのものではなく、円積線の作図に挑戦するという選択肢が生まれたのです。