【数学史５－４】『九章算術』の連立方程式は歴史的にも高レベル！行列を使った解法を解説！

2021年5月9日2023年5月5日

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　紀元前に誕生し、中国数学の体系を完成させた『九章算術』。

　この本の7章「盈不足えいふそく」や8章「方程」では、一次方程式が扱われており、その中でも連立方程式の問題が中心となっています。

　この記事では、『九章算術』に載っている連立方程式の解法を解説！

　エジプトやバビロニアには無かった負の数の概念だけでなく、今で言う行列の知識まで使って様々な問題を解いています。

この記事で主に扱っている時代と場所

時代	紀元前2世紀頃
場所	中国

この記事を読んでわかること

『九章算術』7章「盈不足」

　『九章算術』は紀元前2世紀頃に書かれ、その後の中国数学を体系立てた数学書です。

九章算術（注釈） — ＜図1＞　『九章算術』（劉徽・注釈版）
（出典：See page for author, Public domain, via Wikimedia Commons）

　全9章の中で、連立方程式を扱っているのは7章と8章であり、それぞれ違う解法が記されています。

「盈不足」は過不足算の考え方

　7章「盈不足」の漢字を分解すると、「盈えい」と「不足」。
　「盈」の訓読みは「盈み（ちる）」（＝「満ちる」）で、余っている様子を表す漢字であり、「不足」は足りない様子を表します。

　この章で扱われていたのは、解を仮定したうえで実値との過不足から正しい解を導く方法。

　バビロニアでも連立方程式の解法として、同様の方法が使われていたため、当時は基礎知識だったのかもしれません。

「盈不足」による連立方程式の解法

　実際に『九章算術』に載っていた問題とその解法を見てみましょう。

『九章算術』7章第17問

　今、善田は$~1~$畝で価は$~300~$銭、悪田は$~7~$畝で価は$~500~$銭である。今、合わせて$~1~$頃（$~100~$畝）を買うと、価は$~1~$万銭であった。
　善田と悪田の面積はそれぞれ何畝ずつか。

※「畝」は面積の単位で、$~1~$畝は約~100~$m²。「銭」は通貨の単位。

　『九章算術』では、問題のすぐ下に答えと解説が載っています。

　今回の問題の解説を、現代の数学記法で見てみましょう。

『九章算術』7章第17問の解法

　善田を$~20~$畝と仮定すれば、悪田は$~80~$畝となり、

\begin{align*} 20\cdot 300+80\cdot \frac{500}{7}&=6000+\frac{40000}{7} \\ \\ &=\frac{82000}{7} \\ \\ &=11714~\frac{2}{7} \end{align*}

で、$~1~$万銭よりも$~\displaystyle 1714\frac{2}{7}~$銭多くなる。

　また、善田を$~10~$畝と仮定すれば、悪田は$~90~$畝となり、

\begin{align*} 10\cdot 300+90\cdot \frac{500}{7}&=3000+\frac{45000}{7} \\ \\ &=\frac{66000}{7} \\ \\ &=9428~\frac{4}{7} \end{align*}

で、$~1~$万銭よりも$~\displaystyle 571\frac{3}{7}~$銭不足する。

　ここで、盈不足術にあてはめると、善田は

\begin{align*} &~\frac{20\cdot 571\frac{3}{7}+10\cdot 1714\frac{2}{7}}{1714\frac{2}{7}+571\frac{3}{7}} \\ \\ &=\frac{20\cdot \frac{4000}{7}+10\cdot \frac{12000}{7}}{\frac{12000}{7}+\frac{4000}{7}} \\ \\ &=\frac{80000+120000}{12000+4000} \\ \\ &=\frac{200}{16} \\ \\ &=12~\frac{1}{2}~~~~(畝) \end{align*}

と求まり、悪田は、

\begin{align*} &~\frac{80\cdot 571\frac{3}{7}+90\cdot 1714\frac{2}{7}}{1714\frac{2}{7}+571\frac{3}{7}} \\ \\ &=\frac{80\cdot \frac{4000}{7}+90\cdot \frac{12000}{7}}{\frac{12000}{7}+\frac{4000}{7}} \\ \\ &=\frac{320000+1080000}{12000+4000} \\ \\ &=\frac{1400}{16} \\ \\ &=87~\frac{1}{2}~~~~(畝) \end{align*}

と求まった。

　ここで使っている「盈不足術」とは、『九章算術』7章の最初に載っている公式です。

『九章算術』7章　盈不足術

　求めたい数量に対して、$~a~$と仮定すると$~m~$多く、$~b~$と仮定すると$~n~$不足するとき、その数量は

\frac{an+bm}{m+n}

で表せる。

　先ほどの第17問に関しては、善田を求めるために、

a=10~,~ m=1714~\frac{2}{7}~,~b=20~,~n=\displaystyle 571~\frac{3}{7}

を代入し、悪田を求めるために、

a=80~,~ m=1714~\frac{2}{7}~,~b=90~,~n=\displaystyle 571~\frac{3}{7}

を代入しています。

『九章算術』8章「方程」

　8章は「方程」とあるものの、最も基本的な1文字の方程式は扱っていません。

　この章では、2文字以上の連立方程式を、「盈不足」とは違った解法で解いています。

行列の考え方で連立方程式を解いた

　驚くべきことに、8章で連立方程式を解くために使っていたのは、行列の掃き出し法の考え方。

　8章の最初の問題で、その解き方を見てみましょう。

『九章算術』8章第1問

　今、上禾^※1が$~3~$束、中禾が$~2~$束、下禾が$~1~$束で実が$~39~$斗^※2になり、上禾が$~2~$束、中禾が$~3~$束、下禾が$~1~$束で実が$~34~$斗になり、上禾が$~1~$束、中禾が$~2~$束、下禾が$~3~$束で実が$~26~$斗になる。

　上禾・中禾・下禾の$~1~$束あたりの実は、それぞれいくらになるか。

※1「禾」は粟物の総称で、上禾は入っている実が多く、下禾は実が少ない。
※2「斗」は尺貫法における体積の単位。1斗は約18L。

　$~1~$束あたりの実の数を、上禾は$~x~$斗、中禾は$~y~$斗、下禾は$~z~$斗とすると、次のような連立方程式ができます。

\begin{cases} 3x+2y+z=39&\\ 2x+3y+z=34& \\ x+2y+3z=26& \end{cases}

　この連立方程式を、『九章算術』では以下のような説明に従って解きます。

　方程術に従い、上禾$~3~$束、中禾$~2~$束、下禾$~1~$束、実$~39~$斗を右列に置く。
　中列・左列についても右列と同様に置く。
　右列の上禾をすべて中列にかけて、右列からただちに引く。
　その次に、右列の上禾をすべて左列にかけて、右列でただちに引く。
　その後、中列の中禾の残りをすべて左列にかけて、中列でただちに引く。
　左列に残りがあれば、上を法とし、下を実とする。この実が下禾の実となる。
　中禾を求めるには、法を中列の下の実にかけて、それから下禾の実を引く。
　残りを中禾の束数で割ると、中禾の実である。
　上禾を求めるには、法を右列の下の実にかけて、これから下禾と中禾の実を引く。
　残りの$~111~$を上禾の束数で割ると、上禾の実となる。
　三者とも実を法で割ると、上・中・下禾それぞれの実の斗数が求まる。
　

　この説明を今の行列で考えてみましょう。

『九章算術』8章第1問の解説

　方程術に従い、上禾$~3~$束、中禾$~2~$束、下禾$~1~$束、実$~39~$斗を右列に置く。
　中列（上禾$~2~$束、中禾$~3~$束、下禾$~1~$束、実$~34~$斗）・左列（上禾$~1~$束、中禾$~2~$束、下禾$~3~$束、実$~26~$斗）についても右列と同様に置く。

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 26 & 34 & 39 \end{pmatrix}

　右列の上禾（$~3~$)をすべて中列にかけて、右列からただちに引く（中列の1行目が$~0~$になるまで引く）

\begin{pmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 2 & 9 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \\ 26 & 102 & 39 \end{pmatrix} \xrightarrow{1回目} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & 7 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 26 & 63 & 39 \end{pmatrix} \xrightarrow{2回目} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 26 & 24 & 39 \end{pmatrix}

　その次に、右列の上禾（$~3~$)をすべて左列にかけて、右列でただちに引く。（左列の1行目が$~0~$になるまで引く）

\begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 6 & 5 & 2 \\ 9 & 1 & 1 \\ 78 & 24 & 39 \end{pmatrix} \xrightarrow{1回目} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 4 & 5 & 2 \\ 8 & 1 & 1 \\ 39 & 24 & 39 \end{pmatrix}

　その後、中列の中禾（$~5~$）の残りをすべて左列にかけて、中列でただちに引く。

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 20 & 5 & 2 \\ 40 & 1 & 1 \\ 195 & 24 & 39 \end{pmatrix} \xrightarrow{1回目} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 15 & 5 & 2 \\ 39 & 1 & 1 \\ 171 & 24 & 39 \end{pmatrix} \cdots \xrightarrow{4回目} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 36 & 1 & 1 \\ 99 & 24 & 39 \end{pmatrix}

　左列に残りがあれば、（最大公約数である$~9~$でわったうえで、）上（$~4~$）を法とし、下（$~11~$）を実とする。

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 36 & 1 & 1 \\ 99 & 24 & 39 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 4 & 1 & 1 \\ 11 & 24 & 39 \end{pmatrix} \xrightarrow{法を4として} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 11 & 24 & 39 \end{pmatrix}

　この実が下禾の実（$~11~$）となる。

　中禾を求めるには、法（$~4~$）を中列の下（$~24~$）の実にかけて、それから下禾の実（$~11~$）を引く。

4\times 24-11=85

残りを中禾の束数（$~5~$）で割ると、中禾の実（$~17~$）である。

85\div 5=17

上禾を求めるには、法（$~4~$）を右列の下の実（$~39~$）にかけて、これから下禾の実（$~11~$）と中禾の実（$~17~$）を引く。（右列の2行目より、中禾の実は2回引く）

4 \times 39-11-17-17=111

残りの$~111~$を上禾の束数（$~3~$）で割ると、上禾の実（$~37~$）となる。

111 \div 3=37

三者とも実（上禾$~37~$、中禾$~17~$、下禾$~11~$）を法（$~4~$）で割ると、上・中・下禾それぞれの実の斗数が求まる。

\begin{cases} &上禾=\displaystyle \frac{37}{4}=9\frac{1}{4} 斗 \\ \\ &中禾=\displaystyle \frac{17}{4}=4\frac{1}{4} 斗\\ \\ &下禾=\displaystyle \frac{11}{4}=2\frac{3}{4} 斗 \\ \end{cases}

　最後は行列の操作ではなく、行列から式を作って計算しています。
　単なる四則計算の組み合わせとして見た方が、算木という計算道具がある以上、素早く計算できたのでしょう。

負の数が途中式で登場する

　『九章算術』8章第1問でもあったように、『九章算術』では実生活に基づいた数値が用いられています。

　そのため、問題文や答えに負の数が登場することは無かったものの、途中式で負の数が必要となる問題がいくつかあります。

　最初に負の数が登場するのは、以下の問題です。

『九章算術』8章第3問

　今、上禾^※3が$~2~$束、中禾が$~3~$束、下禾が$~4~$束あって、実はすべて$~1~$斗^※4に満たない。

　上禾は中禾を、中禾は下禾を、下禾は上禾をそれぞれ$~1~$束取れば実は$~1~$斗に達する。　

　上禾・中禾・下禾の$~1~$束あたりの実は、それぞれいくらになるか。

※3「禾」は粟物の総称で、上禾は入っている実が多く、下禾は実が少ない。
※4「斗」は尺貫法における体積の単位。1斗は約18L。

　$~1~$束あたりの実の数を、上禾は$~x~$斗、中禾は$~y~$斗、下禾は$~z~$斗とすると、次のような連立方程式ができます。

\begin{cases} 2x+y=1& \\ 3y+z=1& \\ x+4z=1& \end{cases}

　この連立方程式を、『九章算術』8章第1問のように方程術（行列の掃き出し法）を使って解くと、以下のように負の数が過程で登場します。

\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} &\xrightarrow{左列を2倍} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 8 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &\xrightarrow{左列から右列をひく} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 8 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &\xrightarrow{左列を3倍} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -3 & 3 & 1 \\ 24 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &\xrightarrow{左列に中列をたす} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 25 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &\xrightarrow{法を25として} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{align*}

　以上のような変形から、答えは

上禾=\frac{9}{25}斗~,~中禾=\frac{7}{25}斗~,下禾=\frac{4}{25}斗

となるため、あくまでも負の数が登場するのは途中式のみです。

　負の数の扱い方の説明は、『九章算術』のこの『九章算術』8章第3問の解説の中に載っていました。

　正負術に関して、ひき算については同符号の$~2~$数は互いに引き、異符号の$~2~$数は互いに加える。
　$~0~$から正を引けばこれを負とし、$~0~$から負を引けばこれを正とする。

　たし算については異符号の$~2~$数は互いに引き、同符号の$~2~$数は互いに加える。
　$~0~$に正を加えればこれを正とし、$~0~$に負を加えればこれを負とする。

　この「正負術」を具体例を通して見てみましょう。

『九章算術』8章第3問の「正負術」の例示

　ひき算については同符号の$~2~$数は互いに引き、異符号の$~2~$数は互いに加える。

\begin{align*} (-6)-(-4)&=-(6-4)=-2 \\ (-6)-(+2)&=-(6+2)=-8 \end{align*}

　$~0~$から正を引けばこれを負とし、$~0~$から負を引けばこれを正とする。

\begin{align*} 0-(+4)&=-4 \\ 0-(-4)&=+4 \end{align*}

　たし算については異符号の$~2~$数は互いに引き、同符号の$~2~$数は互いに加える。

\begin{align*} (-6)+(+4)&=-(6-4)=-2 \\ (-6)+(-2)&=-(6+2)=-8 \end{align*}

　$~0~$に正を加えればこれを正とし、$~0~$に負を加えればこれを負とする。

\begin{align*} 0+(+4)&=+4 \\ 0+(-4)&=-4 \end{align*}

　中学1年生の「正負の数」で学ぶ加法・減法を説明していることがわかるでしょう。

　『九章算術』のこの一節は、負の数の概念について言及した世界最古の文献となっています。

まとめ・参考文献

　古代中国における方程式、とりわけ連立方程式の解法について解説してきました。

「盈不足」では解を仮定したうえで、実値との差から正しい解を調整した。
「方程術」では行列の掃き出し法を使って、3文字以上の連立方程式を解いた。
方程式を解く中で負の数が登場し、その扱い方が『九章算術』で説明されている。

　行列や負の数を初めて使用した古代中国。
　次の記事では、古代中国の円について解説します。

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